Конспект урока по геометрии на тему "Пирамида" (10 класс)

Министерство образования и науки РФ Соликамский государственный педагогический институт (филиал) федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение  высшего образования  «Пермский государственный национальный исследовательский университет» Кафедра математических  и естественнонаучны дисциплин Конспект урока по геометрии по теме: «Пирамида» (для обучающихся 10 классов) Работу выполнила: Студентка 4 курса, СФ/О ПДВ­1­2014 НБ Вагина В.В. Работу проверила: доцент, кандидат педагогических наук Шестакова Л.Г. Соликамск, 2018 Предмет: Геометрия                                                                            Класс: 10 Номер урока: ___ Дата проведения урока: ____ Базовый   УМК:  Атанасян   Л.С.   Геометрия.   10­11   классы:   учеб.   для общеобразоват.   учреждений:   базовый   и   профил.   Уровни/   [Л.С.   Атанасян,   В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцеы и др.]. – 22­е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с. Тема урока: Пирамида. Тип урока: комбинированный урок. Цель урока: изучение нового материала по теме урока и его закрепление. Задачи урока:  поставить цель и задачи урока, актуализировать знания по предыдущей теме, мотивировать к изучению темы;  изучить новый материал;  закрепить изученный материал; провести мини­практическую работу;  провести работу по рефлексии учебной деятельности на уроке;  разобрать домашнее задание. Планируемые результаты обучения:   Метапредметные:   обучающиеся   научатся   оценивать   правильность выполнения   учебной   задачи,   собственные   возможности   её   решения;  владению основами   самоконтроля,   самооценки,   принятия   решений   и   осуществления осознанного   выбора   в   учебной   и   познавательной   деятельности;   определять понятия,   создавать   обобщения,   устанавливать   аналогии,   классифицировать, самостоятельно   выбирать   основания   и   критерии   для   классификации, устанавливать   причинно­следственные   связи,   строить   логическое   рассуждение, умозаключение   и   делать   выводы;   смысловому   чтению;   организовывать   учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками; работать индивидуально и в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учёта интересов; формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение;  Предметные:   обучающиеся   будут   владеть   основными   экономическими понятиями; научатся оценивать и аргументировать собственную точку зрения по экономическим   проблемам;   владеть   приёмами   работы   со   статистической, фактической и аналитической экономической информацией; владеть системными экономическими знаниями.  Личностные:   у   обучающихся   будут   сформированы   коммуникативные компетентности   в   общении   и   сотрудничестве   со   сверстниками;   сформировано осознанное, уважительное и доброжелательное отношение к другому человеку, его мнению;   сформировано   ответственное   отношение   к   учению,   готовности   и способности   обучающихся   к   саморазвитию   и   самообразованию   на   основе мотивации к обучению и познанию. Форма работы: групповая, индивидуальная. Основные   понятия:  пирамида,   основание   пирамиды,   боковые   грани пирамиды,   вершина   пирамиды,   боковые   ребра   пирамиды,   высота   пирамиды, площадь полной поверхности пирамиды, площадь боковой поверхности пирамиды, правильная пирамида, апофема правильной пирамиды. Оборудование и дидактические материалы: учебник, 7­8 моделей разных видов правильных пирамид. Организационная структура урока 1. Организационный этап. Присутствие обучающихся.  Готовность к уроку. 2. Актуализация знаний. 3. Мотивация учебной деятельности обучающихся. 4. Изучение нового материала.  5. Закрепление нового материала. 6. Рефлексия учебной деятельности на уроке 7. Информация о домашнем задании. 1 мин 5 мин 1 мин 16 мин 20 мин 1 мин 1 мин Ход урока Деятельность учителя Деятельность обучающихся 1 этап: подготовительный 1.1. Организационный момент Перед началом урока учитель на свой стол выкладывает модели разных пирамид. Здравствуйте,   Присаживайтесь. Сегодня   мы   продолжаем   изучение   раздела «Многогранники» и переходим к новой теме.   ребята. Как   вы   думаете,   что   мы   сегодня   будем изучать? Цель   нашего   урока:   изучить   элементы пирамиды, основные формулы и теоремы. Приветствуют. Присаживаются.  На основании увиденных моделей, они отвечаю: «Пирамиды». 1.2. Актуализация знаний Прежде   чем   мы   начнем   работу,   давайте вспомним материал прошлой темы. Дайте определение многограннику. Что такое грани многогранника? Как называют стороны граней многогранника? Что такое вершины многогранника? Дайте определение призме. Назовите элементы призмы. Какие виды призм вы знаете? Назовите формулы площади полной и боковой поверхности призмы.   – Многогранник поверхность, составленная   из   многоугольников   и ограничивающая некоторое геометрическое тело.   Грани   –   многоугольники,   из   которых составлен многогранник. Ребра. Вершины – концы ребер многогранника. Призма   –   многогранник,   составленный   двух   равных   многоугольников, из расположенных в параллельных плоскостях, и нескольких параллелограммов.       Два боковые основания (параллельные многоугольники), грани (параллелограммы),   боковые   ребра,   высота призмы   (перпендикуляр,   проведенный   из какой­нибудь   точки   одного   основания   к плоскости другого основания).   Прямая   призма,   у   которой   боковые ребра   перпендикулярны   к   основаниям,   и наклонная,   у   которой   боковые   ребра   не перпендикулярны к основаниям. Площадь полной поверхности призмы – сумма   площадей   всех   её   граней.   Площадь боковой   поверхности   призмы   –   сумма площадей ее боковых граней. Молодцы. 2 этап: изучение нового материала 2.1. Мотивирование к изучению темы Перейдем   к   изучению   темы   нашего   урока. Слово   Пирамида   составлено   из   греческого   слова «pyra»   в   значении   огня,   света   или   видимый   и греческого слова «midos» в значение мер, другое значение — середина (внутри). Какие известные пирамиды вы знаете? Вы знаете, где используются пирамиды? Например, в литературе поэты пишут стихи в виде пирамиды­треугольника. Наиболее   значимые   области   применения пирамиды: повышение урожайности семян.  Египетские пирамиды, пирамида Лувра и т.д. Нет. 2.2. Изучение нового материала  Заранее   на   доске   приготовлен   чертежи   4­угольной, разных   пирамиды   (3­угольной, прямой, наклонной). Пирамида – многогранник, составленный из n­ угольника и n треугольников. Основываясь   на   призму,   назовите   элементы пирамиды. Чем являются боковые грани у пирамиды? Основываясь   на   призму,   назовите   формулы площади полной и боковой поверхности пирамиды. Как   и   призма,   пирамиды   бывают   прямые   и наклонные, а еще и правильные. Правильная пирамида – пирамида, у которой основание   –   правильный   многоугольника,   а отрезок,   соединяющий   вершину   пирамиды   с центром ее основания, является высотой пирамиды. Используя рисунок 82, давайте докажем устно, что боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. Откройте   учебники   на   стр.   70   и   сначала самостоятельно прочитайте   внимательно   доказательство. Теперь давайте разберем доказательство устно вместе. Молодцы. Вы знаете, что такое апофема? Одно   основание,   боковые   грани, боковые ребра, одна вершина, одна высота пирамиды. Треугольниками. Площадь полной поверхности – сумма площадей   всех   граней.   Площадь   боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.  Обучающиеся открывают учебник на стр.   70   и   сначала   самостоятельно разбираются с доказательством, а потом устно один ученик объясняет.   собой Рассмотрим   правильную   пирамиду. Сначала   докажем,   что   все   боковые   ребра этой пирамиды равны. Любое боковое ребро представляет гипотенузу прямоугольного треугольника, один катетом которого   служит   высота   РО   пирамиды,   а другим – радиус описанной около основания окружности.   По   теореме   Пифагора   любое боковое ребро равно корень(h2R2), поэтому ребра равны.   Мы   доказали,   что   боковые   ребра правильной   пирамиды   равны   друг   другу, поэтому   боковые   грани   –   равнобедренные треугольники. этих треугольников также равны друг другу, так как в основании правильный многоугольник. Следовательно,   боковые   грани   равны   по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать. Основания Да   правильно,   апофема   бывает   не   только   в многоугольниках. Апофема (греч. apothema, от apo αποτιθη ι ­ далеко, и tithenai – ставить или (греч.  μ — откладываю в сторону).  В   химии   апофема   –   осадок   растительного экстракта. Но апофема бывает и в правильной пирамиде. Апофема   –   высота   боковой   грани   правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. Покажите на нашем рисунке апофему. Скажите мне, что вам напоминает следующая   Площадь   боковой   поверхности   половине теорема: правильной   пирамиды   равна произведения периметра основания на апофему. Да   правильно,   давайте   посмотрим доказательство данной теоремы из учебника.  Из   планиметрии     –   опущенный   из   центра перпендикуляр, правильного многоугольника на одну из его сторон. апофема Один или несколько учеников выходят к   доске   и   на   заготовленных   рисунках показывают апофемы. Похожая теорема была в теме призма. Теорема:   площадь   боковой   поверхности прямой   призмы   равна   произведению периметра основания на высоту призмы.   сначала Ученики самостоятельно рассматривают   доказательство   теоремы, потом   один   из   учеников   объясняет доказательство.   Полезна символическая запись доказательства: Пусть   сторона   основания   правильной пирамиды равна а, апофема равна d. S – площадь боковой грани. Тогда S бок = n * S = n * 1/2ad = ½ (na)d   =   ½   pd,   где   р   –   периметр   основания пирамиды.     Боковые Доказательство. грани правильной   пирамиды   –   равные равнобедренные   треугольники,   основания которых – стороны основания пирамиды, а высоты   равны   апофеме.   Площадь   боковой поверхности   пирамиды   равна   сумме произведений сторон основания на половину апофемы   d.   Вынося   множитель   1/2d   за скобки,   получим   в   скобках   сумму   сторон основания   пирамиды,   т.е.   его   периметр. Теорема доказана. 3 этап: закрепление нового материала Создают свои группы. Один   человек   от   группы   выбирает модель пирамиды. Выполняют   практическую   работу: находят   неизвестные   элементы   и подставляют их в формулы. Если   какие­то   команды   справились быстрее, то можно предложить другую модель пирамиды. Давайте проведем мини­практическую работу. Вы   будете   работать   в   группах   по   4   человека. Первые,   третье   парты   развернитесь   ко   вторым   и четвертым. Один человек из группы подойдите ко мне и возьмите любую модель пирамиды с моего стола. Ваша задача – по этим моделям найти площадь боковой и полной поверхности пирамиды.  1.Для   нахождения   площади   боковой поверхности   пирамиды   нужно   измерить   линейкой следующие   элементы:   стороны основания, высоту. Подставить значения в формулу для   нахождения   пощади   (если   пирамида правильная). Если пирамида наклонная, то боковую поверхность находим из суммы площадей граней.   апофему, 2.   Для   нахождения   площади   полной поверхности   пирамиды   нужно   найти   площадь основания   пирамиды   (площадь   треугольника, прямоугольника,   Площадь   полной поверхности   пирамиды   находиться   как   сумма площадей боковой поверхности и основания.   ромба). Заранее   учитель   дома   вычисляет   площади каждой модели и ответы потом записывает на доске. Заканчиваем.   Давайте   сверимся,   у   кото,   что получилось. Молодцы.   Теперь   порешаем   упражнения   из учебника. №252.  Основанием пирамиды  DАВС является равнобедренный   треугольник   АВС,   в   котором стороны АВ и АС равны, ВС = 6 см, высота АН равна 9 см. Известно также, что DA = DB = DC = 13 см. найдите высоту пирамиды. Группы   называют   свои   ответы   и сверяют их с ответами на доске. №252.  DАВС   –   АВС   – Дано: пирамида, равнобедренный треугольник,   АВ=АС, ВС = 6 см, АН = 9 см, DA = DB = DC = 13 см. Найти: DO Решение: Так как  DA  =  DB  =  DC, то О – центр вписанной окружности АВС, а так как АВС равнобедренный, то О принадлежит АН. R = (abc)/4S = (АВ*ВС*СА) / 4S/ АВ  =   √АН*АН+НВ*НВ,  НВ=1/2ВС=3, АВ = √81+9 = √90 = 3√10 = АС. S осн = ½*ВС*АН = 3*9 = 21 см2. R  =   (3√10*3√10*6)   /   4*27   =   (2*20)   / (4*27) = 5 см. №258.  Боковое   ребро   правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 60°  c плоскостью   основания.   Найдите   площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см. Из треугольника  DOA:  DO  = √DA*DA – OA*OA = √13*13­R*R = √169­25 = 12 см. Ответ: DO = 12 см. №258. Дано:   РABCD  – правильная четырехугольная пирамиды, РС = 12 см, угол РВО = 60°. Найти: S пол. пов. Решение: Проведем   высоту   РО   пирамиды РАВСD, так как ABCD – квадрат, то центр описанной   окружности   –   это   точка пересечения диагоналей. Тогда  угол   РВО   =  60°,   так  как   ОВ  – проекция РВ на плоскость основания. Тогда ОВ = РВ*cos60° = 12*1/2 = 6 см. BD = AC = 2*OB = 12 см. Значит BC = AB = AD = CD = (12√2)/2 = 6√2 см. S осн = 6√2 * 6√2 = 72 см2. S бок гр = ½*РН*АВ, где РН – высота, а   значит,   и   медиана   равнобедренного треугольника АРВ. РН  =  √РВ*РВ ­  ВН*ВН  =  √144­9*2 = √126 = 3√14 см. S  бок   гр   =   ½*3√14*6√2   =   18√7   см2, тогда S бок. пов. = 4*18√7 = 72√7 см2. S пол. пов. = S осн. + S бок. пов. = 72 + 72√7 = 72(1+ √7) см2. Ответ: S пол. пов. = 72(1+ √7) см2. Давайте   подытожим   наш   урок.   Продолжите Ученики   продолжают   высказывания, 4 этап: рефлексия высказывание об уроке. 1. Самым интересным на уроке для меня было … 2. Я научился (научилась) … 3. Я хотел (а) бы ещё узнать … 4. Мне понравилось … 5. Мне не понравилось … Молодцы.   Теперь   открываем   дневники   и записываем   домашнее   задание.   Дома   вам   надо будет   посмотреть   развертки   пирамид   и   сделать модель пирамиды самостоятельно, желательно 5­6­ …угольные. Решить упражнение № 251.  Урок окончен. Вы свободны. До свидания. оценивая свою деятельность и сам урок. Записывают домашнее задание. Литература: 1. Атанасян   Л.С.   Геометрия.   10­11   классы:   учеб.   для   общеобразоват. учрежде­ний:   базовый   и   профил.   Уровни/   [Л.С.   Атанасян,   В.Ф.   Бутузов,   С.Б. Кадомцеы и др.]. – 22­е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.