Конспект урока по математике "Основные понятия комбинаторики" (11 класс)

Основные понятия  комбинаторики Урок №41 Преподаватель Григорьева В.В.

1. В группе 20 учащихся. Сколькими  способами могут быть выбраны староста  и заместитель старосты? Решение.  Пусть  сначала  избирается  староста.  Поскольку  каждый  член  группы  может  быть  выбран  старостой,  то,  очевидно,  есть  20  способов  его  выбора.  Тогда  заместителем  старосты может стать каждый из оставшихся 19  человек. Поэтому всего существует 20 ∙ 19 = 380  способов выбора старосты и его заместителя. 2. На собрании пожелали выступить  четыре человека. Сколькими способами  можно расположить их в списке  ораторов? Решение.  Первого  оратора  можно  выделить  четырьмя  способами;  второго,  очевидно,  тремя  способами. На третье место будут претендовать  только два человека, и, следовательно, есть два  способа заполнить третье место.  3. Группу учащихся техникума должна  экзаменовать по математике комиссия из  двух преподавателей. Сколькими  способами может быть составлена такая  комиссия, если в техникуме пять  преподавателей. Решение. Обозначим преподавателей буквами  A, B, C, D, E, можно выписать все возможные  экзаменационные комиссии, а именно: AB, AC,  AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Мы видим,  что их число равно десяти.

Перестановками из n элементов называются такие  соединения  из  n  элементов,  которые  отличаются  друг  от  друга  лишь  порядком  следования  элементов.

Пример 4. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно  составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что все числа не  повторяются. Так как число кратно пяти, следовательно, цифра пять должна  стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на  оставшихся местах в любом порядке. Следовательно, искомое число  шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из  пяти элементов, т.е.

Размещениями из n элементов по m  называются такие соединения, которые  отличаются друг от друга либо самими  элементами, либо порядком их следования.

Пример  5.  Группа  учащихся  изучает  7  учебных  дисциплин.  Сколькими  способами  можно  составить  расписание  занятий  на  понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока? Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по  4, т.е. равно        По формуле получаем:

Сочетаниями  из  n  элементов  по  m  называются  такие  соединения,  которые  отличаются  друг  от  друга хотя бы одним элементом.

Пример 6. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с  участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между  собой один раз? Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных  подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно                                                                                     т.е. всего будет сыграно 120 матчей.

1. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз,  обедая там, они рассаживаются по­разному. Сколько дней друзья  смогут это сделать без повторения?  2. Девять карточек пронумерованы цифрами от 1 до 9. Из этих  карточек 4 наугад выкладывают в ряд. Сколько при этом  различных четырёхзначных чисел можно получить? 3. Турист запланировал взять с собой в поездку 8 футболок, при  этом всего их у него насчитывается 12. Сколькими способами  он может сделать выбор? 4. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка  задумали сыграть квартет». Сколькими способами они могут  выбрать каждый для себя по одному инструменту из 10 данных  различных инструментов?

А Б Размещения и перестановки №4.34(1­3)            Стр. 79 № 4.44, 4.45, 4.48     Стр. 80 Сочетания 1. 1. Сколькими способами  можно составить команду  из 4 человек для  соревнования по бегу,  если имеется 7 бегунов?  4 7C Ответ:      Сколькими способами можно  заполнить карточки  "Спортлото"(зачеркнуть 6  номеров из 49)? Во скольких  случаях их выбранных шести  номеров после тиража три  окажутся угаданными правильно?  Во скольких случаях правильно  будут угаданы 4 номера? 5  номеров? 6 номеров?  C 6 49 , Ответ:    СС 3 46 , 2 45 , С 1 44 .1,

По горизонтали: 1. Соединения, которые можно  составить из n предметов, меняя  всеми возможными способами их  порядок.  2. Учёный, который первым  рассмотрел комбинаторику как  самостоятельную ветвь науки и ввёл  термин "комбинаторный". 3. Соединение, содержащее по k  предметов из числа n данных,  различающихся либо порядком  предметов, либо самими предметами. По вертикали: 4.Соединение, содержащее по k  предметов из n, различающихся друг  от друга по крайней мере одним  предметом.