Конспект урока "Понятие цилиндра"

На этом уроке мы вспомним понятие цилиндра. Узнаем, какие окружающие нас предметы имеют  форму близкую к форме цилиндра. Дадим определение цилиндра. Подробно рассмотрим, какими  элементами он обладает. А также рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями. Конспект урока "Понятие цилиндра"    На этом уроке мы вспомним понятие цилиндра. Дадим его определение. Рассмотрим, какими элементами обладает цилиндр. Вокруг нас существует множество объектов, которые являются физическими моделями цилиндра, или проще говоря, имеют форму цилиндра. Например, кружки и стаканы имеют форму цилиндра. Карандаши, шляпы, пуфики, барабан также имеют форму цилиндра. Некоторые архитектурные сооружения. Колонны храмов и соборов, выполненные в форме цилиндра, подчеркивают их гармонию и красоту. Итак, перейдём к самому цилиндру. Рассмотрим произвольную плоскость окружность точку окружности проведем прямую, перпендикулярную к плоскости с центром О радиуса , лежащую в этой плоскости. Через каждую и . Определение: Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые –образующими цилиндрической поверхности. Прямая, проходящая через точку О перпендикулярно к плоскости называется осью цилиндрической поверхности. Поскольку все образующие и ось перпендикулярны к плоскости Рассмотрим теперь плоскость образующих, заключённые между плоскостями другу. По построению концы этих отрезков, расположенные в плоскости заполняют окружность окружность , то они параллельны друг другу. . Отрезки , заполняют – точка пересечения плоскости . Концы же, расположенные в плоскости , параллельную плоскости , параллельны и равны друг с центром радиуса , где и , , с параллельным переносом на вектор осью цилиндрической поверхности. Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости , получается из окружности . Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор центром в точке перейдёт в равную ей окружность . окружность радиуса . с и , называется цилиндром. Определение: Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя равными кругами с границами Можно ещё услышать и такое определение: прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Назовём элементы цилиндра. Круги называются основаниями цилиндра. Отрезки образующих, заключенные между основаниями, - образующими цилиндра. А образованная ими часть цилиндрической поверхности это есть боковая поверхность цилиндра. Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра. и , Как уже отмечалось ранее, все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей называетсявысотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра. Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания. Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между основаниями цилиндра. Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон на и вращать его вокруг одной из сторон, например, вокруг стороны которое и называется цилиндром. . Итак, если взять некоторый прямоугольник , то в результате получим тело, и В этом случае основания цилиндра образуются вращением сторон а боковая поверхность цилиндра образуется вращении стороны Теперь рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым. Определение: Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. , . Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие цилиндра, а две другие – хорды оснований цилиндра. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом. В самом деле, такая секущая плоскость отсекает от данного цилиндра тело, которое также является цилиндром. Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение. Замечание. На практике очень часто встречаются предметы, которые имеют форму сложных цилиндров. На экране, на первом рисунке вы видите цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком. На втором рисунке изображен цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскостям оснований, такой цилиндр называют еще наклонным цилиндром. Однако в дальнейшем мы будем рассматривать только прямые круговые цилиндры. – середина образующей цилиндра, центрами оснований Задача: точка которого являются точки Решение: рассмотрим и . Верно ли, что ? и . перпендикулярна плоскостям, в которых лежат основания Образующая цилиндра. Следовательно, она перпендикулярна любой прямой лежащей в этих плоскостях. Прямые плоскостях оснований. Значит, прямая что . Отсюда получаем, и являются радиусами цилиндра и лежат в и и – прямоугольные. Так как основаниями цилиндра являются равные круги, то радиусы. , как Так как по условию задачи точка отрезки вытекает, что . Значит, . Ответ: . – середина образующей цилиндра, то равны по двум катетам. Отсюда – центр основания цилиндра. Отрезок Задача: точка основания. Вычислите площадь высота – Решение: напомним, что площадь треугольника находится по , если радиус цилиндра равен см. – диаметр другого его см, а его формуле . Заметим, что высота цилиндра является и высотой и равна нашего есть диаметр цилиндра и равно оно двум радиусам, т.е. Подставим в формулу площади треугольника высоту и длину основания треугольника. Посчитаем. Получим, что площадь треугольника . А основание треугольника (см). равна . Не забудем записать ответ. см. Вычислите площадь осевого см, а его высота – Задача: радиус цилиндра сечения. Решение: напомним, что осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Высота цилиндра – это есть длина образующей осевого сечения равна основания цилиндра. И значит, равна . Длина сечения равна диаметру . Следовательно, ширина (см). Теперь вычислим площадь осевого сечения. Она равна ). ( Запишем ответ. Итоги: На этом уроке мы вспомнили понятие цилиндра. Узнали, что тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами , называется цилиндром. Или прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя и параллельными плоскостями цилиндрической поверхности. Назвали элементы цилиндра. А также рассмотрели сечения цилиндра различными плоскостями. , которые перпендикулярны образующим и