В данном уроке мы рассмотрим некоторые из свойств, которыми обладают две параллельные плоскости в пространстве. А точнее, узнаем, что если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Докажем, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. А также докажем свойство о существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее.
В данном уроке мы рассмотрим некоторые из свойств, которыми обладают две параллельные
плоскости в пространстве. А точнее, узнаем, что если две параллельные плоскости пересечены
третьей, то линии их пересечения параллельны. Докажем, что отрезки параллельных прямых,
заключенные между параллельными плоскостями, равны. А также докажем свойство о
существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку
вне ее.
Конспект урока "Свойства параллельных плоскостей"
Материал урока.
Для начала давайте вспомним определение параллельных плоскостей и
признак параллельности двух плоскостей. Итак, две плоскости
называютсяпараллельными, если они не пересекаются. Признак
параллельности плоскостей:если две пересекающиеся прямые одной
плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым
другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
А теперь рассмотрим свойства параллельных плоскостей.
Первое свойство.Если две параллельные плоскости пересечены
третьей, то линии их пересечения параллельны.
Доказательство. Пусть даны параллельные плоскости α и β. И пусть
дана плоскость γ, которая пересекает плоскости α и β по прямым а и b
соответственно. Докажем, что прямая а параллельна прямой b.
Рассмотрим прямые а и b. Действительно, эти прямые лежат в одной
плоскости γ и не пересекаются. Если бы прямые а и bпересекались, то
их общая точка принадлежала бы плоскостям α и β, чего быть не
может, так как по условию они параллельны.Таким образом, прямые а и b лежат в одной плоскости и не
пересекаются, т.е. прямая а параллельна прямой b.Что и требовалось
доказать.
Наглядным представлением данного свойства служат линии
пересечения пола и потолка со стеной комнаты – эти линии
параллельны.
Второе свойство.Отрезки параллельных прямых, заключенные между
параллельными плоскостями, равны.
Доказательство.Пусть даны параллельные плоскости α и β. И
пустьданы параллельные отрезкиAB и CD, которыележат на
параллельных прямых а и b, расположенных между плоскостями α и β.
Докажем, что отрезок ABравен отрезку CD.
Две параллельные прямые а и b образуют единственную плоскость γ.
Плоскость γ, проходящая через параллельные прямые а и b, пересекаетплоскости α и β по прямымAC и BD. По первому свойству, если две
параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения
параллельны, следует, что прямыеAC и BD – параллельны. А, значит,
четырехугольник ABDC – параллелограмм, так как в нем
противолежащие стороны попарно параллельны. По свойству
противоположных сторон параллелограмма, следует, чтоотрезок AB
равен отрезкуCD.Что и требовалось доказать.
Третье свойство.Через точку, не лежащую в данной плоскости,
проходит плоскость, параллельная данной, и притом единственная.
Доказательство. Пусть дана плоскость α и точка M, которая не лежит в
данной плоскости. Проведем в плоскости α две пересекающиеся
прямые а и b. Через точку M проведем прямые а1 и b1, параллельные
прямым а и b соответственно.
Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые а1 и b1. Плоскость β
– искомая, так как она проходит через точку M и по признаку
параллельности двух плоскостей параллельна плоскости α.
Докажем единственность плоскости β. Предположим, что существует
другая плоскость β1, которая проходящая через точку M и параллельна
плоскости α.
Плоскость γ, проходящая через точку М и прямую а, пересекает
плоскости β и β1, так как с каждой из них плоскость гамма имеет общую
точку М.
Следовательно, линии пересеченияl и l1 плоскости гамма с плоскостями
β и β1, проходят через точку М и параллельны прямой а. Получили, что
через точку М, не лежащую на прямой а, проходят две прямые,
параллельные прямой а. А это противоречит теореме о том, что черезточкуМ, не лежащей на прямой а, можно провести единственную
прямую, параллельную данной. Значит, наше предположение неверно и
плоскость β единственная. Что и требовалось доказать.
Задача. Даны плоскости
по прямым
Прямая
соответственно. Угол
Решение.
и
и пересекает прямые
. Плоскость пересекает эти плоскости
. Определите чему равен угол
соответственно, причем
.
и
в точках
, прямая
и
.
На этом уроке мы рассмотрели некоторые из
Ответ:
Подведем итоги урока.
свойств, которыми обладают две параллельные плоскости в
пространстве. Узнали, что если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Доказали,
что отрезки параллельных прямых, заключенные между
параллельными плоскостями, равны. А также доказали свойство о
существовании единственнойплоскости, параллельной данной
плоскости и проходящей через точку вне ее.