Конспект урока "Центральная симметрия"

В этом уроке мы вспомним понятия отображения плоскости на себя и движения плоскости, а  также повторим основные понятия центральной симметрии. Затем введем аналогичные понятия  и для пространства. Ответим на вопрос, будет ли центральная симметрия в пространстве  являться движением пространства. Конспект урока "Центральная симметрия"    Сегодня на уроке мы вспомним понятия отображения плоскости на себя, движение плоскости, вспомним основные понятия центральной симметрии. Введём понятия отображения пространства и движение пространства, центральной симметрии в пространстве. Определим, будет ли центральная симметрия в пространстве – движением пространства. Мы уже с вами знакомы с таким понятием, как движение. Давайте вспомним, что мы называли движением. Движением мы называли любое отображение плоскости, которое сохраняет расстояние между точками. Отображение плоскости на себя определяли так: если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причём любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что даноотображение плоскости на себя. Эти определения мы давали для движения на плоскости. Но в стереометрии мы говорим о пространстве, значит, надо определить, что называется движением пространства. Но сначала давайте определим, что такое отображение пространства на себя. , причем любая точка пространства поставлена в соответствие некоторая пространства оказалась поставленной в . Тогда говорят, что задано отображение Определение: Пусть каждой точке точка соответствие какой-то точке пространства на себя. При данном отображении точка (отображается) в точку Определение: Под движением пространства понимается отображение пространства на себя, при котором любые две точки пространства точки По-другому можно сказать, что движение пространства – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками. Теперь давайте вспомним, какие фигуры обладают центральной симметрией. Определение: и отображаются в какие-то переходит . и так, что . Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки этой фигуре. Точка называется центром симметрии фигуры. Примерами центрально симметричных фигур можно назвать некоторые цветы: также принадлежит В геометрии яркими примерами центрально симметричных фигур являются окружность (центр симметрии – центр окружности) и параллелограмм (центром симметрии является точка пересечения диагоналей). и Ещё мы давали такое определение: Точки середина отрезка Точка Точка называется центром симметрии. считается симметричной сама себе. называются симметричными относительно точки , если – . В курсе планиметрии мы доказывали, что центральная симметрия является движением. Напомним это доказательство. Рассмотрим точки М и N и точки М1 и N 1 симметричные точкам М и N относительно точки О. Рассмотрим треугольники М NО и М1ОN1. То есть при центральной симметрии сохраняется расстояние между точками. Тогда по определению движения, получим, что и центральная симметрия является движением. Определение: В пространстве центральной симметрией мы назовём отображение пространства на себя, при котором любая точка точку Теперь давайте докажем, что и в пространстве центральная симметрия является движением. относительно данного центра переходит в симметричную ей . Пусть О – центр симметрии. Введём прямоугольную систему координат Оxyz с началом в точке О. Теперь давайте попробуем установить связь между координатами двух точек М (x, y, z) и М1(x1, y1, z1), симметричных относительно точки О. Если точка М не совпадает с точкой О, то по определению центральной симметрии О – середина отрезка ММ1. Тогда координаты точки О можно вычислить по формулам координат середины отрезка. С другой стороны, поскольку О – начало координат, значит, точка О имеет координаты 0, 0, 0. То есть получим, что Если точки М и О совпадают, тогда точка М1 также совпадает с точкой О, потому что точка О – центр симметрии, а, значит, она отображается сама на себя. И в этом случае будут выполнятся равенства Теперь давайте рассмотрим две точки и , . . , . , , По только что доказанным формулам для координат симметричных точек получим, что точка . Точка . Теперь давайте найдём расстояние точками равно: , . Получим, что расстояние между Теперь давайте найдём расстояние между точками и . Очевидно, что оба эти выражения равны, то есть получим, что . Вывод: расстояние между точками при центральной симметрии в пространстве сохраняется, значит, центральная симметрия в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства. Рассмотрим несколько задач. , Задача: найти координаты точек, в которые переходят точки , координат. Решение: воспользуемся формулами для вычисления координат симметричных точек. при центральной симметрии относительно начала Если точка формулы: симметрична точке то справедливы . Тогда получим, что точка отобразится в точку . Точка Точка отобразится в точку отобразится в точку . . Решим ещё одну задачу. Задача: доказать, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую. Доказательство. Пусть прямая Построим точки симметричные точкам не проходит через центр симметрии О. и относительно точки О. и Рассмотрим середина отрезков АА1 и ВВ1, то есть Углы сторонам и углу между ними. как вертикальные, то есть треугольники равны по двум . По определению центральной симметрии точка О – и . Тогда получим, что для прямых прямых получим, что прямые и при секущей . Эти углы являются накрестлежащими . Тогда по признаку параллельности . Что и требовалось доказать. Итоги: Сегодня на уроке мы вспомнили понятия отображения плоскости на себя, движение плоскости, вспомнили основные понятия центральной симметрии. Ввели понятия отображения пространства и движение пространства, центральной симметрии в пространстве. Показали, что и в пространстве центральная симметрия будет примером движения.