Конспект урока "Угол между прямой и плоскостью"

В этом уроке мы введем понятие проекции произвольной фигуры. Дадим определение проекции  точки на плоскость. А затем сформулируем представление об угле между прямой и плоскостью. Конспект урока "Угол между прямой и плоскостью"    Вопросы занятия: · введем понятие проекции произвольной фигуры; · дадим определение проекции точки на плоскость; · сформулируем представление об угле между прямой и плоскостью. Материал урока. Напомню, что перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, соединяющий данную точку вне плоскости с точкой пересечения этой прямой с плоскостью.Основанием перпендикуляра называется точка пересечения перпендикуляра с плоскостью. Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий эту точку с точкой плоскости, который не является перпендикуляром к плоскости. Основанием наклонной называется точка пересечения наклонной с плоскостью. Проекцией наклонной на плоскость, называется отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной. Перпендикуляр и проекция меньше наклонной, так как катет меньше гипотенузы. Теперь давайте введем понятие проекции произвольной фигуры. Определение. Проекцией точки на плоскость (еще ее называют прямоугольной или ортогональной проекцией) называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости. Рассмотрим рисунок. Точка M1 – есть проекция точки M на плоскость α. А точка N – проекция самой точки N на ту же плоскость (точка N принадлежит плоскости α). Обозначим буквой F какую-нибудь фигуру в пространстве. Понятно, что любая фигура состоит из точек, в том числе и наша фигура F. Если мы построим проекции всех точек этой фигуры на плоскость α, то получим фигуру F1, которая называется проекцией фигуры F на данную плоскость. На экране треугольник F1 является проекцией треугольника F на плоскость α. Определение. Проекцией прямой а на неперпендикулярную к ней плоскость α (или ортогональной проекцией прямой а) является прямая. Давайте докажем, что проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая. Доказательство. Пусть дана плоскость альфа. Обозначим произвольную прямую, не перпендикулярную к плоскости альфа, - буквой а. Из какой-нибудь точки M прямой а проведем перпендикуляр MH к плоскости α и рассмотрим плоскость β, проходящую через прямую а и перпендикуляр MH. Плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой a1. Докажем, что прямая a1 является проекцией прямой а на плоскость α. На прямой а отметим произвольную точку M1 и проведем в плоскости β прямую M1H1, параллельную прямой MH (H1 – точка пересечения прямых M1H1 и a1). Так как прямая MH перпендикулярна плоскости α по условию и прямые MH и M1H1параллельны по построению, то прямая M1H1 перпендикулярна плоскости α, по теореме о перпендикулярности прямой и плоскости. А, значит, точка AH1 является проекцией точки M1 на плоскость α. Этим мы доказали, что любая точка M1 прямой а проектируется в точку, которая лежит на прямой a1. И обратно, если мы возьмем некоторую точку H1 на прямой a1, то она является проекцией некоторой точки M1 прямой а. Следовательно, а1 является проекцией прямой а на плоскость α. Что и требовалось доказать. Например. Пусть дан куб ABCDA1B1C1D1. Тогда проекцией прямой B1D на плоскость DD1C1, в которой лежит грань DCC1D1, является прямая DC1. А проекция этой прямой на плоскость основания куба ABC есть прямая BD. Теперь, используя понятие проекции прямой на плоскость, дадим определение угла между прямой и плоскостью. Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Рассмотрим плоскость α и прямую AM. Прямая AH перпендикуляр, а прямая MH – проекция прямой AM на плоскость α. Тогда угол между прямой АМ и плоскостью α, есть угол между прямой AМ и ее проекцией MH на плоскость α. Т. е. это угол AMH, обозначим его φ0. Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она проектируется в точку пересечения этой прямой с плоскостью. В таком случае угол между прямой и плоскостью считается равным 90°. Если данная прямая параллельна плоскости, то ее проекцией на плоскость является прямая, параллельная данной. В этом случае понятие угла между прямой и плоскостью мы не будем вводить. (Иногда договариваются считать, что угол между параллельными прямой и плоскостью равен 0°.) Замечание. Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости. Докажем это утверждение. Пусть прямая а пересекает плоскость α в точке О. Прямая a1 – проекция прямой а на плоскость α. Пусть прямая b – произвольная прямая, лежащая в плоскости α, проходящая через точку О и не совпадающая с прямой a1. Обозначим буквой φ0 угол между прямыми а и a1, а буквой φ – угол между прямыми а и b. Докажем, что угол φ0 < φ. Если прямые а и b не перпендикулярны, то из точки М, принадлежащей прямой а, проведем перпендикуляры МА и МB к прямым a1 и b соответственно. Из прямоугольных треугольников MAO и MBO найдем синус угла φ0 и синус угла φ. , а . Теперь рассмотрим отношение синуса Тогда имеем, угла φ0 к синусу угла φ. Оно равно отношению MA к MB. А так как длина перпендикуляра MA меньше длины наклонной MB, то отношение синуса угла φ0 к синусу угла φ меньше 1. Значит, синус угла φ0 меньше синуса угла φ. Отсюда следует, что угол φ0 меньше угла φ, так как углы φ0 и φ – острые. Если же прямые а и b перпендикулярны, то угол φ равен 90°, а значит, угол φ будет больше φ0. Что и требовалось доказать. Задача. Дан правильный тетраэдр Найдите косинус угла между прямой . и плоскостью . Решение. Ответ. Подведем итоги урока. На этом уроке мыдали определения проекции точки на плоскость и проекции прямой на плоскость. Ввели понятие проекции произвольной фигуры на плоскость. А затем дали определение угла между прямой и плоскостью.