Конспект урока "Усеченный конус"

На этом уроке мы познакомимся с понятием усеченного конуса. Дадим его определение. Назовем и  рассмотрим основные элементы усеченного конуса. А затем выведем формулы для вычисления  площади боковой поверхности и площади полной поверхности усеченного конуса. Конспект урока "Усеченный конус"    На этом уроке мы познакомимся с понятием усеченного конуса. Дадим определение усеченного конуса. Назовем и рассмотрим его основные элементы. А затем выведем формулы для вычисления площади боковой поверхности и площади полной поверхности усеченного конуса. Итак, рассмотрим понятие усечённого конуса. Вообще вокруг нас существует множество предметов, имеющих форму усечённого конуса. Вафельные стаканчики для мороженного имеют форму усечённого конуса, некоторые стаканы, светильники, ведра обладают формой очень близкой к форме усечённого конуса. Некоторые архитектурные сооружения также имеют форму усечённого конуса. И многое другое. Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, параллельную его основанию. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей (верхняя) представляет собой конус, а вторая (нижняя) называется усечённым конусом. Определение: Усечённым конусом называется часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, перпендикулярной оси конуса. Назовём элементы усечённого конуса. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса. Высотой усечённого конуса называется отрезок (или его длина), соединяющий центры его оснований. Прямая Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, расположенные между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Все образующие усечённого конуса равны друг другу. называется его осью. Усечённый конус может быть получен вращением на трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. прямоугольной На экране вы видите усечённый конус, полученный вращением прямоугольной трапеции , перпендикулярной к основаниям вокруг стороны и . При этом основания усечённого конуса образуются вращением оснований . и трапеции, а боковая поверхность – вращением боковой стороны Выведем формулу для вычисления площади боковой поверхности усечённого конуса. Для этого нам нужно доказать, что площадь боковой поверхности усечённого конуса равна образующая усечённого конуса. – радиусы оснований, – , где и – вершина конуса, из которого получен усечённый – одна из образующих усечённого конуса, а точки Доказательство. Пусть конус, его оснований. Причём, конуса равна разности боковых поверхностей двух конусов, т.е. . Преобразуем это выражение. – центры . Тогда площадь боковой поверхности усечённого и Заметим, что длина образующей отрезков поверхности конуса, получаем: . исходного конуса состоит из суммы . Используя формулу для вычисления площади боковой Отсюда, учитывая, что выражение , получим следующее . Теперь выразим треугольники через , . Прямоугольные и подобны по двум углам. Отсюда следует, что , или . Значит, получаем, что . Подставим это выражение в формулу. Упростим. В итоге приходим к следующей формуле: . Этим мы с вами вывели формулу для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса. Таким образом, мы доказали, что площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на длину образующей, где – радиусы оснований, – образующая усечённого конуса. и Площадью полной поверхности усечённого конуса называется сумма площадей его боковой поверхности и площади двух его оснований. Формулу для вычисления площади боковой поверхности усечённого конуса основания усеченного конуса равна основания – мы с вами вывели выше. Площадь нижнего , а площадь меньшего . Подставим все данные в формулу. Отсюда, получаем, что площадь полной поверхности усеченного конуса можно вычислить по следующей формуле: . Теперь давайте решим несколько задач. Задача: длины радиусов оснований и образующей усечённого конуса равны соответственно Решение: рассмотрим четырехугольник см. Вычислите его высоту. . см, см и Это есть прямоугольная трапеция с основаниями трапеции и будет высотой нашего усечённого конуса и . Высота этой . Для того чтобы её найти, проведём из точки основание трапеции значит противоположные стороны равны, т.е. (см), . Фигура . меньшего основания перпендикуляр на большее является прямоугольником, Рассмотрим Катет найдём длину катета . Он прямоугольный (по построению). (см). Применим теорему Пифагора и . Получаем, что (см). Запишем ответ. Задача: длины радиусов оснований усечённого конуса равны см. Вычислите площадь боковой поверхности этого конуса, если угол между образующей и плоскостью его основания равен Решение: запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности усечённого конуса. см и . Рассмотрим четырёхугольник . Это есть прямоугольная трапеция с основаниями трапеции и будет высотой нашего усечённого конуса и . Высота этой . меньшего основания перпендикуляр на большее основание Проведём из точки трапеции противоположные стороны равны, т.е. . Фигура является прямоугольником, значит, (см), . Рассмотрим образующая усечённого конуса наклонена к его основанию под углом . Он прямоугольный (по построению). По условию задачи . Следовательно, катет очередь, и найдём длину гипотенузы . В свою . Применим теорему Пифагора треугольника . Получаем, что нашего усечённого конуса равна (см). (см). Значит, образующая Подставим длины радиусов и образующей усечённого конуса в формулу для вычисления площади боковой поверхности. Посчитаем. Получим, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна Не забудем записать ответ. (см2). Итоги: На этом уроке мы познакомились с понятием усечённого конуса. Узнали, что усечённым конусом называется часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, перпендикулярной оси конуса. Назвали основные элементы усечённого конуса. А также вывели формулы для вычисления площади боковой поверхности и площади полной поверхности усечённого конуса.