Конспект урока "Взаимное расположение сферы и плоскости"

Этот урок посвящен исследованию взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве.  Здесь мы выявим, что в зависимости от соотношения расстояния от центра сферы до плоскости  и радиуса сферы возможны три случая взаимного расположения сферы и плоскости в  пространстве. Затем рассмотрим каждый из этих случаев. Конспект урока "Взаимное расположение сферы и плоскости"    На этом уроке мы рассмотрим возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве. Прежде чем приступить к новой теме, давайте вспомним, что такое сфера. Итак, сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Причём, данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы. В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса точке имеет вид: с центром в В курсе планиметрии мы с вами рассматривали три случая взаимного расположения прямой и окружности, в зависимости от соотношения расстояния от центра окружности до прямой и радиуса окружности. Вспомним их: 1) Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки. 2) Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.3) Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. В стереометрии же можно рассмотреть взаимное расположение сферы и плоскости в пространстве. Итак, давайте исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости. , Для этого введём следующие обозначения. Обозначим радиус сферы буквой центр сферы буквой – буквой , а расстояние от её центра до некоторой плоскости альфа . Введём систему координат плоскостью . . Затем построим плоскость , совпадающую с Изобразим сферу с центром в точке , лежащей на положительной полуоси .Обратите внимание, в этой системе координат точка расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости . , где – Отсюда получаем, что сфера имеет уравнение: Плоскость уравнение имеет вид: . же совпадает с координатной плоскостью , а значит, её Если координаты какой-нибудь точки уравнениям, то точка общей точкой плоскости и сферы. Если же система этих двух уравнений не имеет решений, то сфера и плоскость не имеют общих точек. удовлетворяют обоим , так и на сфере, т. е. является лежит как в плоскости Таким образом, вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений: Подставим следующее уравнение: во второе уравнение. Преобразуем его, тогда получим Следовательно, в зависимости от соотношения до плоскости расположения сферы и плоскости в пространстве. и – радиуса сферы возможны три случая взаимного – расстояния от центра сферыРассмотрим первый случай. Если . Тогда окружности радиуса с центром в точке на плоскости . , и наше уравнение: является уравнением Координаты любой точки уравнению плоскости являются общими точками плоскости и сферы. Таким образом, в данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности. , так и уравнению сферы, т. е. все точки этой окружности этой окружности удовлетворяют как Сделаем вывод. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность. Понятно, что сечение шара плоскостью есть круг. С приближением секущей плоскости к центру шара радиус сечения (круга) увеличивается. Тогда расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно нулю, а в сечении получается круг, радиус которого равен радиусу шара. Определение: Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной.А круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом шара. Если же секущая плоскость не проходит через центр шара, то расстояние от центра сферы до секущей плоскости и . Очевидно, что тогда радиус сечения будет меньше радиуса сферы. Рассмотрим второй случай. Если ., и уравнению . Следовательно, только координаты точки Тогда числа удовлетворяют обоим уравнениям, значит, и плоскости. и – единственная общая точка сферы удовлетворяют только Сделаем вывод: если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку. И рассмотрим третий случай. Если . Тогда координаты никакой точки. , и значит, уравнению не удовлетворяют Сделаем вывод, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек. Задание: отрезок расположение сферы радиуса мм; б) а) . Выясните взаимное , если: см, – высота тетраэдра с центром и плоскости см, дм, см; в) см.Решение: чтобы выяснить взаимное расположение сферы и плоскости, мы должны рассмотреть соотношение расстояния от центра сферы до плоскости и радиус сферы. В первом пункте, расстояние от центра сферы до плоскости сферы. больше радиуса Следовательно, сфера и плоскость не имеют общих точек, и значит, не пересекаются. Во втором пункте, расстояние от центра сферы до плоскости радиуса сферы. меньше Значит, сфера и плоскость пересекаются по окружности. И в последнем пункте, расстояние от центра сферы до плоскости радиусу сферы. равно А это говорит о том, что сфера и плоскость имеют только одну общую точку или иначе говоря, плоскость касается сферы. Задача: шар пересечён плоскостью. Площадь сечения равна Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно шара. Решение: сечение шара плоскостью – круг, центр которого совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость сечения. см. Найдите радиус см2.Значит, из центра шара О проведём перпендикуляр точки . Получим прямоугольный треугольник и гипотенуза . . Затем соединим , у которого По условию задачи круга Из прямоугольного треугольника см, , то получаем, что радиус сечения равен (см). см2. Так как площадь по теореме Пифагора находим: (см). Запишем ответ. Итоги: На этом уроке мы рассмотрели случаи возможного взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве. И выявили, что: если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность; если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку; и если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.