Конспект урока "Задачи на построение сечений"

Очень часто при решении задач необходимо строить сечение тех или иных пространственных  фигур. В этом видеофрагменте мы введем понятие сечения тетраэдра и параллелепипеда.  Рассмотрим, какие фигуры могут получиться при сечении тетраэдра и параллелепипеда  плоскостью. Разберем задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Конспект урока "Задачи на построение сечений"    Материал урока. Прежде чем мы приступим к решению задач на построение сечений, давайте вспомним, какие фигуры называются тетраэдром и параллелепипедом. Повторим основные аксиомы стереометрии. Первая аксиома звучит так: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Вторая аксиома звучит так: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Третья аксиома звучит так: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Очень часто при решении задач необходимо строить сечение тех или иных пространственных фигур. На уроке мы рассмотрим задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Прежде всего, давайте уточним, что мы будем понимать под сечением тетраэдра или параллелепипеда. Секущей плоскостью тетраэдра или параллелепипеда мы назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра или параллелепипеда. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра или параллелепипеда по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра или параллелепипеда. Мы знаем, что у тетраэдра четыре грани, значит, его сечениями могут быть треугольники или четырехугольники. У параллелепипеда 6 граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники. При построении сечений параллелепипеда мы не забываем, что если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. То есть, если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки будут параллельны. На рисунках нетрудно убедиться в этом. Секущая плоскость пересекает левую и правую грани по отрезкам AB и CD, а переднюю и заднюю грани по отрезкам АЕ и BC. Поэтому можно записать, что АB параллельно CD и АЕ параллельно BC. На втором рисунке АB параллельно ЕD, AF параллельно CD, BC параллельно EF. Для построения сечения тетраэдра или параллелепипеда достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами пространственного тела, а после этого соединить каждые две построенные точки, которые лежат в одной грани. Перейдем к решению задач. Сначала рассмотрим задачу, в которой секущей плоскостью тетраэдра будет треугольник. Задача. Построить сечение тетраэдра плоскостью, которая проходит через точки Построение. , , . Поскольку каждые две точки лежат в одной грани, значит, секущая плоскость пересекает грани по прямым МК, НК, МН. Значит, треугольник МНК – искомое сечение. Рассмотрим аналогичную задачу для параллелепипеда. Задача. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки Построение. , , . Решим еще несколько задач. Задача. Построить сечение тетраэдра плоскостью, которая проходит через точки Построение. , лежащие соответственно на рёбрах , , , , . Теперь давайте вернемся на несколько шагов назад и построим такую дополнительную точку, которая будет лежать в грани DBC и DAB. Для этого продлим до пересечения прямые EF и DB. Эта точка лежит в грани DBC, значит, ее можно соединить с точкой К. Обозначим за точку M точку пересечения этой прямой с ребром BC. Тогда получим, что секущая плоскость пересекает грань DBC по прямой NK. Точка N лежит в плоскости ABC, значит, ее можно соединить с точкой F. Значит, секущая плоскость пересекает грань ABC по прямой FN. То есть получили, что еще одним вариантом сечения тетраэдра плоскостью, которая проходит через тоски F, Е, К будет четырехугольник FEKN. Задача. Построить сечение прямого параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки Построение. , , . Решим еще одну задачу. Задача. Построить сечения куба плоскостью, проходящей через точки , Построение. , . Метод построения сечения, при котором находят след секущей плоскости на каждой грани, называется методом следов. Решим еще одну задачу. Задача. Построить сечение прямого параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки Построение. , , . Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы определили, что секущей плоскостью тетраэдра или параллелепипеда называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра или параллелепипеда. Показали, что в сечении тетраэдра может получиться треугольник или четырехугольник. В сечении параллелепипеда может получиться треугольник, четырехугольник, пятиугольник или шестиугольник.