Конспект урока "Зеркальная симметрия"

На этом уроке мы введем понятие зеркальной симметрии или симметрии относительно плоскости. Покажем, что зеркальная симметрия будет примером движения пространства. Конспект урока "Зеркальная симметрия" Сегодня на уроке мы вспомним такое понятие, как зеркальная симметрия или симметрия относительно плоскости, проверим, будет ли зеркальная симметрия движением пространства. называются симметричными относительно плоскости , если и перпендикулярна к этому проходит через середину отрезка и Точки плоскость отрезку. Плоскость Каждая точка плоскости называется плоскостью симметрии. считается симметричной самой себе. Сформулируем ещё одно определение зеркальной симметрии. Зеркальной симметрией или симметрией относительно плоскости называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей относительно плоскости Теперь давайте попробуем определить, будет ли зеркальная симметрия являться движением пространства. точку . Введём прямоугольную систему координат Оxyz так, чтобы плоскость Оxy совпала с плоскостью симметрии и попробуем установить связь между координатами двух точек: точки М с координатами x, y, z и точки М1 с координатами x1, y1,z1симметричных относительно плоскости Оxy. Тогда, если точка М не лежит в плоскости Оxy, то эта плоскость проходит через середину отрезка ММ1 и перпендикулярна к нему. Из того, что плоскость проходит через середину отрезка ММ1 можно записать, что точка пересечения прямой и плоскости имеет аппликатой полусумму аппликат точек М и М1. Поскольку это координатная плоскость, то аппликаты всех точек плоскости равны нулю. Тогда получаем, что аппликата точки М1 равна – z. Поскольку ось Оxy перпендикулярна отрезку ММ1, то, значит, этот отрезок параллелен оси Оz, и, следовательно, x1 = x, y1 = y. Если же точка М лежит в плоскости Оxy, то она по определению плоскости симметрии отображается сама на себя. Аппликаты точек плоскости Оxy равны нулю, то есть выполняется условие, что z1 = – z. Также очевидно выполнение равенств x1 = x и y1 = y. Если в качестве плоскости симметрии взять координатную плоскость Оxz, то для координат точки симметричной точке М, будут справедливы равенства x1 = – x, y1 = y, z1 = z. Если в качестве плоскости симметрии взять координатную плоскость Оyz, то для координат точки симметричной точке М, будут справедливы равенства x1 = x, y1 = – y, z1 = z. Теперь давайте рассмотрим две произвольные точки: и плоскости симметрии плоскость Оxy. По только что доказанным формулам, координаты точки . Построим симметричные им точки , выбрав в качестве . , Координаты точки расстояний и . . Запишем формулу для вычисления Получим одинаковые выражения, то есть симметрии сохраняется расстояние между точками, значит, зеркальная симметрия – движение пространства. , то есть при зеркальной Задача: найти координаты точек, в которые переходят точки , координатных плоскостей. Решение: применим только что полученные формулы. Тогда получим, при зеркальной симметрии относительно , Если точка плоскости симметрична точке то справедливы формулы: относительно . Точка Точка Точка Если точка плоскости симметрична точке то справедливы формулы: Точка Точка Точка Если точка то справедливы формулы: симметрична точке Точка Точка Точка . . . . . . . . . . относительно . относительно оси Итоги: Сегодня на уроке мы вспомнили такое понятие как зеркальная симметрия или симметрия относительно плоскости, доказали, что зеркальная симметрия является движением пространства. Применили полученные знания для решения задачи.