Лекции по высшей математике по теме "Векторы и действия с ними"
Оценка 4.9

Лекции по высшей математике по теме "Векторы и действия с ними"

Оценка 4.9
Лекции
pdf
математика
Взрослым
01.10.2019
Лекции по высшей математике по теме "Векторы и действия с ними"
Векторная алгебра - раздел математики, в котором изучаются вектора и операции с ними, а также свойства этих операций. Возникла в связи с потребностями механики и физики. Рассматриваются следующие темы: Векторы и линейные операции над ними. Определение вектора. Координаты вектора. Модуль вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами. Вычисление скалярного, смешанного и векторного произведения векторов. Приложения скалярного, смешанного и векторного произведения векторов.
Векторы .pdf

Тема 2. Векторная алгебра

 

Векторная алгебра - раздел математики, в котором изучаются вектора и операции с ними, а также свойства этих операций. Возникла в связи с потребностями механики и физики.Векторы и линейные операции над ними.

 

Векторы и линейные операции над ними

Величины, для определения которых достаточно задать одно число, называются скалярными (примерами скалярных величин могут служить площадь треугольника, длина окружности, масса материальной точки, время движения и т.д.). Но есть величины (скорость и ускорение материальной точки, сила и т.д.), которые характеризуются направлением, помимо численного значения. Такие величины называются векторными.

Опр. 1. Вектором называется направленный отрезок прямой, характеризующийся длиной и направлением. 

На чертеже вектор обозначается стрелкой; над буквенным обозначением вектора также ста-

                                                          вится стрелка AB , a . Точка Α – начало a , точка Β – конец a .

Если Α =Β (начало вектора совпадает с концом), то он называется нулевым и обозначается0 .

По опр. 2 получим 0 0.

                                                                                  

Вектор e , у которого e 1, назовем единичным.

Опр. 3. Коллинеарными называют векторы, расположенные на параллельных (в частности, на одной) прямых, а компланарными – векторы, расположенные в параллельных (в частности, в одной) плоскостях.

  a || b– обозначение коллинеарных векторов. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору:

 

0|| a .

                                                                                                                                                                     

Если a || b , то либо они направлены одинаково и тогда векторы a  и  b называются сонаправ-

                        ленными и обозначаются как a  b , либо векторы a  и  b направлены противоположно и обознача-

        ются как a  b .

 

Опр. 4. Два вектора a  и  b называются равными, если они имеют одинаковую длину и сона-

  правлены, пишут a b .

Отсюда следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, перемещая начало Α в любую другую точку на плоскости или в пространстве. Такие векторы называются свободными.

В дальнейшем будем рассматривать только свободные векторы.

Линейными операциями над векторами называют операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на действительное число.

                                                                                                                                                                     

Суммой abдвух векторов a  и  b называется вектор с ab , идущий

                          из начала вектора a в конец вектора b при условии, что начало вектора b

приложено к концу вектора a .

Это правило нахождения суммы двух неколлинеарных векторов называется правилом треугольника.

Данное определение справедливо для любых векторов.

                                                                 

ABBC AC

 

Кроме правила треугольника сумму двух векторов можно находить по правилу параллело-

  грамма (если a  и  b не коллинеарны).

 

 

Если векторы a  и  b приложены к общему началу и на них постро-

             ен параллелограмм, то сумма ab этих векторов представляет собой диа-

  гональ параллелограмма, идущую из общего начала векторов a  и  b .

Сумму трех и более векторов можно находить по правилу многоугольника, при этом начало следующего вектора является концом предыдущего вектора.

 

                                                                                                                                                                                                                                                       

Произведением вектора a на действительное число α называется вектор b , удовлетворяющий следующим условиям:

                                                 

1.        b a

                                                                                             

2. b  a при 0, то есть b  и  a  сонаправлены,

                                                                                            

b  a при 0 , то есть b  и  a  противоположно направлены.

 

 

Теорема. Два вектора a  и  b коллинеарны тогда и только тогда, когда существуют такое чис-

        ло α, что b a .

                                                                                                                                                                                                                     

Т.е. можно получить следующее условие коллинеарности двух векторов: a || b  b a 

                                                                                                                                          

Разностью векторов a  и  b называется такой вектор с , который яв-

                              ляется суммой векторов a  и  -b , т.е. с a(-b) . Разность векторов a  и  b

                                                                                                

будем обозначать с a-b . Если векторы a иb приложены к общему нача-

               лу, то разностью векторов a  и  b будет вектор a-b, идущий из конца век-

                                                     

тора b к концу вектора a .

Свойства линейных операций

Свойства операции сложения векторов

Свойства операции умножения вектора на число

                                     

1.     ab ba (коммутативность сложения)

2.     ab  cabc(ассоциативность сло-

                                   

жения) 

                                                                                                                                      

3.     Для любого вектора a существует вектор (-a )

                                                                                               

(противоположный) такой, что a(a) 0 (свойство противоположного вектора)

                                                                                                                    

4.     Для любого вектора a выполняетсяa0 a (свойство нулевого вектора)

1.     ab ab (дистрибутивность

                  

умножения относительно сложения векторов)

                                                         

2.     a aa (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел)

3.     a  a (ассоциативность числовых

                

сомножителей)

 

 

Проекция вектора на ось и еѐ свойства Под осью l будем понимать направленную прямую. 

Опр. 1. Проекцией точки A на ось l называется основание перпендикуляра АА, опущенного из точки A на l. Обозначение прl А А.

                                                                                                                                                                                                      

Опр. 2. Составляющей вектора AB по оси l называется вектор AB, где А  прl А , В  прl В .



1) прl АВ АВ cosАВ ,l;

                                                                              

2) проекция суммы векторов на ось l равна сумме проекций векторов на l

прl ab  прl aпрl b;

                                      

3) прl АВпрl AB, = const. Разложение вектора по базису.

Множество всех векторов пространства с введенными над ними операциями сложения векторов и умножения вектора на число образует векторное (или линейное) пространство. Будем обозначать егоV3. Соответственно на плоскости получим векторное пространство V2 , а на прямой -V1.

 

Опр. 1. Любой ненулевой вектор e1 0 в пространстве V1 (множестве всех коллинеарных между собой векторов) называется базисом этого пространстваV1

                                                                                                                                                                   

Для любого вектора aV1 существует такое число xR, что a xe1. Число x называется ко-

  ординатой вектора a в базисе e1⟩.

 

Опр. 2. Базисом на плоскости (пространство V2 ) назовем любые два не-

  коллинеарных вектора e1,e2 этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Для любого вектора aV2 существуют такие два числа x,yR, что  

                            a xe1ye2

                                                                                                                                                                                                    

Эти числа называются координатами вектора a в базисе e1,e2 , то есть a (x, y).

Опр. 3. Базисом в пространстве (пространство V3) назовем любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. 

                                                                                                                                                                                                                   

Для любого вектора a V3 существуют такие три числа x,y,zR, что a xe1ye2ze3.

                                                                                                                                                                           

Эти числа называются координатами вектора a в базисе e1,e2,e3 , то есть a (x, y,z). При сложении двух векторов, заданных в одном базисе, их соответственные координаты складываются. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

             

Декартова прямоугольная система координат (ДПСК)

Опр. 1. Углом между ненулевыми векторами a  и  b (обозначается a,b) называется          

                        наименьший угол, на который надо повернуть вектор a до совмещения с вектором b (направления должны совпасть).

Очевидно, что 0 1800 (0).

 

Если угол между векторами прямой, то они называются ортогональными (перпендикулярны-

 ми) и обозначаются ab .

Пусть в качестве базиса в пространстве выбраны три взаимноперпендикулярных вектора с длинами, равными единице. Обозначение:

                                                                                                                j , ik, jk.

Такой базис называется ортонормированным. Векторы

  

i, j,k называются базисными ортами.

Зафиксируем точку O– начало координат и отложим от нее век-

  

торы i, j,k . Полученная система координат называется ПДСК. 

Координаты любого вектора в этом базисе называются декартовыми координатами вектора:

 

                                                                                                                                                       

а OA xiyjzk , a = (x, y, z),

x абсцисса, y ордината, z аппликата.

  

Обычно рассматривается правая система координат (правая тройка векторов i, j,k ), то есть

                     такая, что из конца вектора k (последний в тройке) кратчайший поворот от i к j виден совершающимся против хода часовой стрелки.

В противном случае система векторов левая.

                                                                    

                                      0 a     x , y , z представляет собой вектор единичной длины или орт данного

Вектор а   a a a a

направления.

Если началом вектора a является точка A(x1, y1,z1), концом – точка B(x2, y2,z2) , то век-

                                                                                                                                                                                              

тор аAB имеет координаты a (x2 x1, y2 y1,z2 z1) и a (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2 . Деление отрезка в данном отношении

                                                                                                                                                                                                                                                                                  

Координаты точки M (x, y), делящей вектор АВ в соотношении λ (λ≠ -1), то есть АМ МВ, находятся по формулам: 

                                                                                                                                 хА хВ                       уА уВ                     zА zВ

                                                                                                               х 1, у   1, z          1

                               в частности, при λ =1 ( АММВ, M – середина АВ

х хА хВ , у уА уВ , z zА zВ .

                                                                                                2                     2                    2

             

Действие над векторами, заданными своими координатами

                                                                                     

Если а (ах ,аy ,аz ) и b (bх ,by ,bz ), то: 

 

1)            аb (ах bx ,аy by ,аz bz );

2)            а (ах ,аy ,аz );

3)            а ах2 ау2 аz2 , т.е. в ортонормированном базисе длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его координат.

 

4)            аb т. и т. т., когда ах bx ,аy by ,аz bz

                                                                                                      a          ay            az                                                                                                                                  

5)            a || b т. и т. т., когда a b           bx by bz (1), то есть координаты векторов a иb пропор-

циональны. Условие (1) считается выполненным, если числитель и знаменатель одной из трех дробей равны нулю, а две другие дроби образуют верное равенство. Выполнено оно и в случае, когда числители и знаменатели двух дробей равны нулю.

 

Скалярное произведение векторов

 

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a иb называется число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними

                                                                                                                                                                         

ab abcos, где угол между векторами a и b

                                                                

Обозначение ab или (a,b).

                                                                                     

Так как прaa cos и прbb cos, то для скалярного произвеba

дения справедливо abbпрaaпрb.  

                                                                     b                                a

Свойства скалярного произведения 

                                                                                                   

1.       Переместительный закон ab ba

                                                                                                           

2.       Сочетательный закон(a)b (ab)

                                                                                                                       

3.       Распределительный закон a(bс) abaс

2

4.       a2 a (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины) 

5.       ab a0, b0 ab0.

                                                  

Скалярное произведение в координатах 

                                                                                                                                                                                                                                  

Если векторы a и b заданы своими координатами а (ах ,аy ,аz ) и b (bх ,by ,bz ), то для определения скалярного произведения и угла между векторами справедливы следующие соотношения:

abaxbx ayby azbz ,

т.е. в ортонормированном базисе скалярное произведение есть сумма произведений соответствующих координат.

cos(a,b) ab axbx ayby azbz , ab ах2 ау2 аz2 bх2 bу2 bz2

 т.е. в ортонормированном базисе длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его координат.

                                                                                                                                                                   

                Условие ортогональности векторов    в координатной форме a b axbx ayby azbz 0.

 

 

 

Векторное произведение векторов

                                                                                                                                                                                    

Векторным произведением векторов a иb называется вектор с такой, что:

                                                                                                                      

1)     с absin, где угол между векторами a и b ;

   

2)     с aс b,т.е. он перпендикулярен двум данным векторам;

                                                

3)     векторыa , b и с образуют правую тройку векторов. 

                                                                                 

Обозначение ab или [a,b] 

 

Замечание. Если векторы a  и  b неколлинеарны, т.е. непараллельны, то модуль векторного

  произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах a  и  b (геометрический смысл векторного произведения): 

                                                                                                                                                   1

Sпаралма ab absin. Тогда площадь треугольника Sтреуг. Sпаралма . 2

 

Свойства векторного произведения

                                                                                                                        

1.      Антипереместительный закон [a,b]  [b,a]

                                                                                                                

2.      Сочетательный закон [a,b][a,b][a,b], т.е. постоянный множитель можно выносить за знак векторного произведения векторов.

                                                                                                                                    

3.      Распределительный закон [a,bс] [a,b][a,с] 4. a|| b a0, b0[a,b] 0. В частности .

                                                 

Векторное произведение в координатах 

                                                                                                                                                                                                              

Если векторы a иb заданы своими координатами а(ах,аy,аz ) и b(bх,by ,bz ) в ортонор-

   мированном базисе i, j,k , то

   i j k

 ay                                                                                    azax                           azax                       ay                                                                                                                                                    

ab ax                     ay                   azk aybz byaz iaxbz bxaz jaxby bxay k     by                bzbx             bzbx b bx            by                   bzy

  

Смешанное произведение векторов

                                                                                                                                               

Смешанным произведением трех векторов a , b и  с называется скалярное произведение

                                                                              векторного произведения векторов a иb и вектора с , которое обозначают abc или (ab)cСвойства смешанного произведения

1.             Смешанное произведение не изменится при перестановке знаков скалярного и векторно-

      го произведений [a,b]с а[b,с]

2.             При перестановке в смешанном произведении двух векторов его знак меняется на про-

            тивоположный:abc  bac  acb  cba

                3.      Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке векторов:

                                               

abc bca cab

Смешанное произведение в координатах


Если известны координаты всех трех векторов а (ах ,аy ,аz )

ax

  

их смешанное произведение находится по формуле: abc bx cx

ay by cy

 

Применение смешанного произведения

 

1.                  Установление компланарности векторов: abc 0 одной плоскости. 



                                                       

, b (bх ,by ,bz ), с (сх ,сy ,сz ),то az bz. cz



 a,b,c компланарны, т.е. лежат в


2.                  Определение взаимной ориентации векторов a,b,c : если смешанное произведение

                                                                                                                                                                                                

abc 0, то векторы a,b,c образуют правую тройку, если abc 0, то тройка векторовa,b,c – левая.

3.                  Определение объемов параллелепипеда и тетраэдра, построенного

     на векторахa,b,c : Vпаралда abc

 

1

Объѐм треугольной пирамиды Vпирамиды Vпаралда

                                                                                               6             

 

Тема 2. Векторная алгебра

Тема 2. Векторная алгебра

Линейными операциями над векторами называют операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на действительное число

Линейными операциями над векторами называют операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на действительное число

Разностью векторов a и b называется такой вектор с , который яв-        ляется суммой векторов a и -b…

Разностью векторов a и b называется такой вектор с , который яв-        ляется суммой векторов a и -b…

АВ  АВ cos  АВ , l  ;   2) проекция суммы векторов на ось l равна сумме проекций векторов на l…

АВ  АВ cos  АВ , l  ;   2) проекция суммы векторов на ось l равна сумме проекций векторов на l…

Опр. 1. Углом между ненулевыми векторами  a и  b (обозначается     a  , b    ) называется…

Опр. 1. Углом между ненулевыми векторами  a и  b (обозначается     a  , b    ) называется…

А    х В у

А    х В у

Сочетательный закон (  a )  b   ( a  b )         2

Сочетательный закон (  a )  b   ( a  b )         2

Свойства векторного произведения     1

Свойства векторного произведения     1

Определение взаимной ориентации векторов a , b , c : если смешанное произведение     a  b  c  0, то…

Определение взаимной ориентации векторов a , b , c : если смешанное произведение     a  b  c  0, то…
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
01.10.2019