Лекционный материал на тему "Определённый интеграл"

3 курс ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ Лекция №13 Тема: Определённый интеграл План: 1. Площадь криволинейной трапеции 2. Определённый интеграл. Формула Ньютона­Лейбница 1. Площадь криволинейной трапеции Определение.   Фигура,   ограниченная   графиком   функции   y=f(x)   (функция   f(x)   на [a;b] заданном отрезке непрерывна и не имеет знака), прямыми  x=a  и  x=b  и отрезком  оси  Ox  называется криволинейной трапецией. Различные примеры криволинейных трапеций приведены на рисунках 1.1,  a−e . Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема: Теорема. Если   f   – непрерывная и неотрицательная на отрезке     функция, a   F   – ее первообразная на этом отрезке, то площадь   S   соответствующей криволинейной трапеции (рисунок 1.2) равна приращению первообразной на отрезке  , то есть [a;b] [a;b] S=F(b)−F(a) Доказательство.   Рассмотрим   функцию   S(x)  (1)  ,   определенную   на   отрезке   [a;b] .   Если a0 . Поскольку  ∆S(x)=S(x+∆x)−S(x)  – площадь фигуры, заштрихованной на рисунок 1.2, b . Возьмем теперь прямоугольник той же площади  ∆S(x) [x;x+∆x] (рисунок 1.2,  c ). В силу непрерывности функции   f  верхняя сторона прямоугольника пересекает график   функции   в   некоторой   точке   с   абсциссой   c∈[x;x+∆x]   (в   противном   случае   этот [x;x+∆x] прямоугольник либо содержится в части криволинейной трапеции над отрезком  держит   ее;   соответственно   его   площадь   будет   меньше   или   больше   площади   ∆S(x) прямоугольника равна  f(c) . По формуле площади прямоугольника имеем , опирающийся на отрезок  ).   Высота  либо со­ ∆S(x)=f(c)∆x ,   откуда ∆S(x) ∆x =f(c) .  Последняя формула верна и при   ∆x<0 . 3 курс ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ Поскольку точка  c  лежит между  x  и  x+∆x , то  c  стремится к  x  при  ∆x→0 . Так как функция  f  непрерывна,  f(c)→f(x)  при  ∆x→0 . Итак,  →f(x)  при  ∆x→0 . ∆S(x) ∆x Формула (2) доказана. Мы   получили,   что   S   есть   первообразная   для   f .   Поэтому   в   силу   основного   свойства первообразных для всех  x∈[a;b]  имеем: S(x)=F(x)+C ,  где   C   –   некоторая   постоянная,   a   F   –   одна   из   первообразных   для   функции   f .   Для нахождения  C  подставим  x=a : F(a)+C=S(a)=0 ,  откуда  C=−F(a) S(x)=F(x)−F(a) Поскольку площадь криволинейной трапеции равна   S(b) . Следовательно,  (4) , подставляя   x=b   в формулу (4), получим: . S=S(b)=F(b)−F(a) Пример. Вычислим площадь  S  криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)=x2 ,  прямыми  y=0 ,  x=1  и  x=2  (рисунок 1.3). Для функции  f(x)=x2  одной из первообразных является функция  F(x)=x3 S=F(2)−F(1)=23 Вы   видели,   что   вычисление   производной   функции   в   большинстве   случаев   связано   лишь   с 3 . Следовательно, 3 = 7 3 .  3 −13 трудностями вычислительного характера. Сложнее обстоит дело с нахождением первообразных. Так, не сразу ясно, имеет данная функция первообразную или не имеет. В связи с этим отметим, что любая непрерывная  на промежутке  функция  имеет  на этом  промежутке  первообразную. Разъяснение  этого факта дает доказательство формулы (2), приведенное выше. Однако первообразные некоторых из извест­ ных вам функций нельзя записать с помощью функций, изучаемых в школе. Так обстоит дело, например, с функцией  y=√x3+1 .  Криволинейная   трапеция   всегда   опирается   на   ось   Ox   и   целиком   находится   над   осью Ox  или под осью  Ox . Если   криволинейная   трапеция   находится   над   осью   Ox ,   то   её   площадь   вычисляют   по формуле: Sкрив.трапеции=F(b)−F(a) Если   криволинейная   трапеция   находится   под   осью   Ox ,   то   её   площадь   вычисляют   по , где  F(x)−¿ первообразная для  f(x) [a;b]  на  .  формуле:  Sкрив.трапеции=−(F(b)−F(a)) , где  F(x)−¿ первообразная для  f(x)  на  [a;b] . 3 курс ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ 3 курс ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ 2. Определённый интеграл. Формула Ньютона­Лейбница Понятие об интеграле. Рассмотрим другой подход к задаче вычисления площади криволинейной трапеции.   Для   простоты   будем   считать   функцию   f   неотрицательной   и   непрерывной   на   отрезке [a;b]   тогда   площадь   S   соответствующей   криволинейной   трапеции   можно   приближенно подсчитать следующим образом. [a;b]  на  n  отрезков одинаковой длины точками  Разобьем отрезок  x0=a