Лекция для СПО: комбинаторика

Министерство образования Новосибирской области

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Новосибирской области

«НОВОСИБИРСКИЙ КОЛЛЕДЖ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
И ПЕРЕРАБОТКИ»

Лекция по теме «Комбинаторика»

Математика: алгебра и начала анализа, геометрия.

19.01.04 Пекарь; 19.01.14 Оператор процессов колбасного производства;

1курс

Составитель: преподаватель Загурская А.А.

Лекция 1. Комбинаторика. (Сделать конспект)

Цель работы:

1.     Познакомиться с историей возникновения раздела теории вероятности – комбинаторики

2.     Выяснить области применения комбинаторики.

3.     Узнать правила решения комбинаторных задач.

4.      Познакомиться с примерами решения комбинаторных задач.

План:

1.     История возникновения. Основные понятия комбинаторики.

2.     Задачи комбинаторики.

3.     Общие правила комбинаторики.

4.     Размещения, перестановки и сочетания.

5.     Примеры.

6.     Тренинг (письменное домашнее задание).

История возникновения. Основные понятия комбинаторики.

Комбинаторика — раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного конечного множества в соответствии с заданными правилами.

Слово «комбинаторика» происходит от латинского combinare, которое означает «соединять», «сочетать».

Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчёта вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Теория вероятности возникла в 17 веке, когда вероятность различных случайных событий в ряде азартных игр (карты, кости…) вычислили французский математики Пьер Ферма и Блез Паскаль. Они использовали метод, который позже был назван комбинаторным анализом или, «комбинаторикой». Сам термин «комбинаторный» впервые использовал немецкий философ, математик и дипломат В.Г. Лейбниц в своей «Диссертации о комбинаторном искусстве» (1666г.).

А в 1933 году А.Н. Колмогоров определил вероятность на аксиоматическом уровне:

1 аксиома. Вероятность всех возможных событий равна 1.

2 аксиома. Значение вероятности больше либо равно нулю.

3аксиома. Если события не могут совпасть, их вероятности можно складывать.

Современная жизнь в значительной мере без неё немыслима. Оценка рисков, спорт, социология, психология, техническое проектирование, финансы и многое другое  - список бесконечен. Комбинаторные методы находят множество применений. Они используются для решения транспортных задач (в частности задач по составлению расписаний), для составления планов производства и реализации продукции, в теории случайных процессов, статистике, вычислительной математике, планировании экспериментов, шахматных программах для ЭВМ и т.д.

Задачи комбинаторики

Комбинаторика решает для конечных множеств задачи следующего типа:
а) выяснить, сколько существует элементов, обладающих заданным свойством;
б) составить алгоритм, перечисляющий все элементы с заданным свойством;
в) отобрать наилучший по некоторому признаку среди перечисленных элементов.

Комбинаторная задача — это задача, для решения которой необходимо составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций.
Способы решения комбинаторных задач:

• графы;
• таблицы;
• дерево решений,
• перебор возможных вариантов.

Общие правила комбинаторики:

1.     Правило суммы. Если элемент а может быть выбран m  способами, а элемент b другими k способами, то выбор одного из этих элементов a или b может быть сделан m+k способами.

2.     Правило произведения. Если элемент a может быть выбран m способами, а после этого элемент b выбирается k способами, то выбор пары элементов (a;b) в заданном порядке может быть произведен m·k способами.

3.     Правило включения-исключения. Если свойством S обладает m элементов, а свойством P обладает k элементов, то свойством S или P обладает m + k − l элементов, где l — количество элементов, обладающих одновременно и свойством S, и свойством P.

Размещения, перестановки и сочетания.

С помощью общих правил решения можно решать задачи самых разных типов. Однако как в геометрии неудобно всегда сводить решение к аксиомам, а удобнее пользоваться теоремами, так и в комбинаторике вместо решения задачи по общим правилам часто удобнее пользоваться готовыми формулами. Дело в том, что некоторые типы задач встречаются значительно чаще других. Комбинациям, которые встречаются в этих задачах, присвоены особые названия – размещения, перестановки и сочетания.

Решите задачи, применяя правила сложения и умножения.

Примеры.

1.В вазе 7 яблок, 6 груш и 5 мандаринов. Сколько вариантов выбора одного плода?

Решение.

7+6+5=18
Ответ: 18 вариантов.

2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 1010 красных, 99 белых и 88 жёлтых роз?

Решение.

10+9+8=27
Ответ: 27 вариантов.

3. Из города A в город В ведут две дороги, а из города B в город C ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через B, ведут из A в C?

Решение.

2⋅3=6
Ответ: 6 путей.

4.     Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «математика»?

Решение.

Гласные: а, е, а, и, а — 5 шт.
согласные: м, т, м, т, к — 5 шт.
5⋅5=25
Ответ: 25 способами.

5.     Каждый ученик класса побывал в музее или на выставке. В музей сходили 17 человек. На выставке были 13 человек. И в музее, и на выставке были 5 человек. Сколько учеников в классе?

Решение.

Если мы найдём сумму 17+13, то окажется, что каждого, кто побывал и в музее, и на выставке, мы посчитали дважды. Поэтому найденная сумма на 5 больше количества учеников в классе. Следовательно, в классе 17+13−5=25 человек.

Тренинг (письменное домашнее задание).

Правило суммы

Решите задачу, выбирая нужные слова и математические выражения в текст.

На книжной полке стоит 5 учебников по математике, 4 детектива, 3 задачника по физике, 2 любовных романа, 3 сборника стихов и справочник по математике. Сколькими разными способами можно выбрать почитать художественную книгу? Ответы впишите цифрами.

Решение:

Правило произведения. Задание 1

Впишите нужные слова и математические выражения в текст.

В гардеробе имеется 4 юбки (чёрная, коричневая, красная и серая) и 5 блузок (белая, красная, бирюзовая, жёлтая, голубая). Сколько разных нарядов можно из них составить?

Правило произведения. Задание 2

Решите задачу, перетаскивая нужные слова и математические выражения в текст.

В магазине есть 8 видов пиджаков, 7 видов брюк и 6 видов галстуков. Сколькими способами можно купить комплект из пиджака, брюк и галстука?

Решение.

Правило произведения. Задание 3

Имеется 7 видов ягод. Решено приготовить компот из 3 видов ягод. Сколько различных (по сочетанию видов ягод) вариантов компота можно приготовить?