Лекция для СПО: размещение, сочетание

Министерство образования Новосибирской области

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Новосибирской области

«НОВОСИБИРСКИЙ КОЛЛЕДЖ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
И ПЕРЕРАБОТКИ»

Лекция по теме «Размещение. Сочетание»

Математика: алгебра и начала анализа, геометрия.

19.01.04 Пекарь; 19.01.14 Оператор процессов колбасного производства;

1курс

Составитель: преподаватель Загурская А.А.

Лекция 1. Размещение. Сочетание. (Сделать конспект)

Цель работы:

1.     Познакомиться с историей возникновения раздела теории вероятности – комбинаторики

2.     Выяснить области применения комбинаторики.

3.     Узнать правила решения комбинаторных задач.

4.      Познакомиться с примерами решения комбинаторных задач.

Итак, в комбинаторике различают три вида различных соединений (комбинаций) элементов фиксированного (конечного) множества. Это перестановки, размещения и сочетания.

Размещениями из m элементов по n элементов () называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по n различным местам n из m различных предметов?

Число всевозможных размещений из m элементов по n элементов обозначают .

Формула числа размещений m элементов по n имеет следующий вид:

.

В случае, когда нужно найти число размещений из n элементов по n элементов, оно равно числу перестановок из этих элементов.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по n различным местам n из m предметов, среди которых есть одинаковые?

Формула числа размещений с повторениями имеет следующий вид:

.

Решим задачу. 

В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

Решение.

Решим ещё одну задачу. 

В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 пассажиров. Сколькими способами могут выйти пассажиры на каждом этаже, начиная со второго?

Решение.

Ну а теперь давайте поговорим о последнем виде комбинаций элементов, о сочетаниях.

Сочетаниями из m элементов по n в каждом () называются соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать n из m различных предметов?

Число всевозможных размещений из m различных элементов по n элементов обозначают .

Формула числа сочетаний из m элементов по n имеет следующий вид:

, или .

Задачу о числе сочетаний с повторениями можно выразить вопросом: имеется по m одинаковых предметов каждого из различных типов; сколькими способами можно выбрать n из этих m предметов?

Формула числа сочетаний с повторениями имеет следующий вид:

.

Решим задачу. 

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение.

И решим ещё одну задачу. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоёные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение.