Лекция№12 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка. Задача Коши.

Занятие 21, 2 курс СПО

Тема Лекция№12 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка. 

Задача Коши.

1.     Изучить материал Лекции№12 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка.  Задача Коши, [1] (стр.263-267).

2.                 Посмотрите видеоурок по ссылке

https://www.youtube.com/watch?v=99AgDh_BN58.

3.                 Сделайте краткий конспект лекции и примеров решения задач, используя опорный конспект.

4.                 Ответить на контрольные вопросы (в конце лекции).

5.                 Ответы, фото конспекта выслать на почту преподавателя slehekha@yandex.ru или в Телеграмм группу.

Лекция№12 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка.  Задача Коши.

Цели:

- помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;

-  помочь овладеть методами решения ДУ;

-  отработать навыки решения обыкновенных диф.уравнений первого порядка;

-  развить логическое мышление студентов;

-  развивать творческие способности студентов;

-  побудить интерес к изучаемому предмету.

Задачи:

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

План

1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение. Задача Коши.

2.Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик , механик, физик.

 Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

 В Швейцарии , на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

 Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем . Неутолимо вычисляя при свечах , он потерял зрение сначала на правый , а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

 В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.

1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение. Задача Коши.

    Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этих функций. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным;  если же независимых переменных две  или больше, то уравнение называется уравнением в частных производных.

  Наивысший порядок производной,  входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Примеры.

1)    х+ уу'=0 – обыкновенное дифференциальное уравнение 1 порядка.

2)     - 4xy  =  - обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

О: Решением дифференциального  уравнения называется такая дифференцируемая функция у=(х), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

О: Общим решением дифференциального  уравнения 1-го порядка у'=f(x;у) в области  D  называется функция у=(х,С), обладающая следующими свойствами:

1)она является решением данного уравнения при любых действительных значениях произвольной постоянной С;

2)для любого начального условия у(х₀) = у₀ такого, что (х₀;у₀) , существует единственное значение С=С₀, при котором решение у=(х,С₀) удовлетворяет заданному начальному условию.

О: Всякое решение у=(х,С₀), получающееся из общего решения у=(х,С) при конкретном значении С=С₀, называется частным решением.

О: Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения у' =f(x;y), удовлетворяющих начальному условию у(х₀) = у₀, называется задачей Коши.

       Построенный на плоскости  хОу график всякого решения у=(х) данного дифференциального  уравнения называется интегральной кривой  этого уравнения. Таким образом, общему решению  (х;С) на плоскости хОу соответствует  семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной  С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию     у(х₀) = у₀, - кривая этого семейства, проходящая через точку (х₀;у₀).

 2.  Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

    О: Дифференциальное  уравнение  вида

          f ₁(x) ₁(y) dx + f ₂(x) ₂ (y) dy = 0

называется  уравнением с  разделяющими  переменными.

Если  f ₂(x) ≠ 0  и   ₁(y) ≠ 0, то его можно представить в виде

                   dx +  dy =0.

В  результате  почленного  интегрирования получаем

               dx +  dy = C.

 Пример 1. Решить уравнение  у' =  .

Решение.   f ₂(x) = x ,  ₁(y)  = у,    =  ,  ydx = xdy.  Разделяя переменные,  получаем    =  .   Интегрируя,  = +  С₁ |,   С₁  0 или         

  =  +  С₁.

Потенцируя,  находим  | у| = | С₁ | |х |, что      эквивалентно     уравнению                  у =  С₁ х.  Полагая   С₁ = С,  окончательно получаем  у = Сх.

Пример 2.  Найти  общее  решение дифференциального  уравнения  

(1 + е^2х ) у² dy = е^х dx  и  частное  решение,  удовлетворяющее  начальному  условию  у(0) = 0.

Решение.  Разделим  переменные:  у² dy=  .   Почленно  интегрируя, 

получим :   у³ = arctg е^х +  С,  или  у³ = 3 arctg е^х + C,   или            

 у =     -   общее  решение  дифференциального уравнения. 

Найдем постоянную  интегрирования   С  из  условия  у(0) = 0:                    

0 =  + С  или  С = - .   Частное  решение  имеет  вид:  у³ = 3 arctg е^х - ,

или      у = .

Пример 3.    Найти  общее  решение дифференциального  уравнения  

х + у у^' = 0  и  частное  решение,  удовлетворяющее  начальному  условию  у(0) =2.

Решение. Разделяя  переменные   и  обозначая  у' =  ,  получим

y = - x    ydy = - xdx.

Почленно  интегрируя,  будем  иметь   = -   +  С  или  х² + у² = С  -  общее решение дифференциального  уравнения.  Найдем  постоянную  интегрирования  С  из условия  у(0) = 2 :  0 + 4 = С  С = 4.  Частное   решение  имеет  вид 

х²  +  у² = 4. 

Замечание.  Геометрической  интерпретацией  общего решения  данного  уравнения  является  семейство  концентрических  окружностей   х²  +  у² = С

С  центром  в  начале  координат.  Частное решение  представляет   собой  конкретную  окружность     х²  +  у² = 4,  проходящую  через  точку с  координатами  (0;2).  

3.Линейные  дифференциальные   уравнения  1  порядка.    

О: Дифференциальное  уравнение  вида  у' + Р(х) у = Q(x)  называется  линейным.  Если  Q(x)  0,  то  уравнение  называется  линейным  неоднородным,  а  если  Q(x) = 0,  то – линейным  однородным.

   Общее  решение  линейного  однородного  уравнения  у' + Р(х) у = 0  легко получается  разделением  переменных

 = - P (x) y    = - P (x) y    = - dx +    

 = -   y = C .

Пример 1. Найти  общее  решение  уравнения  у' + 3у = е^2х.

Решение. Данное  уравнение  является  линейным. Здесь  р(х) = 3;  f(х) = е^2х.  Решаем  сначала  соответствующее  однородное  уравнение     у' + 3у = 0.  Разделяя  переменные    = - 3 dx  и  интегрируя, находим

 = - 3х +    или  у = С₁ е^-3х =  С е^-3х.

    Общее  решение  данного  неоднородного  уравнения  будем  искать  в  том  же  виде  у = С(х) е^-3х,  только  произвольную  постоянную  будем  считать  уже  функцией  от  х.  Здесь применен  метод  вариации  постоянной.  Дифференцируя,  имеем  у' = С' (х) е^-3х – 3С(х) е^-3х.  Подставляя  в  данное  уравнение  выражения  для  у  и  у',  получаем

С' (х) е^-3х = е^2х,  С' (х) = е^5х   или  dC = е^5х dх,  откуда  С(х) =  е^5х + С₂,  где  С₂ – произвольная  постоянная.  Следовательно,  общее  решение  данного  уравнения  имеет  вид  у = С(х) е^-3х = (  е^5х + С₂ ) е^-3х  или  у =   е^2х + С₂ е^-3х  .

   Найдем  теперь  общее  решение  данного  уравнения  методом  подстановки.  Положим  у = uv.  Тогда  будем  иметь  y' = u'v + uv'.

Подставляя эти  выражения  в  данное  уравнение,  получим

 u'v + uv' + 3uv = е^2х  или  u'v + u (v' + 3v) = е^2х.  ()

Теперь  потребуем,  чтобы  выражение  в  скобках  обратилось  в  нуль,  т.е.  чтобы  v' + 3v = 0,  откуда   = - dx;   = - x;   = e^-x;  v= e^-3x. 

Подставляя  найденное  значение  v  в  (),  найдем  u' e^-3x = e^2x;  du = e^5x dx; 

u =  е^5х + С.  Но  у = uv, поэтому  у = е^-3х (  е^5х + С )  или  у =   е^2х + С е^-3х  .

   Пример 2.  Найти  общее  решение  дифференциального  уравнения 

ху' + 2у =    и  частное  решение,  удовлетворяющее начальному  условию 

у(3) =1.

Решение. Пусть  у = uv  y' = u' v + u v'.

Подставляя  у  и  у'  в  исходное  уравнение,  будем  иметь

x v u' + x u v' + 2u v = ;  u ( x v' + 2v ) + x v u' =  .

Решим  уравнение   x v' + 2v = 0   x  = - 2 v  = - 2  

 = -  +    =   v =  ( при  С = 1;  v =  ).

Решим  оставшееся  уравнение:

x v u' =   xv  =     x   =    = 1 du = dx  u = x + C.

Общее  решение  уравнения  имеет  вид   y = u v = .

Найдем  частное  решение:  1 =    С = 6  у =  .

Контрольные  вопросы.

1.                 Дайте  определение  обыкновенного  дифференциального уравнения  первого  порядка.

2.                 Что  называют  общим  и  частным  решением  дифференциального уравнения?

3.                 Какое  дифференциальное   уравнение  называют  уравнением  с  разделяющими  переменными?

4.                 Какое  дифференциальное   уравнение  называют  линейным?

5.                 Покажите  на  примерах  приемы  решения  линейного  неоднородного  обыкновенного   дифференциального   уравнения  первого  порядка.

Опорный конспект

Скачано с www.znanio.ru