Поделиться
Математика 21 занятие 2 курс СПО.doc
Занятие 21, 2 курс СПО
Тема Лекция№12 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Задача Коши.
1. Изучить материал Лекции№12 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка. Задача Коши, [1] (стр.263-267).
2. Посмотрите видеоурок по ссылке
https://www.youtube.com/watch?v=99AgDh_BN58.
3. Сделайте краткий конспект лекции и примеров решения задач, используя опорный конспект.
4. Ответить на контрольные вопросы (в конце лекции).
5. Ответы, фото конспекта выслать на почту преподавателя slehekha@yandex.ru или в Телеграмм группу.
Лекция№12 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка. Задача Коши.
Цели:
- помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;
- помочь овладеть методами решения ДУ;
- отработать навыки решения обыкновенных диф.уравнений первого порядка;
- развить логическое мышление студентов;
- развивать творческие способности студентов;
- побудить интерес к изучаемому предмету.
Задачи:
Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.
Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.
Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.
План
1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение. Задача Коши.
2.Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.
3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.
Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик , механик, физик.
Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.
В Швейцарии , на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.
Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем . Неутолимо вычисляя при свечах , он потерял зрение сначала на правый , а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.
В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.
1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение. Задача Коши.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этих функций. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Примеры.
1) х+ уу'=0 – обыкновенное дифференциальное уравнение 1 порядка.
2) 
- 4xy 
= 
- обыкновенное дифференциальное
уравнение 2-го порядка.
О:
Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция
у=
(х), которая при
подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.
О:
Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка у'=f(x;у)
в области D называется функция у=(х,С), обладающая
следующими свойствами:
1)она является решением данного уравнения при любых действительных значениях произвольной постоянной С;
2)для
любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (х0;у0)
, существует единственное
значение С=С0, при котором решение у=(х,С0)
удовлетворяет заданному начальному условию.
О:
Всякое решение у=(х,С0), получающееся
из общего решения у=(х,С) при конкретном
значении С=С0, называется частным решением.
О: Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения у' =f(x;y), удовлетворяющих начальному условию у(х0) = у0, называется задачей Коши.
Построенный
на плоскости хОу график всякого решения у=(х) данного
дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.
Таким образом, общему решению (х;С) на плоскости хОу
соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра –
произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному
условию у(х0) = у0, - кривая этого семейства,
проходящая через точку (х0;у0).
2. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными
О: Дифференциальное уравнение вида
f 1(x) 
1(y)
dx + f 2(x) 
2
(y) dy = 0
называется уравнением с разделяющими переменными.
Если
f 2(x)
≠ 0 и 
1(y)
≠ 0, то его можно представить в виде
dx
+ 
dy
=0.
В результате почленного интегрирования получаем
dx
+ 
dy
= C.
Пример
1. Решить уравнение у' = 
.
Решение.
f 2(x)
= x , 
1(y)
= у, 
= 
, ydx
= xdy. Разделяя переменные, получаем 
= 
. Интегрируя, 
= 
+ 
С1 |, С1
0 или
= 
+ 
С1.
Потенцируя,
находим | у| = | С1 | |х |, что эквивалентно
уравнению у = 
С1 х.
Полагая 
С1 = С,
окончательно получаем у = Сх.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
(1 + е2х ) у2 dy = ех dx и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 0.
Решение.
Разделим переменные: у2 dy=
. Почленно
интегрируя,
получим
: 
у3 = arctg
ех + С, или у3 =
3 arctg ех + C,
или
у
= 
- общее решение
дифференциального уравнения.
Найдем постоянную интегрирования С из условия у(0) = 0:
0
=
+ С или С = - 
. Частное решение
имеет вид: у3 = 3 arctg
ех - 
,
или
у = 
.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
х + у у' = 0 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) =2.
Решение.
Разделяя переменные и обозначая у' = 
, получим
y
= - x
ydy
= - xdx.
Почленно
интегрируя, будем иметь 
= - 
+ 
С или х2 +
у2 = С - общее решение дифференциального уравнения. Найдем
постоянную интегрирования С из условия у(0) = 2 : 0 + 4 = С 
С = 4. Частное
решение имеет вид
х2 + у2 = 4.
Замечание. Геометрической интерпретацией общего решения данного уравнения является семейство концентрических окружностей х2 + у2 = С
С центром в начале координат. Частное решение представляет собой конкретную окружность х2 + у2 = 4, проходящую через точку с координатами (0;2).
3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.
О:
Дифференциальное уравнение вида у' + Р(х) у = Q(x)
называется линейным. Если Q(x)
0, то уравнение
называется линейным неоднородным, а если Q(x)
= 0, то – линейным однородным.
Общее решение линейного однородного уравнения у' + Р(х) у = 0 легко получается разделением переменных
= - P (x) y 
= - P (x) y 
= - 
dx + 
= - 
y = C 
.
Пример 1. Найти общее решение уравнения у' + 3у = е2х.
Решение.
Данное уравнение является линейным. Здесь р(х) = 3; f(х)
= е2х. Решаем сначала соответствующее однородное уравнение у'
+ 3у = 0. Разделяя переменные 
= - 3
dx и интегрируя, находим
= - 3х + 
или у =
С1 е-3х
= С е-3х.
Общее решение данного неоднородного уравнения будем искать в том же виде у = С(х) е-3х, только произвольную постоянную будем считать уже функцией от х. Здесь применен метод вариации постоянной. Дифференцируя, имеем у' = С' (х) е-3х – 3С(х) е-3х. Подставляя в данное уравнение выражения для у и у', получаем
С'
(х) е-3х = е2х, С' (х) = е5х или dC
= е5х dх, откуда С(х) = 
е5х + С2,
где С2 – произвольная постоянная. Следовательно, общее решение
данного уравнения имеет вид у = С(х) е-3х = ( е5х + С2
) е-3х или у = е2х + С2
е-3х .
Найдем теперь общее решение данного уравнения методом подстановки. Положим у = uv. Тогда будем иметь y' = u'v + uv'.
Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим
u'v
+ uv' + 3uv
=
е2х или u'v
+ u (v'
+ 3v) = е2х. (
)
Теперь
потребуем, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. чтобы v'
+ 3v = 0, откуда 
= - dx;
= - x;
= e-x;
v= e-3x.
Подставляя
найденное значение v
в (
), найдем u'
e-3x
=
e2x;
du = e5x
dx;
u = е5х + С. Но
у = uv, поэтому у = е-3х
( е5х + С )
или у = е2х + С е-3х
.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
ху'
+ 2у = 
и частное решение,
удовлетворяющее начальному условию
у(3) =1.
Решение.
Пусть у = uv 
y'
= u' v
+ u v'.
Подставляя у и у' в исходное уравнение, будем иметь
x v u' + x u v' + 2u v = 
; u ( x v' +
2v ) + x v u' = 
.
Решим
уравнение x v'
+ 2v = 0 
x
= - 2 v
= - 2 
= - 
+ 
= 
v
= 
( при С = 1; v
= 
).
Решим оставшееся уравнение:
x v u' = 
xv 
= 
x 
= 
= 1 
du = dx 
u = x + C.
Общее
решение уравнения имеет вид y
= u v
= 
.
Найдем
частное решение: 1 = 
С = 6 
у = 
.
Контрольные вопросы.
1. Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
2. Что называют общим и частным решением дифференциального уравнения?
3. Какое дифференциальное уравнение называют уравнением с разделяющими переменными?
4. Какое дифференциальное уравнение называют линейным?
5. Покажите на примерах приемы решения линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Опорный конспект
Скачано с www.znanio.ru
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
