Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )
Оценка 5

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Оценка 5
Лекции
doc
математика
Взрослым
30.06.2018
Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )
цель лекции сформировать основные понятия теории пределов как научного обоснования дифференциального и интегрального исчисления. лекция состоит из разделов: история развития теории пределов, понятие предела функции в точке, свойства пределов, понятие бесконечно малой величины и её свойства, методы вычисления пределов, раскрытие неопределённостей с помощью правила Лопиталя. лекция содержит много примеров вычисления пределов разными методами. Лекция может быть использована преподавателями и студентами для самостоятельного освоения дисциплины.Лекция № 2 тема "Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. Основные теоремы о пределах"
Лекция № 2 Предел функции в точке и на бесконечности Документ Microsoft Office Word.doc
Лекция № 2   «Предел функции  в  точке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. Основные теоремы о конечных пределах»         (2  часа). План. 1. Введение.  История  развития  теории  пределов. 2. Понятие  предела  функции   в  точке. 3. Определение  предела  функции  в  точке. 4. Свойства  пределов. 5. Понятие  бесконечно  малой  величины.  Свойства  бесконечно  малых  функций.   6. Методы  вычисления  пределов. Цель:   сформировать  основные  понятия  теории  пределов  как  научного   обоснования  дифференциального  и  интегрального  исчисления;   практические  умения   и  навыки  вычисления  пределов  функций;   развитие  общей  математической  культуры   и  логического  мышления  студентов. 1. Введение.  История  развития  теории  пределов. Интуитивно  понятие  о  предельном  переходе  использовалось  ещё   учёными   Древней  Греции  при  вычислении  площадей  и  объёмов  геометрических  фигур.    Методы  решения  таких  задач  в  основном  были  развиты  Архимедом. Впервые  определение  понятия  предела  было  введено  в  работе  Дж.  Валлиса   «Арифметика  бесконечных  величин»   (XVII  век).   Однако,  исторически  это   определение  не  лежало  в  основе  дифференциального  и  интегрального  исчислений. Понятие  предела  последовательности  или  функции  является  одним  из  основных   понятий  математического  анализа. Это  понятие  использовалось  ещё  во  второй  половине   XVII  века  английским   физиком  и  астрономом  Исааком  Ньютоном  (1642  ­  1727),   а  так  же  математиками   XVIII  века:  швейцарским,  немецким  и  русским  математиком  Леонардом  Эйлером   (1707  ­  1783),  французским  математиком,  астрономом  и  механиком  Жозефом  Луи   Лагранжем  (1736  ­   1813).  Использование  понятия  предела  на  интуитивном  уровне   объяснялось  тем,  что  учёные  того  времени  не  ставили  перед  собой  задачу   построения  теории  пределов.   Человек,  получивший  современное  математическое   образование,  с  трудом   представляет  себе  интегральное  и  дифференциальное  счисление  без  аппарата  теории  пределов.  Однако,  исторически  сложилось  так,  что  производная  появилась  раньше   предела.  Причины  такого  явления  объясняются   насущной  потребностью   естествознания  в  XVII  веке  в  методах  дифференциального  и  интегрального   исчисления. Несмотря   на  отсутствие  строгости,  математики  достигали  всё  большего   мастерства  в  обращении  с  понятиями,  лежащими  в  основе  исчисления  бесконечно   малых  величин. Методы  бесконечно  малых  величин  завоёвывают  популярность  у  математиков   и   всё  больше  используются  и  совершенствуются. Дифференциальное  и  интегральное  исчисления  постепенно  оформляются  и   обобщаются  трудами  Ньютона,  Лейбница. Ньютон  предложил  алгоритм  для  нахождения  производной  функции,  основанный   на  ранней  форме  теории  пределов.   И  Ньютон,  и  Лейбниц  решали  множество    важных  практических    задач,  пользуясь  понятием  бесконечно  малых  величин.    Используя  в  своих  выкладках,   бесконечно  малые  величины,  они  не  могли  объяснить 1 их  природу,  потому  что  не  представляли  себе  малой  величины  и  конечной  и   отличной  от  нуля.   Оба  учёные  близко  подошли  к  понятию  предела. Вслед  за  Ньютоном  и  Лейбницем   попытки  определить  понятие  бесконечно  малой величины  предпринимались  Эйлером,  Даламбером,  Лагранжем.   Эти  попытки  нельзя   признать  бесполезными.  Этими  работами  укрепилось  в  математике  понятие  функции, что  сыграло  свою  роль  в  дальнейшем  развитии   теории  пределов.   Однако,  построить связанную  и  логически  обоснованную   теорию  не  получилось. Таким  образом,  к  XIX  веку  в  математике  сложилась  парадоксальная  ситуация.    Налицо  были  несомненные  успехи  математических  наук  в  естествознании,   разработана  методика  обращения  с  рядами,  дифференциальное  и  интегральное   исчисление,  решены  многие  важные  задачи,  но  понимания  на  чём  основан   математический  анализ  не  было.  Необходимость  разобраться  с  фундаментом  новой   математики  стала  всеобщей  и  насущной. Построением  стройной  и  строгой  теории  бесконечно  малых   мы  обязаны   Огюстену  Луи  Коши.  Следует  признать,   что  Коши  не  был  первым  математиком,   кто  пришёл  к  этой  идее,  но,  исторически,  его  идеи  его  работы  сыграли  в  развитии   математики  ключевую  роль.    Коши  дал  общее  определен6ие   предела   в   описательной  форме:   «Если  значения,  последовательно  приписываемые  одной  и  той   же  переменной,   неограниченно  приближаются  к  фиксированному  значению,  так  что   в   конце  концов  отличаются  от  него  сколь  угодно  мало,  то  последнее  называют   пределом  всех  остальных»  с  точки  зрения  этого  определения  стало  понятным,  что   такое  бесконечно  малая  величина  ­  это  всего  лишь  величина,  имеющая  предел   равный  0. Понятие  предела  очень  активно  применяется  в  экономических  расчётах,   например,  в  доказательствах  и  расчётах,  которые  связаны  с  непрерывными   процессами,  в  финансовых  расчётах.   Пределы  функций  применяются  при   нахождении    асимптот  графика  функции  при  её  исследовании.  Теория  пределов   используется  для  строго  обоснования  математического  анализа. 2. Понятие  предела  функции   в  точке. Пусть  задана  некоторая  функция    f(x) = 2x – 1.  Рассмотрим  график  этой  функции  и   таблицу  её  значений   в  точках,  которые  на  числовой  прямой  расположены   достаточно  близко  к  числу  2. Y 3 0 f(x) = 2x – 1 X 2 х f(x) 1,9 2,8 1,99 2,98 1,999 2,001 2,01 2,998 3,002 3,02 2,1 3,2 2 Из  таблицы  и  графика  видно,  что  чем  ближе  аргумент  х  к  числу  2,  тем   ближе  значение  функции  f(x) = 2x – 1  к  числу  3.  Обозначают   f(x)  f(x)  стремится  к  числу  3  при  значении  аргумента  х  стремящемуся  к  2.   Это   записывается  так:      стремящемся  к  2  (или  предел  функции  в  точке  х = 2)   равен  3.  = 3.  Говорят,  что  предел  функции  2х – 1  при  х,    3 и  говорят,  что Например, записывают    .   Любой  предел  состоит  из  трёх  частей: 1)  Значка  предела   lim; 2) Записи  под   значком  предела   даже    );   (на  месте  1  может  быть  любое  число,   3) Функция  под  знаком  предела  f(x)  =   . Сама  запись      читается    «предел  функции      при  х   стремящемся  к  1». Понятие  предела  ­  это  понятие  динамическое. Что  означает    Построим  последовательность:  ? х1 = 1,1;      х2 = 1,01;     х3 = 1,001;     х4 = 1,0001;  … Выражение  «х  стремится  к  1»  следует  понимать  так  ­   «х  последовательно   принимает  значения  приближающиеся  к  1  и  практически  с  ней  совпадают». В  общем  случае   запись     =  B   обозначает,  что  при   x a    f(x)   B,   то  есть   B ­  число,  к  которому  стремится  значение  функции  f(x),  когда   x    стремится  к  a. Запись  обозначений     x a   и    f(x)   B   можно  показать  с  помощью  знака   модуля: Обозначение  и  его  смысл Рисунок  x a На  числовой  прямой  точка х  находится  от  точки  а    на  малом  расстоянии   (меньше  δ) а - δ δ а х δ Х а + δ f(x)   B    Значение  функции   f(x)  на   ε 3 ε B f(x) Y B + ε B - ε Запись  с   помощью  знака   модуля  <  δ  <  ε числовой  прямой   находится  на  малом   расстоянии  от  числа  В   (меньше   )ε 3. Определение  предела  функции  в  точке.   Чтобы  дать  определение  предела  функции  f(x)  в  точке  а,  вспомним,  что   расстояние  между  точками  х  и  а   на  координатной  оси  Ох   ­  это  модуль    разности  ,   а  расстояние  между  точками  f(x)  и  В  на  координатной  оси   Oy  ­  это   модуль  разности   . Тогда  запись  x a   означает,  что   на  числовой  прямой  точка  х  находится  от   точки  а  на  малом  расстоянии  ­  например,  меньше  какого­то  положительного  числа   .    δ Запись  x a   означает,  что  х  стремится   δ .   Это  можно  записать  так:      к  а,  но  не  обязательно  х  достигает  значения  а,  поэтому  в  определении  предела   функции  в  точке  рассматриваются  значения  х    <    а.  В  том  случае,  когда   х   δ δ ,  говорят,  что  точка  х  находится  в   ­ удовлетворяет  неравенству   окрестности  точки  а.  <   Аналогично,  запись  f(x)   B   означает,  что  значение  функции  f(x)  на  числовой   прямой  находится  на  малом  расстоянии  от  В  ­   например,  меньше  некоторого   положительного  числа   ε .  Это  можно  записать  так:     <  ε. Тогда   можно  дать  следующее  определение  предела  функции  в  точке: число  В  называется  пределом  функции     если   для  любого  положительного  числа   число   δ ,  что  при  всех  х  ε  а,  удовлетворяющих  неравенству    <   ,   δ  f  (  x  )  в  точке  а (  при  х,  стремящемся  к  а),    найдётся  такое  положительное   выполняется  неравенство    <      ε  . 4. Свойства  пределов. Нахождение  числа  В  по  функции  f(x)  называется  предельным  переходом.    Теорема  о  единственности  предела: если  функция  f(x)  в  точке  а  имеет  предел,  то  этот  предел  единственный.  При  выполнении  предельных  переходов  можно  пользоваться  правилами: Если  нам  известны  пределы  функций  f(x) и  g(x),  то для  выполнения  предельного   перехода  над  суммой,  произведением  или  частным  этих  функций  достаточно   выполнить  соответствующие  операции  над  пределами  этих  функций.  Для  частного   эти  правила  выполняются,  если  предел  знаменателя  не  равен  нулю. То  есть  при  x a     f(x)   A  и  g(x)    B,  то   А 4 А · В Основные  свойства  пределов: a) Предел  постоянной  функции  равен  самой    постоянной:       = C. b) Предел  суммы  (разности)   двух  функций  равен  сумме    (разности )  их   пределов,  если   пределы  слагаемых  существуют:      + = = c) Предел  произведения  двух  функций  равен  произведению  их  пределов,  если   пределы  множителей  существуют:      = . d) Постоянный  множитель  можно  выносить  за  знак  предела:        =  . e) Предел  частного  двух  функций  равен  частному  пределов,  если  пределы   числителя  и  знаменателя  существуют  и  предел  знаменателя  не  равен  нулю:   0 , если СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ. = = + = , если 0 = = = C Если = 0, то Если = , то = = 5. Понятие  бесконечно  малой  величины.  Свойства  бесконечно  малых   функций.   5 Функция  f(x),  определённая  в  некоторой  окрестности  точки  а,  называется    x a   ),  если  для  любого  ε бесконечно  малой  функцией    при   х,  стремящемся  к  а  (     δ >  0  найдётся  такое   число    > 0,  что  для  всех  х,  удовлетворяющих   условию   <   δ   (кроме,  возможно,  х = а),  выполняется  равенство    <      ε  . Например,     = 0,  следовательно    = х   при  х  стремящемся  к  нулю  ­   бесконечно  малая  функция;       стремящемся  к  нулю  ­  бесконечно  малая  функция.  = 0,   следовательно    =    при  х   Если    = А,  то  можно  считать,  что  f(x) = A +  (x),  где    (x)  ­   бесконечно  малая  функция  при   Бесконечно  малые  функции  обладают  следующими  свойствами:  если  функции   (х)  и   (х)  бесконечно  малые  при   ,  то  их  сумма    (х)  +  (х),   произведение   (х)  ∙   (х)    и  С∙  (х)  (где  С  ­  постоянная)   также   являются  бесконечно  малыми   при  всех   ;  если  функция   (х)  бесконечно  малые  при   всех      и  для  всех  х,   удовлетворяющих  условию    <   δ   (кроме,  возможно,  х = а),   выполняется   неравенство          ,  то  функция   (х)  также  является  бесконечно   малыми   при  всех   Свойства  бесконечно  малых  функций  применяется  для  доказательства   основных  свойств  пределов. 6. Методы  вычисления  пределов. Метод 1(вычисление пределов  непрерывных  функций).   Когда  дан  любой   предел,  сначала  надо  попытаться  подставить  число,  к  которому  стремится  х,  в   функцию  под  знаком  предела:   пример 1:  =   =   =   = ­3; пример 2: . ?    Это  случай,  когда  х  неограниченно  возрастает,  то  есть   Что  значит  х х1 = 10;      х2 = 100;     х3 = 10000;     х4 = 1 000 000;  … Что  происходит  с  функцией? 1­ 10 = ­ 9; 1 – 100 = ­ 99; 6 1 – 10 000 = ­ 9 999; 1 – 1 000 000 = ­ 999 999,  … Итак,  если  х ,  то  (1 – х) .  =  ­ по  правилу  1  подставить  в  функцию  под  знаком  предела   вместо  х   Пример 3:  получим  ответ. . Аргумент  х  неограниченно  возрастает,  то  есть   х1 = 10.     тогда   f(10) = 100­20­3 = 77; х2 = 100,        тогда    f(100) = 10000­200­3 = 9797; х3 = 10000,   тогда    f(1000) = 1000000­2000­3 = 997 997;   …  Следовательно,  при  х    функция     неограниченно  возрастает.  =  .    Пределы     и  методы  их  решения.   Рассмотрим  пределы  когда  х ,  а  функция  представляет  собой  дробь. Пример 1.  Вычислить  предел     . При  подстановке  по  первому  правилу  в  формулу  функции,  стоящей  под  знаком   предела,     вместо  х  имеем    .  Чтобы  раскрыть  неопределённость    ,  необходимо   разделить  числитель  и  знаменатель  дроби  на  х  в  старшей  степени.  В  данном   примере  в  числителе  наивысшая  степень  вторая  ( )  и  в  знаменателе  наивысшая   степень  переменной  х  вторая  ( ).   Значит  числитель  и  знаменатель  дроби  делим   на   .  =   =   =   =  . Пример 2.   Вычислить  предел   . Решение:    при  подстановке  по  первому  правилу  в  формулу  функции,  стоящей  под   знаком  предела,     вместо  х  имеем    .  Чтобы  раскрыть  неопределённость    ,   необходимо  разделить  числитель  и  знаменатель  дроби  на  х  в  старшей  степени.  В   данном  примере  в  числителе  наивысшая  степень  третья  ( )  и  в  знаменателе   7 наивысшая  степень  переменной  х  четвёртая   ( ).   Значит  числитель  и  знаменатель   дроби  делим  на   .  =   Пример 3.    Вычислить  предел    =  .  =    = 0. Решение:     при  подстановке  по  первому  правилу  в  формулу  функции,  стоящей  под   знаком  предела,     вместо  х  имеем    .  Чтобы  раскрыть  неопределённость    ,   необходимо  разделить  числитель  и  знаменатель  дроби  на  х  в  старшей  степени.  В   данном  примере  в  числителе  наивысшая  степень  вторая  ( )  и  в  знаменателе   наивысшая  степень  переменной  х  первая   ( ).   Значит  числитель  и  знаменатель  дроби делим  на   .  =   =   =   =   =  . Пределы  с  неопределённостью  вида     и  методы  их  решения. Метод  разложения  на  множители  числителя и знаменателя. Рассмотрим  пределы  когда  х подстановке  по  первому  правилу  в  формулу  функции,  стоящей  под  знаком  предела,  ,  а  функция  представляет  собой  дробь.  При   а  вместо  х  имеем      Чтобы  раскрыть  неопределённость      необходимо    числитель   и  знаменатель  дроби    разложить  на  множители  сократить  полученную  дробь. Пример 1.   Вычислить  предел     . Решение: 1).  Подставим  в  формулу,  стоящую  под  знаком  предела  х = ­ 1  =   =  . 2).   Разложим  числитель  дроби  на  множители  по  формуле   а  + bx + c = a(x ­  )(x ­  ),  где     и     ­  корни  квадратного  трёхчлена.  = 0; 8 D =   ­ 4ac,      D = 9 +4 ∙ 2 ∙ 5 = 9 +40 = 49,  =   ,        =   ;         =    и      = ­ 1.  =  2 (х ­    )(х + 1) =  (2х – 5)(х + 1) 3).   Вычислим  предел,  сократив  дробь  на  (х +1)  и  подставив  по  первому   правилу  вместо  переменной  х  ­ 1;       =    =    =  2 ∙ ( ­ 1)  ­ 5 = ­ 7. Метод умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение. Продолжим  рассмотрение  пределов, когда  х ,  а  функция  представляет   собой  дробь.  При  подстановке  по  первому  правилу  в  формулу  функции,  стоящей   под  знаком  предела,  а  вместо  х  имеем      Чтобы  раскрыть  неопределённость       необходимо    числитель  и  знаменатель  дроби    умножить  на  сопряжённое  выражение. Пример 1.  Вычислить  предел     . Решение. 1). Подставим  в  формулу,  стоящую  под  знаком  предела  х = 3 = = = . 2). Домножим  числитель и знаменатель  дроби  на  выражение  сопряжённое  числителю  и  упростим  применив  формулу  сокращённого  умножения  (a – b)(a + b) =   ­  :  =     =   =      3).    В  знаменателе  функции  сумму  корней  заменим  числом,  подставив  х = 3  и,   применив  основные  свойства  предела,  вычисляем  данный  предел:   =      =      =     =     =      =      =     Правило  Лопиталя. 9 Для решения пределов существуют различные методы решений и формулы. Но  самым быстрым и легким способом, а также универсальным является метод  Лопиталя.  Это  правило впервые упоминалось в  книге  по дифференциальному  исчислению,   опубликованной  в  1696 году  французским   математиком    Гийомом  Лопиталем   (1661 – 1704) На самом деле  это  не  совсем  правило  (метод)  Лопиталя,  а  правило  Лопиталя – Бернулли.  Сформулировал  его  швейцарский  математик  Иоганн  Бернулли,  а  впервые   опубликовал  в  своём  учебнике  бесконечно  малых  француз  Гийом  Лопиталь. аа уа  зель — 1    ян   ­  (27 июля 1667 Ба  Иог нн Берн лли ва   ря 1748, там же) — швейцарский ма   те   ма   тик, ме   ­ ха   ник, врач и филолог­классицист.  Один из пер­ вых разработчиков ма  после смерти Нью  тематиков. Учитель Эй   ской (1699), Бер  Па  ской (1725) академий наук и Лон   го     об   ще  лев   то   на — лидер европейских ма­  ле   ра. Иностранный член   лин   бург  тер     ­  го     Ко   ро   ­  ской (1701), Пе   ства (1712).   го     ана   ти   че   ско   те   ма   ли   за,   дон   ско   риж   ско   ци   ди  Иоганн стал магистром (искусств) в 18 лет, перешёл на изучение ме   ны, но од­ новременно увлёкся математикой (хотя медицину не бросил, по окончании университета  всю жизнь занимался врачебной практикой).  Во Франции, пропагандирует новое исчисление, создав первую парижскую школу  анализа. Вернувшись  в Швейцарию переписывается со своим учеником маркизом де     Ло   ­ пи   та   лем, которому оставил содержательный конспект нового учения из двух частей: ис­ числение бесконечно малых и интегральное исчисление.  В 1964 году  защитил докторскую диссертацию по медицине, женился. У него родились 5  сыновей и 4 дочери. В ответ на письмо Лопиталя сообщает ему метод раскрытия неопре­ делённостей, известный сейчас как «пра  В 1696 году  Лопиталь  выпускает в Париже под своим именем первый в истории  учебник по математическому анализу: «Анализ бесконечно малых для исследования кри­  ви   ло     Ло   та   ля».   пи  10 вых линий» (на французском языке), в основу которого была положена первая часть кон­ спекта Бернулли.  Значение этой книги для распространения нового учения трудно переоценить — не  только потому, что она была первой, но и благодаря ясному изложению, прекрасному  слогу, обилию примеров. Как и конспект Бернулли, учебник Лопиталя содержал 95 %  приложений. Весь изложенный Лопиталем материал был взят из работ Лейбница и Иоганна Бер­ нулли (авторство которых в общей форме было признано в предисловии). Кое­что, впро­ чем, Лопиталь добавил и из своих собственных находок в области решения дифференци­ альных уравнений.  Объяснение этой необычной ситуации — в материальных затруднениях Бернулли   после женитьбы   Двумя годами ранее, в письме от 17 марта 1694 г. Лопиталь предложил  Иоганну ежегодную пенсию в 300 ливров, с обещанием затем её повысить, при условии,  что Иоганн возьмет на себя разработку интересующих его вопросов и будет сообщать ему, и только ему, свои новые открытия, а также никому не пошлёт копии своих сочинений,  оставленных в своё время у Лопиталя.  Этот тайный контракт пунктуально соблюдался два года, до издания книги Лопита­ ля. Позднее Иоганн Бернулли — сначала в письмах к друзьям, а после смерти Лопиталя и  в печати — стал защищать свои авторские права  Книга Бернулли — Лопиталя имела оглушительный успех у самой широкой публики, вы­ держала четыре издания , обросла комментариями, была переведена на английский, с за­ меной терминологии на ньютоновскую . В Англии первый общий учебник по анализу  вышел только в 1706 г.  Для того, чтобы успешно пользоваться этим замечательным простым способом  вычисления пределов достаточно хорошо уметь находить производные различных  функций.   Правило  Лопиталя:  если:   =    = 0  или    =     и  равны   ;  Существует   (a)   и   (a) ;    (a)    0  и   (a)    0;  Существует   ,  тогда   существует     =   . АЛГОРИТМ. 1. Подставляем  точку  х=а  в предел. 2. Если получаем  неопределённость вида     или   ,  тогда  находим   производные  числителя  и знаменателя. 3. Подставляем  х = а  в  полученный  предел  и  вычисляем  его. 11 4. Если  получаем  опять  неопределённость вида     или   ,  тогда  повторяем  п. 2  и  п. 3. Чтобы  вычислить  предел  по  правилу  Лопиталя,  достаточно  уметь  вычислять   производные  функций  и  пользоваться  формулой   =   . Для  неопределённостей  вида     или     предел отношения  двух  функций  равен  пределу  отношения  их  производных,  если  последний   существует  (конечный  или  бесконечный). Пример 1.  Вычислить предел   . Решение. 1.  =    =  ; 2. Применяем формулу Лопиталя    =    =   =   ; 3. Вычисляем предел подстановкой  х=а     =    =   = ­   = ­  . Ответ:    =  ­  . Пример 2.   Вычислить  по  правилу  Лопиталя   . Решение:    =   =   =   =   =   = 0. Ответ:    = 0. 12 Правило  Лопиталя  может  применяться  к  неопределённостям  вида  0 ∙  ,   ,   ,   ,   . Неопределённости  0 ∙  ,     можно  свести  к  типу     или    с  помощью  не   сложных  алгебраических  преобразований. Неопределённости    соотношения   ,    ,    сводятся  к  типу   0 ∙    с  помощью  логарифмического  =  Пример.  Вычислить  с  помощью  правила  Лопиталя   . Решение:     =   =   =   =   =   = ­  . Ответ:    = ­  . Примеры  вычисления пределов  по  правилу  Лопиталя: 1) 2) 3)  =   =   =   =   =   =    = ­  .                                                                                                          Ответ:    = ­  .    =   =   =   =   =  .                                       Ответ:    =  .    =   =   =   =    =ln a.                                       Ответ:    =  ln a.   Литература:   Основная ­  Алгебра  и  начала  математического  анализа,  11  класс,  учебник  для   образовательных  организаций,  базовый  и  углублённый  уровень,  авторы  С.М.  13 Никольский,  М.К. Потапов,  Н.Н. Решетников,  А.В.Шевкин,   Москва,  «Просвещение»,   2014,  464 стр. Дополнительная  ­ 1)  Алгебра  и  начала  анализа,  двухуровневый  учебник  для  11  класса,  под  редакцией   Е.П.Нелина,  Харьков,  «Мир  детства»,002007,416 стр.                  2).    справочник  по  высшей  математике,  автор  М.Я Выгодский,   Москва,  «Наука»,   1992,  872 стр. 3) .  Математика  ­  пособие  для  поступающих  в  вузы,  коллектив  авторов  А.Д.  Кутасов,   Т.С. Пиголкина,   В.И. Чехлов,  Т.Х.  Яковлева,   Москва,  «Наука»,  1981,  485  стр. 4).  Интернет  ресурсы. Домашнее  задание:  Алгебра  и  начала  математического  анализа,  11  класс,  учебник  для  образовательных   организаций,  базовый  и  углублен ый  уровень,  авторы  С.М. Никольский,  М.К. Потапов, Н.Н. Решетников,  А.В.Шевкин,   Москва,  «Просвещение»,  2014,  464 стр.  2,  п. 2.1. ­2.3.,  № 2.2., № 2.3.,  № 2.4. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ. = Следствия: = 1 1. 2. 3. 4. = 1 = 1 = 1 Пример 1. Найти . Решение. Ответ: = = 2. = = 2·1 = 2. 14 Пример 2. Найти Решение. = . = = · ) = · = · = · 1 = · 1· 1 = . Ответ: = . 15

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )

Лекция № 2 "предел функции вточке и на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. основные теоремы о пределах" по дисциплине ЕН.1 Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр )

Лекция № 2  "предел  функции  вточке и на бесконечности.  Бесконечно  большие и бесконечно  малые  величины.  основные  теоремы о пределах"  по  дисциплине  ЕН.1  Математика  программы  подготовки  специалистов  среднего  звена  по  специальности  26.02.02  Судостроение  (второй курс,  третий  семестр )
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
30.06.2018