Лекция № 2 "Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными".

ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 2 ЛЕКЦИЯ № 2 Тема: Матрицы и операции над матрицами. Определители и их свойства. Цель занятия:  приобретение базовых знаний в области фундаментального  раздела математики – линейной алгебры. Ознакомить обучающихся с методом  решения систем линейных уравнений – методом определителей или методом  Крамера. Формировать навыки выполнения операций над матрицами и решения  систем двух (трех) линейных уравнений с двумя (тремя) переменными с помощью формул Крамера. Формирование у обучающихся интереса к профессии и  профессиональных качеств – аккуратности, усидчивости, дисциплинированности. 1. Понятие системы трех линейных уравнений с тремя переменными. 2. Алгоритм решения системы трех линейных уравнений с тремя  План лекции: переменными методом определителей. Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции. В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а  существуют ли какие­либо другие способы решения данных систем.  Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют и другие,  доступные для обучающихся старших классов методы решения систем линейных  уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Эти методы  способствуют развитию внимания, памяти. При применении этих методов  встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор»,  «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители,  миноры, дополнения. При решении систем линейных уравнений методом Гаусса также нужно уметь выполнять преобразования над строками матриц. Что же такое метод Крамера и как его применять для решения систем  двух (трех) линейных уравнений с двумя (тремя) переменными? 1. Понятие системы трех линейных уравнений с тремя переменными.   Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений,  каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так: 1 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 2 Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что  число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В  школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще  говоря, неверно. Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k1, k2, ..., kn),  которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в  это уравнение вместо переменных x1, x2, ..., xn дает верное числовое равенство. Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех  ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая: 1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно  редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким  методом решать систему. 2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение.  Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи. 3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений.  Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет  бесконечное множество решений» — надо описать, как устроено это множество.    2. Алгоритм решения системы трех линейных уравнений с тремя переменными методом определителей.  Применим рассмотренную на прошлой лекции теорию определителей        систем линейных уравнений.  к решению     Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем  линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.     Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких  линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если  определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован  в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может  быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное  решение. Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при  неизвестных, называется определителем системы и обозначается  (дельта). Определители  получаются путём замены коэффициентов при  соответствующих неизвестных свободными членами: ; 2 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 2 Формулы Крамера для нахождения неизвестных: . .  и  . возможно только при условии, если  Найти значения  Этот вывод следует из следующей теоремы. Теорема Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то  система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём  неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель  системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя  системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными  членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений  любого порядка. Пример 1. Решить систему линейных уравнений: .                         (1) Согласно теореме Крамера имеем: Итак, решение системы (1): Три случая при решении систем линейных уравнений Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных  уравнений могут встретиться три случая: Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное  решение  (система совместна и определённа) Условия:    *  3 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 2 Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное  множество решений (система совместна и неопределённа) , **  Условия:  *  т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны. Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет (система несовместна) Условия:  *  Итак, система m линейных уравнений с n переменными  **  , . называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая  только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой. Система трёх линейных неоднородных уравнений с тремя неизвестными: Составим и вычислим основной определитель   и вспомогательные  определители  а) Если     ,  , то система имеет единственное решение, которое находится  по формулам Крамера:  ,  б) Если  1)   ,  , то возможны случаи:  (2)  , тогда система будет иметь бесконечно много решений,  она будет сводиться либо к системе состоящей из одного, либо из двух  уравнений (одну неизвестную перенесём направо и решим систему двух  уравнений с двумя неизвестными); 2) хотя бы один из определителей   отличен от нуля, система не  имеет решения. Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера Пусть дана система На основании теоремы Крамера . 4 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 2 где …………. , ­ определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с  коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными  членами: 5 Пример 2.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера: . Решение. Находим определитель системы: Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения  вычисляем определители По формулам Крамера находим: Итак, (1; 0; ­1) – единственное решение системы.      Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях  отсутствуют какие­либо переменные, то в определителе соответствующие им  элементы равны нулю! Таков следующий пример. Пример 3.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера: Задания для решения . Решение. Находим определитель системы: Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и  повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов  определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно,  система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем  определители при неизвестных По формулам Крамера находим: Итак, решение системы ­ (2; ­1; 1). Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители  при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет.  Проиллюстрируем следующим примером. Пример 4.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера: Решение. Находим определитель системы: Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных  уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет  решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система  несовместна, то есть не имеет решений. В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме  букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и  системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких­либо  явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой­либо новый материал или  устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или  количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо  некоторых коэффициентов при переменных ­ буквы. За примерами далеко ходить не надо. Пример 5.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера: Здесь a ­ некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель  системы: Находим определители при неизвестных По формулам Крамера находим: , . Следующий пример ­ на аналогичную задачу, только увеличивается  количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое  действительное число. Пример   6.  Найти   решение   системы   трёх   линейных   уравнений   с   тремя неизвестными по формулам  Крамера:          Решение.  Находим определители третьего порядка, используя  правило Сарруса или разложение по элементам первой строки: Находим решение системы по формулам:        Ответ: (­ 152; 270; ­254) Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить  Домашнее задание. упражнения. Выполнить задания I.  Найти матрицу преобразования. II. Вычислить определитель III порядка. III. Решить систему методом Крамера. Вариант 1. 1.  C =A+4B, если  A       03 2 812 34 2      ,  B   301   14 2   1 03       .       2.   1  3 5  2 4 1 2 1  3 . 3.   x x 4 1 2    x 3 x 1 2  3 x x 1 2  x 2 3  x 3  5 x 3 Вариант 2.  10,   1,  1.   1.  C =4A+B, если  A 2 03  812 34 2 ,  B    301 14 2 1 03 .       2.   1 1 2 0 6 0 1  3  5 . 3.     x 10 x 4 1 2   2 x x 7 x 2 1 3   x x 2 5 x 1 2 3 Вариант 3.  x 1, 3   3,  0.   1.  C =A+3B, если  A 2 03  812 34 2 ,  B    301 14 2 1 03 .      2.   1 2 1 2 1  1  4  5  1 . 3.   x 3 x 2 2 1  5 x x 2 1  x 3 x 2 1  x 3  x 3  4 x 3 Вариант 4.   3,   1,  11.   1.  C =2A ­ B, если  A 2 03  812 34 2 ,  B    301 14 2 1 03 .      2.   4  3 2  2 5 1 6 2  3 .                                                                        3.    x 5 x 2 1 2   x 10 x 1 2   x x x 1 2 3 Вариант 5.  5, x 3  0, x 3   11.   1.  C =3A +B, если  A 3.  x 1 3 x 1 9 x 1    x 2 3 x 3, 3 2     6 x x 7, 2 3    2 x x 3. 3 2   2 03  812 34 2 ,  B    301 14 2 1 03 .      2.   3 2 5  1 4 6 2 6 11 . Контрольные вопросы: 1. Что называется матрицей?  2. Правила вычисления определителей третьего порядка?  3. Запишите формулы Крамера для решения системы трёх линейных  уравнений с тремя переменными. 1. Богомолов   Н.В.   Самойленко   П.И.   Математика:   Учебник.   ­   М.:   Дрофа, Литература: 2009.  2. Богомолов   Н.В.   Сборник   задач   по   математике:   Учебное   пособие.   ­   М.: Дрофа,  2009.  3. Омельченко В. П., Курбатова Э. В. Математика: Учебное пособие. – М.: Феникс, 2009. 4. Щипачев В.С. Основы высшей математики. – М: Высшая школа. 2008.                              