Лекция № 3 "Решение систем линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса, матричным методом.".

ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 3 ЛЕКЦИЯ № 3 Тема: Решение систем линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса,  матричным методом. Цель занятия:  приобретение базовых знаний в области фундаментального  раздела математики – линейной алгебры. Ознакомить обучающихся с двумя  методами решения систем линейных уравнений – методом Гаусса и матричным  методом. Формировать навыки выполнения операций над матрицами и решения  систем двух (трех) линейных уравнений с двумя (тремя) переменными с помощью метода Гаусса и матричного метода.  Формирование у обучающихся интереса к  профессии и профессиональных качеств – аккуратности, усидчивости,  дисциплинированности. 1. Метод Гаусса. Алгоритм решения системы трех линейных уравнений с  План лекции: тремя переменными методом Гаусса. 2. Матричный метод. Алгоритм решения трех линейных уравнений с тремя  переменными матричным методом. 1. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса. 2. Метод   Гаусса,   называемый   также   методом   последовательного   исключения неизвестных,   состоит   в   том,   что   при   помощи   элементарных   преобразований систему   линейных   уравнений   приводят   к   такому   виду,   чтобы   её   матрица   из коэффициентов  оказалась трапециевидной или близкой к трапециевидной. Пример такой системы ­ на рисунке сверху. В ней, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных  уравнение ­ переменной  После   того,   как   матрица   системы   приняла   трапециевидную   форму,   уже   не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения. , а второе  и  . Преимущества метода Гаусса: 1 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 3 1. При   решении   систем   линейных   уравнений   с   числом   уравнений   и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера, поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений; 2. Методом   Гаусса   можно   решать   неопределённые   системы   линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение, а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа; 3. Методом Гаусса можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений; 4. Метод   Гаусса   основан   на   элементарных   (школьных)   методах   ­   методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений. Благодаря этим преимуществам, именно методом Гаусса чаще всего решаются прикладные задачи на сплавы и смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров   в   группе   товаров   и   другие,   в   которых   системы   линейных   уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира.  Повторяя   школьный метод   алгебраического   сложения уравнений   системы,   мы выяснили,   что   к   одному   из   уравнений   системы   можно   прибавлять   другое уравнение   системы,   причём   каждое   из   уравнений   может   быть   умножено   на некоторые   числа.   В   результате   получаем   систему   линейных   уравнений, эквивалентную   данной.   В   ней   уже   одно   уравнение   содержало   только   одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению.   Такое   сложение   ­   один   из   видов   элементарного   преобразования системы.  При   использовании   метода  Гаусса   можем  пользоваться   несколькими видами преобразований. Элементарные преобразования системы линейных уравнений При   решении   методом   Гаусса   систем   линейных   уравнений   с   любым   числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно: 1. переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале); 2. если   в   результате   других   преобразований   появились   равные   или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной; 3. удалять "нулевые" строки, где все коэффициенты равны нулю; 4. любую строку умножать или делить на некоторое число; 5. к   любой   строке   прибавлять   другую   строку,   умноженное   на   некоторое число. В   результате   преобразований   получаем   систему   линейных   уравнений, эквивалентную данной. Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса с Пусть дана система линейных уравнений примером 3 на 3 2 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 3 Решая   системы   линейных   уравнений   школьными   способами,   мы   почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении   уравнений   происходит   исключение   этой   переменной.   Аналогично действует и метод Гаусса. Для   упрощения   внешнего   вида   решения составим   расширенную   матрицу системы: В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты ­ свободные члены. Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения: С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на   (в нашем случае на  ), к третьей – первую строку, ).  (в нашем случае на  умноженную на  Это возможно, так как  Если   бы   в   нашей   системе   уравнений   было   больше   трёх,   то   следовало   бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус. В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений,   в   которой   все   уравнения,   начиная   со   второго не   содержат переменную x: Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на  вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:  и получим 3 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 3 Теперь,   сохраняя   первое   уравнение   полученной   системы   без   изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений.   Для   этого   к   третьей   строке   матрицы   системы   прибавим   вторую,  (в нашем случае на  умноженную на  Если   бы   в   нашей   системе   уравнений   было   больше   трёх,   то   следовало   бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус. В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений: ). Мы  получили  эквивалентную  данной  трапециевидную  систему линейных уравнений: Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного   исключения   переменных   продолжается   до   тех   пор,   пока матрица системы не станет трапециевидной, как в примере. Решение найдём "с конца" ­ это называется "обратный ход метода Гаусса".  Для этого из последнего уравнения определим z:   Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y: . Из первого уравнения найдём x: Итак, решение данной системы ­  Проверить решение системы можно и методом Крамера: в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ. . Пример решения методом Гаусса системы линейных уравнений 4 на 4 Перед   нами   вновь   пример   совместной   и   определённой   системы   линейных уравнений,   в   которой   число   уравнений   равно   числу   неизвестных.   Отличие   от нашего   примера   из   алгоритма   ­   здесь   уже   четыре   уравнения   и   четыре неизвестных. Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса: 4 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 3 Решение.   Составляем   расширенную   матрицу   системы.   С   помощью   первого . Для этого ко уравнения исключаем из последующих уравнений переменную  второй   строке   прибавляем   первую,   умноженную   на  ,   к   третьей   строке   ­ первую, умноженную на  , к четвёртой ­ первую, умноженную на  . Теперь   нужно   с   помощью   второго   уравнения   исключить   переменную   из последующих   уравнений.   Проведём   подготовительные   работы.   Чтобы   было удобнее   с   отношением   коэффициентов,   нужно   получить   единицу     во   втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на ­1. Проведём теперь собственно исключение переменной   из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на  , а к четвёртой ­ вторую, умноженную на  . 5 Лекционное занятие № 3 ЕН.01 Математика Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную   из четвёртого уравнения.   Для   этого   к   четвёртой   строке   прибавим   третью,   умноженную на  . Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы. Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей: Следовательно,   полученная   и   данная   системы   являются   совместными   и определёнными. Искомое решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения имеем   Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем . , откуда   Далее, подставляем значения  .  и  во второе уравнение системы: , т.е.  . Наконец, подстановка значений   в первое уравнение даёт Итак, данная система уравнений имеет единственное  , откуда   . . решение  Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы Системы   линейных   уравнений   применяются   для   моделирования   реальных объектов физического мира. Решим методом Гаусса одну из таких задач ­ на сплавы.   Аналогичные   задачи   ­   задачи   на   смеси,   стоимость   или   удельный   вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные. Пример 2. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй ­ 30%, третий ­ 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава. Решение. Составляем систему линейных уравнений: 6 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 3 Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений: Составляем расширенную матрицу системы: Внимание,   прямой   ход   метода   Гаусса.   Путём   сложения   (в   нашем   случае   ­ вычитания)   одной   строки,   умноженной   на   число   (применяем   два   раза)   с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования: Прямой   ход   метода   Гаусса   завершился.   Получили   расширенную   матрицу трапециевидной формы. Применяем обратный ход метода Гаусса. Находим решение с конца. Видим, что . , Из второго уравнения находим  Из третьего уравнения ­  . Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего   уравнения,   тогда   приходится   решать   методом   Гаусса   систему   двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот ­ неизвестных меньше, чем уравнений.  О простоте метода говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху   Гауссу   на   его   изобретение   потребовалось   лишь   15   минут.   Кроме метода   его   имени   из   творчества   Гаусса   известно   изречение   "Не   следует смешивать   то,   что   нам   кажется   невероятным   и   неестественным,   с   абсолютно невозможным" ­ своего рода краткая инструкция по совершению открытий. 2. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными матричным методом. Любую систему линейных уравнений можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы. 7 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 3 Решение   систем   линейных   уравнений   матричным   методом   основано   на следующем   свойстве   обратной   матрицы:   произведение   обратной   матрицы   и исходной   матрицы   равно   единичной   матрице.  Обратная   матрица   обозначается символом  Пусть нужно решить систему линейных уравнений: . Запишем эту систему уравнений в матричном виде: Если   обозначим   отдельно   матрицу   коэффициентов   при   неизвестных,   матрицу неизвестных и матрицу свободных членов тогда , То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных   и приравнять соответствующие элементы полученных матриц. Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений: разберём на следующем примере. Решение состоит из следующих шагов. Шаг 1. Составляем следующие матрицы. Матрица коэффициентов при неизвестных: Матрица неизвестных: Матрица свободных членов: 8 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 3 Это   сделано   для   того,   чтобы   применить   в   решении   уже   записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы: По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы. Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных: . Шаг 3. Находим матрицу неизвестных: Итак, получили решение: . Сделаем проверку: Следовательно, ответ правильный. Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка. Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений: Шаг 1. Составляем следующие матрицы. Матрица коэффициентов при неизвестных: Матрица неизвестных: Матрица свободных членов: Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных: 9 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 3 Шаг 3. Находим матрицу неизвестных: . Итак, получили решение: Сделаем проверку: . Следовательно, ответ правильный. Решить систему методом Гаусса или матричным методом: Задания для решения 10 3 2 1.  ЕН.01 Математика   ,1 x  x ,5 3  .7 x 3  x 2 ,2 3   x ,7 3   3 x .5  x 2 x 1  2 x x 1 2  3 x x 2 1 2   x x 1 2  x 2 x 1  2 x x 1           2.  3 2 2   3.   4.        x 1  x  1  2 x  1  x x 3 1 2  x 4 x 1  2 x x 1  2 x  x 3  x 2 2 2 2 3 2 x x 3 x   ,4   ,7  .3 2 3   x ,3  x ,6 3  x .4 3 3 Лекционное занятие № 3 5.   6.  ,2 ,3 .10 2             x x 1  2 x 1  3 7 x 1  x x 2 1  x 2 x 1 2  x 3 x 2 1 x 3 x 3 x  3 2  x  x 3 2  x ,3 3  x ,1 3   x .1 3 2 Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта, продолжить  выполнение заданий из Лекции № 2       Задания для домашней работы: I.  Найти матрицу преобразования. II. Вычислить определитель III порядка. III. Решить систему методом Крамера, Гаусса и матричным методом. Вариант 1. 1.  C =A+4B, если  A       03 2 812 34 2      ,  B   301   2 14   1 03       .       2.   1  3 5  2 4 1 2 1  3 .  3.      4      x 1 x 1 3 x 1 x 2 3 x 2 x 2  2 x 10, 3   x 1, 3   1. 5 x 3 Вариант 2.   1.  C =4A+B, если  A       2 03 812 34 2      ,  B   301   2 14   1 03       .       2.   1 1 2 0 6 0 1  3  5 .      3.     4 x x 10 2 1   7 x 2 x x 3 1 2   x 5 x x 2 3 2 1 Вариант 3.  x 1, 3  3,  0.   1.  C =A+3B, если  A       2 03 812 34 2      ,  B   301   2 14   1 03       .      2.   1 2 1 2 1  1    4 5 1 .      3.   2 x 3 x 1 2  5 x x 1 2  3 x x 1 2   x 3   x 3   4 x 3 Вариант 4. 3, 1, 11.   1.  C =2A ­ B, если  A       2 03 812 34 2      ,  B   301   2 14   1 03       .      2.   4  3 2  2 5 1 6 2  3 . 11  3.       ЕН.01 Математика 5, 0, 11.  2   x 3 Вариант 5. x 2 3 x x 2 3    5 x x 1  x 10 1  x x 1 2   Лекционное занятие № 3 1.  C =3A +B, если  A       03 2 812 34 2      ,  B   301   2 14   1 03       .      2.   3 2 5  1 4 6 2 6 11 . 3.       x 1 3 x 1 9 x 1  2 x 2   x 2  2 x 2   3 x 3  6 x 3   x 3 3, 7, 3.   1. Понятие матрицы и ее элементов.  2. Правила вычисления определителей в зависимости от порядка  Контрольные вопросы: определителя?  3. Запишите формулы Крамера для решения системы трёх линейных  уравнений с тремя переменными. 4. Алгоритм решения систем линейных уравнений с тремя переменными  методом Гаусса и матричным методом. 1. Богомолов   Н.В.   Самойленко   П.И.   Математика:   Учебник.   ­   М.:   Дрофа, Литература: 2009.  2. Богомолов   Н.В.   Сборник   задач   по   математике:   Учебное   пособие.   ­   М.: Дрофа,  2009.  3. Омельченко В. П., Курбатова Э. В. Математика: Учебное пособие. – М.: Феникс, 2009. 4. Щипачев В.С. Основы высшей математики. – М: Высшая школа. 2008.  12