Лекция № 4 "Дифференциальное и интегральное исчисление".

ЕН.01 Математика   ЛЕКЦИЯ № 4 Лекционное занятие № 4 Тема: Дифференциальное и интегральное исчисление. Цель занятия:  приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела  математики – математического анализа. Обобщить и систематизировать знания и умения  обучающихся по дифференциальному и интегральному исчислению.  Формирование у  обучающихся интереса к профессии и профессиональных качеств – аккуратности,  усидчивости, дисциплинированности. План лекции: 1. Функция одной переменной. Пределы. 2. Непрерывность функции. 3. Производная, геометрический смысл. 4. Исследование функций с помощью производной. 5. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной. 6. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл  определенного интеграла. 1. Функция одной переменной. Пределы       что Предположим, Пусть   функция y=f(x) определена   в   некоторой   окрестности точки a. независимая переменная x неограниченно   приближается   к   числу a.   Это означает,   что   мы   можем   придавать х значения   сколь   угодно  a→ . близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так x  Для   таких x найдем   соответствующие   значения   функции. Может   случиться,   что   значения f(x)  также   неограниченно приближаются   к   некоторому   числу b.   Тогда   говорят,   что число b есть предел функции f(x) при x  Введем строгое определение предела функции. Функция y=f(x) стремится к пределу b при x  каждого положительного числа  можно указать такое положительное число  из   области   определения   функции, неравенству |x ­ a| <  Если b есть   предел   функции f(x) при x    a→ , если для ε , как бы мало оно не было, δ , что при всех x ≠ a   удовлетворяющих .ε   то δ , имеет место неравенство | → f(x) ­ b| <   a→ .   a ,  b→  при x   a→ .  или f(x)  пишут  Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а  a→  функция имеет предел, то он и если при x  именно  единственный. Примеры. 1. Найти предел функции y=2x+1 при x  → что если x   1 с любой стороны, то соответствующие точки →  1. Используя график функции, можно увидеть,  M(x, y) графика стремятся к точке M(1, 3), т.е. можно предположить, что  .  1 ЕН.01 Математика 2. Найти предел функции y=ex+1 при x    Лекционное занятие № 4  0. Используя график заданной функции, несложно → заметить,  . Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ . Пример.  Теорема   2. Предел   произведения   двух,   трех   и   вообще   конечного   числа   функций   равен произведению пределов этих функций: . Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: . Следствие 2. Предел степени равен степени предела: . . Пример. Теорема   3. Предел   частного   двух   функций   равен   частному   пределов   этих   функций,   если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. . Примеры. 1. 2. . . . 3. Рассмотрим  . При x 1→  числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к   0.   Но   так   как  ,   т.е.  есть   бесконечно   малая   функция   при x→1, . то  Теорема   4. Пусть   даны   три   функции f(x),   u(x) и v(x), удовлетворяющие   неравенствам   u(x)≤f(x)≤   v(x).   Если функции u(x) и v(x) имеют   один   и   тот   же   предел при x a→  (или x ∞→ ),   то   и   функция f(x)стремится   к   тому   же пределу, т.е. если Смысл этой теоремы понятен из рисунка. , то  . 2 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 4 Теорема 5. Если при x a→  (или x ∞→ ) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0. Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют    неравенству f(x)≥g(x) и имеют пределы   неравенство b≥c. , то имеет место  ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ Довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела в заданной точке, но они имеют предел, если x a→ , оставаясь с одной стороны от а, слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов. Если f(x) стремится   к   пределу b при x, стремящемся   к   некоторому числу a так,   что x  принимает   только   значения,   меньшие a,   то пишут  слева. Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x a → слева. и называют   b пределом функции f(x) в точке a   если x a→  и   принимает   значения   большие a, Аналогично, и называют b пределом   функции   в   точке а справа.   Т.е.   число b называется пределом   функции y=f(x) при x a справа Заметим,   что   если   пределы   слева   и   справа   в   точке a для   функции f(x) не   совпадают,   то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а. Примеры.   то   пишут  → . 1. Рассмотрим   функцию y=f(x),   определенную   на   отрезке   [0,1] следующим образом Найдем   пределы Очевидно,    , а  функции f(x) при x→3. . ТИПЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И СПОСОБЫ ИХ РАСКРЫТИЯ Часто при вычислении пределов какой­либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде,  чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Условные выражения характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей. I. Неопределенность  . 1. . 3 ЕН.01 Математика   Лекционное занятие № 4 2. . При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число x=1 является корнем многочлена x3 – 6x2 + 11x– 6, то при делении получим 3. 4. II. Неопределенность  . . 1. . При   вычислении   предела   числитель   и   знаменатель   данной   дроби   разделили   на x в   старшей степени. 2. 3. 4. . . . При вычислении предела воспользовались равенством  , если x<0. 4 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 4 Следующие   виды   неопределенностей   с   помощью   алгебраических   преобразований   функции,   стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотренных выше случаев  или  III. Неопределенность 0 ∙∞. . IV. Неопределенность ∞ –∞. . 1. 2. 3. . Замечательные пределы  не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в Функция  нуль. График функции изображен на рисунке. Однако, можно найти предел этой функции при х 0.→ Выведенная формула и называется первым замечательным пределом. Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности  . Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами  Примеры. . 1. 2. . 5 . ЕН.01 Математика   Лекционное занятие № 4 3. 4. . . Второй   замечательный   предел   служит   для   раскрытия   неопределенности   1∞ и   выглядит следующим образом Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени   должно   стоять   выражение,   обратное   тому,   которое   прибавляется   к   единице   в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу). Примеры. 1. 2. 4. 5. . 3. . . . 2. Непрерывность функции . Понятие непрерывности функции в точке , если:  называется непрерывной в точке     определена в точке  Определение. Функция  1) функция   в точке  2) существует конечный предел функции    этот предел равен значению функции в точке  , т.е.  Замечание.  При   нахождении   предела   функции   можно переходить к пределу под знаком функции, то есть  и ее окрестности; ; ,   которая   является   непрерывной, Определение. непрерывной в этой области.  Функция,   непрерывная   во   всех   точках   некоторой   области,   называется Непрерывность функции на промежутке Функция  Функция   называется непрерывной справа в точке   называется непрерывной слева в точке  , если  , если  . . 6 ЕН.01 Математика   Функция   точке этого интервала. Функция  интервале  точке  , то есть   называется непрерывной в интервале   называется непрерывной на отрезке  , то есть  , непрерывной справа в точке  Лекционное занятие № 4 , если она непрерывна в каждой , если она является непрерывной в  и непрерывной слева в . Свойства функций непрерывных на отрезке: 1. Теорема Вейерштрасса.  Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Непрерывная на отрезке  2. Теорема Больцано­Коши. Если функция  принимает   на   концах   этого   отрезка   неравные   между   собой   значения,   то   есть    функция является ограниченной на этом отрезке.  является непрерывной на отрезке   и , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между   и  . Если функция  отрезка значения разных знаков, то существует такая точка  , которая непрерывна на некотором отрезке  , принимает на концах  такая, что  . Полезные теоремы о непрерывности функции Теорема. Если функции   и   непрерывны в точке  , то функции  , , также непрерывны в точке  .  задана функция    задана на множестве   Пусть функция   Пусть на множестве  композиция функций (или сложная функция) Теорема. Пусть функция  точке  Теорема. непрерывна в этой точке. . Тогда композиция функций   непрерывна в точке   , а   . Тогда говорят, что на множестве    ­ множество значений этой функции.  задана . , а функция   непрерывна в непрерывна в точке  .  Каждая   элементарная   функция,   заданная   в   окрестности   некоторой   точки, Приращение аргумента и функции ,   которая   определена   в   некотором   интервале     и  из этого интервала:  Рассмотрим   функцию   рассмотрим произвольную точку  Определение. Приращением аргумента   в точке  Замечание. Из последнего равенства легко увидеть, что  Приращением функции  значений функции   будем иметь: .  называется разность  .  называется разность соответствующих   или, используя равенство из выше приведенного замечания,  в точке  Теорема. Функция  приращению аргумента   непрерывна в точке   тогда и только тогда, когда бесконечно малому  соответствует бесконечно малое приращение функции  : Точки разрыва функции и их классификация , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий  непрерывности Определение.  Точка   функции, а именно: 1) функция  2) существует конечный предел функции    этот предел равен значению функции в точке   определена в точке и ее окрестности;  в точке  , т.е.    ; 7 ЕН.01 Математика называется точкой разрыва функции.   Лекционное занятие № 4 Определение. Если в точке  , то точка  Точка разрыва первого рода  существуют конечные пределы   и   называется точкой разрыва первого рода. Точка разрыва второго рода , такие, что Определение. Если хотя бы один из пределов  бесконечности, то точка   называется точкой разрыва второго рода.  или   не существует или равен Точка устранимого разрыва   Определение. Если существуют левый и правый пределы функции другу, но не совпадают со значением функции  функция  , то точка  Замечание. При   нахождении   предела   функции   переходить к пределу под знаком функции, то есть  не определена в точке   в точке  :   в точке и они равны друг  или  называется точкой устранимого разрыва. ,   которая   является   непрерывной,   можно 3. Производная, геометрический смысл. Пусть функция  y=f(x)  определена на промежутке [a;b]. Точка  x  [a;b]. В точке  x  функция y=f(x) имеет значение f(x).Точка (x+∆x)[a;b]. В точке (x+∆x) функция y=f(x) имеет значение f(x+∆x). Разность (x+∆х – x) ­ приращение аргумента. Обозначается  ∆x. Разность f(x+∆x) – f(x)­ приращение функции. Обозначается ∆ y, т.е. ∆y = f(x+∆x) – f(x). Составим отношение Если ∆x  0, то . .   Этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x.  Определение: Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения функции к приращению аргумента,   если   приращение   аргумента   стремится   к . Обычно, если данная функция обозначена буквой у, то ее производная может быть обозначена нулю. Обозначают производную : f'(x) или   или   , читать: «производная функции у по х». Если у', читать: «производная функции у» или   данная функция обозначена символом  f(x),  то ее производная может быть обозначена  f  '(х), читать: «производная функции f(x)». Определение: Операция нахождения производной называется дифференцированием.  Функция y=f(x), которая имеет производную в точке x, называется дифференцируемой в этой точке. Функция  y=f(x),  которая имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке. Общее правило дифференцирования (нахождения производной) следующее: 8 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 4 1) найти приращение  ∆y  функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента х+ ∆x и x; 2) найти отношение ∆y/∆x, для этого полученное выше равенство разделить на ∆x; 3) найти предел отношения ∆y/∆x при ∆x  0.→   Пример 1. По определению найти производную функции  Решение. Выбираем произвольную точку   в произвольной точке х.  ; придаем приращение аргументу   :   ; вычисляем приращение функции  , тогда Следовательно,  Пример 2. Найти скорость равномерно ускоренного движения в произвольный момент времени .  .  аргументу:   .  .   Тогда t и в момент t = 2 сек., если зависимость пути от времени  Решение.   Выбираем   произвольную   точку  Вычисляем приращение функции:  .  ;   придаем   приращение  скорость в произвольный момент времени будет равна Скорость в момент времени t = 2 сек. соответственно будет  .  . Вспомним основные правила дифференцирования: 1. Если  2. Если   то   .  и   – дифференцируемые функции, то  . 3. Если   и   – дифференцируемые функции, то Следствие. Если  4. Если   и   . , то   .  – дифференцируемые функции и   , то  . Следствие. Если   , то  5. Если   , то   .  . 9 ЕН.01 Математика   Лекционное занятие № 4  – есть функция обратная к   , то  6. Если  Для удобства нахождения производных составим таблицу основных производных. Пусть   ­ дифференцируемая функция, тогда  , где   и   . 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  ; ; ; ; ;  ;  ; 8.  9.  10.  11.  12.  13.   ;  ;  ;  ;  . Производная — это скорость изменения функции. На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет? Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная. Вот другой пример. Костя,   Гриша   и Матвей   одновременно   устроились   на работу.   Посмотрим,   как   менялся их доход в течение года: На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть­чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые   условия   одинаковые,   а скорость   изменения   функции,   то есть  производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна. Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем? 10 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 4 На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее. Производная функции обозначается  . Покажем, как найти   с помощью графика. Нарисован   график  некоторой функции  . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх   идет   график   функции.   Удобная   величина   для   этого — тангенс   угла   наклона касательной. Производная   функции  проведённой к графику функции в этой точке.  равна   тангенсу   угла   наклона   касательной, . Возьмем  на нем точку   с абсциссой   в точке  Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси  Касательная к графику функции  ­ это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности. Найдем  отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника  . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен : . Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением . Величина  тангенсу угла наклона прямой к оси  .  в этом   уравнении   называется угловым   коэффициентом   прямой.   Она   равна . Мы получаем, что Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной. Производная функции в точке  к графику функции в этой точке. Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной. Геометрический и механический смысл производной  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной С   вычислением   производной   мы   сталкиваемся   всякий   раз,   когда   требуется   определить скорость изменения одной величины ­ функции в зависимости от изменения другой величины ­ независимой переменной. 11 ЕН.01 Математика Определение. Средней скоростью изменения функции  переменной от значения  к приращению   независимой переменной, то есть  к значению    Лекционное занятие № 4  называется отношение приращения   при переходе независимой  функции  Истинной или мгновенной   скоростью   изменения   функции  Определение. заданном   значении   независимой   переменной  средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента   при  называется   предел,   к   которому   стремится : Механический смысл производной Теорема. (Механический смысл производной) Пусть   задан   путь  точки в момент времени   есть производная от пути   по времени  :  движения   материальной   точки.   Скорость   данной   материальной Задание. Тело   движется   прямолинейно   по   закону  скорость его движения в момент  Решение. Искомая скорость ­ это производная от пути, то есть  с.  (м).   Определить В заданный момент времени Ответ.   (м/с).  (м/с). Геометрический смысл производной Производная функции  образованного   положительным   направлением   оси  касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой  , вычисленная при заданном значении  , равна тангенсу угла,  и   положительным   направлением : Замечание.   Геометрически   производная   представляет   собой   угловой   коэффициент касательной к графику функции  в точке   . 12 ЕН.01 Математика   Лекционное занятие № 4 Пример. На рисунке №1 изображен график функции  абсциссой  Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что  . Найти значение  .  и касательная к нему в точке с Найдем   угол  .   Рассмотрим   треугольник  , а значит  ­   прямоугольный,   равнобедренный.   Тогда А отсюда следует, что Ответ.  Пусть функция y = f (x) на интервале (a, b) имеет производную  является функцией от x. Назовём её производной первого порядка. Если функция  порядка и обозначается символами  дифференцируема, то её производная называется  производной второго  , которая также   или  .  Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной  третьего порядка и обозначается   или  .  Производной любого n­го порядка, или n­й производной, называется производная от  производной (n – 1)­го порядка:  или  .  Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Рассмотрим физический смысл производной второго порядка. Пусть материальная  точка M движется прямолинейно по закону S = S (t) со скоростью   движения, S (t) – путь, пройденный за время t. Тогда за время Δt скорость  приращение  . Отношение , где t – время   получит   называется средним ускорением движения точки за время Δt. Предел этого  отношения при  обозначается  :  называется ускорением точки M в данный момент времени t и  13 ЕН.01 Математика   .  Лекционное занятие № 4 Таким образом, вторая производная от пути по времени имеет физический смысл  ускорения точки при её прямолинейном и неравномерном движении. Если же точка движется  равномерно, т. е. с постоянной скоростью V (t) = const, то W (t) =  . ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Пусть y   =   f(u), а u= u(x).   Получаем   функцию y,   зависящую   от   аргумента x: y   = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией. Областью   определения   функции y   =   f(u(x)) является   либо   вся   область   определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u). Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз. Установим правило дифференцирования сложной функции. Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке  x0 производную   принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в  точке u0 производную y 'u= f '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже  имеет производную, которая равна y 'x= f '(u0)∙u '(x0), где вместо u должно быть подставлено  выражение u= u(x). Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x. Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней"   функции f,   рассматривая   ее   аргумент   просто   как   переменную,   и   умножить   на производную от "внутренней" функции по независимой переменной. Если   функцию y=f(x) можно   представить   в   виде y=f(u),   u=u(v),   v=v(x), то   нахождение производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы. По   доказанному   правилу   имеем y 'x= y 'u∙u 'x . для u 'x получаем    Применяя   эту   же   теорему  и  Примеры. , т.е. y 'x = y 'x∙ u 'v∙ v 'x = f 'u (u)∙u 'v (v)∙v 'x (x). 1. y = sin x2. Тогда  . 2. 3. 4. Исследование функции и построение графика 14 ЕН.01 Математика   Лекционное занятие № 4 Алгоритм исследования функции  1. Находим область определения (D(f)) функции  2. Если область определения функции симметрична относительно нуля (то есть для любого значения   также   принадлежит   области   определения,   то проверяем функцию на четность.  и построения ее графика таков:  из   D(f)   значение  . Если  Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY. , то функция четная. (Примером четной функции является функция  ) Если  ,   то   функция нечетная.   (Примером   нечетной   функции   является ) функция  График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Если   функция   является   четной   или   нечетной,   то   мы   можем   построить   часть   ее   графика ,  а затем соответствующим образом отразить ее. для  3. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции ­ это точки пересечения графика функции  (OX). Для этого мы решаем уравнение  Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью ОХ. Находим точку пересечения графика функции  значение функции при  4. Находим   промежутки   знакопостоянства   функции,   то   есть   промежутки,   на   которых функция   сохраняет   знак.   Это   нам   потребуется   для   контроля   правильности построения графика. Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции   с осью ординат (OY). Для этого ищем , нам нужно решить неравенства  с осью абсцисс . .   и  . 5. Находим асимптоты графика функции. 6. Если функция периодическая, то находим период функции. 7. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума. Для этого мы следуем привычному алгоритму. а) Находим производную  б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения  точки. в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции. Промежутки,   на   которых производная   отрицательна,   являются   промежутками убывания функции. Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума. Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума. 8. И последний номер ­ точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости.  ­ это стационарные 15 ЕН.01 Математика   Лекционное занятие № 4 Итак, давайте, для примера, исследуем функцию  1. Найдем D(y).  и построим ее график. Сразу отметим, что при   знаменатель дроби равен нулю, следовательно, прямые     являются вертикальными асимптотами графика функции  и  2. Исследуем функцию на четность. Область определения функции симметрична относительна . нуля (мы выкололи две симметричные точки:   и  ) Получили,   что  функции симметричен относительно начала координат. 3. Найдем точки пересечения с осями координат. а) Точки пересечения с осью ОХ (y=0) ,   следовательно,   функция   ­ нечетная,   и   график б) Точка пересечения с осью ОY (x=0) График нашей функции проходит через начало координат. 4. Найдем промежутки знакопостоянства. Решим неравенство  Воспользуемся методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя, нанесем их на числовую ось и расставим знаки: Корень числителя:  Корни знаменателя:  Расставим знаки: ;  Итак,    при   и                         при   и  5. Найдем асимптоты графика функции  . 16 ЕН.01 Математика   Лекционное занятие № 4 Вертикальные асимптоты мы уже нашли в  п.1, это прямые   и  . Уравнение горизонтальной асимптоты функции   имеет вид  , где . Степень числителя дроби   на единицу больше степени знаменателя, поэтому  не существует, и график функции  Попробуем найти наклонную асимптоту. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид  Коэффициенты   и   не имеет горизонтальной асимптоты.  вычисляются следующим образом: . В нашем случае  . числителя). То есть уравнение наклонной асимптоты имеет вид  Нанесем асимптоты на координатную плоскость: .  (Степень   знаменателя   на   единицу   больше   степени 6. Найдем промежутки возрастания­убывания функции   и экстремумы. а) Найдем производную функции  б) Приравняем производную к нулю: 17 ЕН.01 Математика   Лекционное занятие № 4  (корень четной кратности);  ;  Корни знаменателя ­   В корнях четной кратности производная знак не меняет. в) Нанесем нули производной   и корни ее знаменателя на числовую ось, расставим знаки и найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания.  ­ также корни четной кратности. Итак, мы нашли промежутки возрастания и убывания. Найдем значение функции в точках экстремума: Заметим, что, поскольку функция   нечетная, и мы нашли, что  , мы могли бы сразу написать, что  Итак, отметим в нашей координатной плоскости точки минимума и максимума функции и точку пересечения графика функции с осями координат. На рисунке ниже большими красными кружками обозначены точки, через которые проходит график функции. Теперь   учтем   промежутки   возрастания­ убывания   и   промежутки   знакопостоянства функции   (п. ее график. Помним, что график функции не пересекает   абсциссы,   он   лишь приближается к ним!   4)   и   построим   18 ЕН.01 Математика   Лекционное занятие № 4 После построения графика необходимо еще раз просмотреть все пункты исследования функции и проверить, соответствует ли полученный график всем пунктам. 5. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной История   понятия   интеграла   тесно   связана   с   задачами   нахождения   квадратур.   Задачами   о квадратуре   той   или   иной   плоской   фигуры   математики   Древней   Греции   и   Рима   называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским. С помощью этого метода Евдокс доказал:  1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров. 2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание. Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи: 1. Вывод формулы площади круга. 2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра. Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов. Символ   введен Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы  S. Само слово «интеграл» придумано Бернулли в 1690 г. Оно происходит от латинского integro, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Действительно, операция   интегрирования   обратная   операции   дифференцирования   т.е.   для   того,   чтобы проверить   правильность   нахождения   интеграла   необходимо   продифференцировать   ответ   и получить   подынтегральную   функцию.   Другими   словами   интегральное   исчисление   решает задачу:   по   заданной   производной   или   дифференциалу   неизвестной   функции   требуется определить   эту   функцию.   Отсюда   можно   сделать   вывод,   который   мы   запишем   в   виде определения. Определение 1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a;b], если во  всех точках этого отрезка выполняется равенство     Так, функция F(x) = xm является первообразной для f(x)=mxm­1, так как  (xm)’=mxm­1.  = f(x) или dF(x)=f(x)dx xF  1    Точно также функция F(x) =ln x есть первообразная для f(х)= x , так как  1 (ln x)’= x .      Если F’(x)=0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянна на этом промежутке, т.е. F(x)=C. Признак постоянства функции: 19 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 4 Все  первообразные  функции  f  можно записать  в  одну формулу,  которую  называют  общим видом первообразных для функции f. Запишем это в виде теоремы.   Теорема: Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде  F(x)+C, где  F(x) – одна из первообразных для функции  f(x)   на промежутке  I,  C  – произвольная постоянная.    Этому свойству можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Oy.                                         у                                                         0                            х  Три правила нахождения первообразных Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g.  (F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g Правило   №2:  Если  F  –   первообразная   для  f,   а  k  –   постоянная,   то   функция  kF  – первообразная для kf.  Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные ( (kF)’ = kF’ = kf 0k ), то функция   kxF b  1 k  ­ первообразная для f(kx+b). b        1 k  b 1 k  kxF  kxF         Определение 2:    Выражение  F(x) +  C, где  C  ­ произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом   kb  f kx   dx xf )(    Из определения имеем:  xf )( dx  CxF )(               (1)    Неопределенный интеграл функции f(x), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций для f(x).     В равенстве (1) функцию f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx– подынтегральным выражением, переменную x – переменной интегрирования, слагаемое C ­ постоянной интегрирования.        Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию. Свойства неопределенного интеграла.   Опираясь   на   определение   первообразной,   легко   доказать   следующие  свойства     неопределенного интеграла 20 ЕН.01 Математика Лекционное занятие № 4 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть если   xF   = f(x), то         CxF )( )( xf  dxxf )(   dxxf )(  dxxfd )(    dx  dxCxF )(    dxxf )( 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению 3. Неопределенный  интеграл от дифференциала  некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная  dF x )(   dxxf )(  CxF )(  4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов  xf )( 2 xf )( 1    dx   xf )( 1 dx  xf )( 2 dx 5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a=const, то   dxxaf )(   xfa )( dx dx  x n n  1  1  C ,(n  ­1) n  x dx  x 1.  2.   ln Cx  x  dxa  x a ln a  C Таблица простейших интегралов e x dxe  x C 4.  5.  cos 6.  sin xdx  sin  Cx xdx  cos  Cx dx 3.      Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными. Отметим частный случай формулы 1:  Cx 1     Приведем еще одну очевидную формулу:  0 , т. е. первообразная от функции, тождественно равной нулю, есть постоянная.  xdx  dx приn приn  0 x 2  1 C C 2 Непосредственное   интегрирование неопределенных   интегралов, подынтегральной функции. Основные формулы интегрирования  –   интегрирование   с   использованием   таблицы   основных   свойств   и   тождественных   преобразований 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 21 ЕН.01 Математика   Лекционное занятие № 4 8. 9.   10.   14.   15.   16.   17. 18. 19.   20.   21.   22.   23.   24.   25.   = tgx + C cos x+ C  = sin x + C 11. 12. 13.  p ≠ ­1, k ≠ 0 dx=  ln(kx+b)+C, где k dx= +C, где k cos(kx+b)+C, где k =  dx= +C, где a  =  arctg +C, a  =  ln│ +│  C, a + C, a dx= = =  =x ln x  C 26.   Вычисление   интегралов   с   помощью   непосредственного   использования   таблицы   простейших интегралов  и основных свойств  неопределенных интегралов  называется  непосредственным интегрированием. Пример 1.  Пример 2. Это   наиболее   распространенный   метод   интегрирования   сложной   функции,   состоящий   в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования. Пример 3. Сначала приведем полное решение: 22 ЕН.01 Математика Комментарии:   Лекционное занятие № 4 (1) Используем формулу квадрата суммы  , избавляясь от степени. (2) Вносим  (3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу).  в скобку, избавляясь от произведения. (4) Превращаем интегралы по табличной формуле  (5)   Упрощаем   ответ.   Здесь   следует   обратить   внимание   на   обыкновенную   неправильную . дробь   – она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькуляторе  ! Не нужно представлять ее в виде  ! Пример 4. Найти неопределенный интеграл  Используя   свойство   неопределенного   интеграла,   вынесем   за   знак   интеграла   постоянную   2. Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к степенному виду: . Пример 5. Пример 6. . +C . Замена переменной. Если   интеграл   затруднительно   привести   к   табличному   с   помощью   элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки. Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берётся непосредственно. Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки: 1. Определяют,   к   какому   табличному   интегралу   приводится   данный   интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно). 2. Определяют,   какую   часть   подынтегральной   функции   заменить   новой   переменной,   и записывают эту замену. 3. Находят   дифференциалы   обеих   частей   записи   и   выражают   дифференциал   старой переменной   (или   выражение,   содержащее   этот   дифференциал)   через   дифференциал новой переменной. 4. Производят замену под интегралом. 5. Находят полученный интеграл. 6. В   результате   производят   обратную   замену,   т.е.   переходят   к   старой   переменной. Результат полезно проверять дифференцированием. Рассмотрим примеры. Примеры. Найти интегралы: 23 Лекционное занятие № 4 ЕН.01 Математика 1)  Введем подстановку: )4   Дифференцируя это равенство, имеем:  Выразив отсюда  , получим:  . Подставив в данный интеграл вместо   и  их выражения, получим: )4 Найдите интегралы: Пример 1  .  Подстановка: cosx=t, ­sinxdx = dt,  Решение: Пример 2.  e∫ ­x3x2dx   Подстановка:­x3=t, ­3x2dx=dt,  Решение:  e∫ ­x3x2dx= e∫ t(­1/3)dt=­1/3et+C=­1/3e­x3+C Пример 3.  Пример 4.  . Пример 5. . . Метод интегрирования по частям. . Метод   интегрирования   по   частям   основан   на   применении   формулы   дифференцирования произведения двух функций. Теорема   2.  Пусть   функции  u(x)  и  v(x)  определены   и   дифференцируемы   на   некотором промежутке   Х   и   пусть   функция  u’(x)v(x)  имеет   первообразную   на   этом   промежутке. Тогда   на   промежутке   Х   функция  u(x)v’(x)  также   имеет   первообразную   и   справедлива формула  u x v x dx u x v x ( ) ( ) '( ) ( )    u x v x dx ( ) '( ) . Эта формула называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям рекомендуется использовать для нахождения интегралов от  и т. д., где n, k – целые положительные постоянные,   а также отыскание некоторых интегралов от функций, содержащих обратные тригонометрические и логарифмические функции. В качестве функции  u(x)   принимается   функция   которая   дифференцированием   упрощается   или трансцендентные функции    ln x, arctg x, arcsin x. , cos  x , arcsin x , arctgx функции  ex k  x , k x x n , sin ln k  x , x k x chx k ,  x cos   , x sin x R , x  x , 24