Лекция № 5 "Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в частных производных".

ЕН.01 Математика         Лекционное занятие № 5 ЛЕКЦИЯ № 5 Тема: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в частных производных. Цель занятия:  приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела  математики – математического анализа. Ввести понятие дифференциального уравнения,  рассмотреть основные виды ДУ и способы их решения.  Формирование у обучающихся  интереса к профессии и профессиональных качеств – аккуратности, усидчивости,  дисциплинированности. План лекции: 1. История ДУ. 2. Задачи, приводящие к ДУ. 3. Основные понятия ДУ. Общие и частные решения ДУ 4. Виды ДУ: ДУ с разделяющими переменными, однородные ДУ первого порядка, линейные  однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, простейшие ДУ в  частных производных, ДУ линейные относительно частных производных.      1. История дифференциальных уравнений.      Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других  естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард  Эйлер (1707­1783) ­  гениальный математик, механик, физик.      Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние  на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал  Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась  излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.       В Швейцарии, на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в  1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860  наименований.      Леонард Павлович  (так его называли в России) был непревзойденным нескучным  вычислителем. Неутолимо вычисляя при свечах, он потерял зрение сначала на правый, а затем  и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.       В 1971 году Швейцария украсила 10­франковые ассигнации портретом Л. Эйлера. 2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальное уравнение – основной математический аппарат в естествознании. Они  применяются в физике, астрономии, аэродинамике и теории упругости, химии, экономике,  биологии и медицине. Такой подход к изучению явлений природы впервые был предложен   итальянским ученным Г. Галилеем. Впервые его блестяще применил один из создателей  математического анализа И. Ньютон.  1 ЕН.01 Математика         Лекционное занятие № 5 Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Решение задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной  функции из уравнения, содержащего независимую переменную, искомую функцию и  производные этой функции. Существуют задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Рассмотрим одну из них. 1. Размножение бактерий.  На опытах с бактериями установлено, что скорость размножения  бактерий пропорциональна их количеству, если, конечно, для них имеется достаточный запас  пищи. Так как сами бактерии очень малы, а их количество велико, то можно считать, что масса  бактерий с течением времени меняется непрерывно. Тогда скорость прироста массы бактерий  называется скоростью размножения. Если через число x(t) обозначить массу всех бактерий в момент времени t, то  dx dt  будет  скоростью размножения этих бактерий. Так как  скорость размножения  dx dt  пропорциональна  количеству бактерий, то существует постоянная k такая, что  dx dt  = kx.               По условию x(t) и x/(t) неотрицательные, поэтому коэффициент k тоже неотрицательный. Уравнение  dx dt  = kx является простейшим примером дифференциального уравнения. Оно  называется дифференциальным уравнением размножения. Искомым неизвестным уравнения (1) является функция x = x(t), которая в уравнение входит вместе со своей производной. Решением данного уравнения является функция вида  x = Cekt, где С – const. t  = С∙ ekt ∙ k = k(Cekt) = kx. Действительно, dx  = (Cekt) / dt 2. Задача 1. Найти закон движения тела по оси Ox, если оно начало двигаться из точки М(4;0)  со скоростью v = 2t + 3t2. При прямолинейном движении скорость есть производная от пути по времени. Обозначим путь через x, имеем v =  dx dt ; тогда  dx dt  = 2t + 3t2. Получили дифференциальное уравнение. 3. Радиоактивный распад. Опытом установлено, что скорость распада радия в каждый  момент времени пропорциональна начальному количеству радия. Таким образом, если через x(t) обозначить массу вещества, еще не распавшегося к моменту  времени t, то скорость распада   dx dt  удовлетворяет уравнению:  dx dt  = ­ kx(t), где k –  некоторая положительная постоянная. . Знак минус показывает, что x(t) – убывающая  функция, следовательно  dx dt < 0. 2 ЕН.01 Математика         Лекционное занятие № 5 dx dt Уравнение  распада.                      = ­ kx(t) называется дифференциальным уравнением радиоактивного  3. Основные понятия дифференциального уравнения  Дифференциальное   уравнение  –   равенство,   содержащее   производные   или   yyyxF , , ,   ,... 0 дифференциалы   неизвестной  функции.     ­ общий  вид  дифференциального уравнения,   где  x  – независимая переменная,  y  – неизвестная функция,   y  ­ её производная первого порядка и т.д.                          Решение дифференциального уравнения  – функция, подстановка которой в это уравнение обращает его тождество.                        Общее решение  – решение дифференциального уравнения, содержащее столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.              Частное решение – это решение, получающееся из общего решения при конкретных определенных   значениях   произвольных   постоянных  C.  Для   нахождения   частных   решений задают начальные условия                         Порядок дифференциального уравнения  – наивысший порядок производных или дифференциалов, входящих в это уравнение. Степенью       дифференциального уравнения называют степень высшей производной. Например, dy d y    2 dx dx  dy  dx 2   2  x       есть уравнение второго порядка первой степени; уравнение 0 есть уравнение первого порядка третьей степени; уравнение   является уравнением в частных производных. 2   2  y 0; y 0 e x    0 2 x .  3  x 2 3 0  Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:  F x y y ,  0 .  , Уравнения первого порядка Мы будем рассматривать только уравнения, разрешимые относительно производной: (1)  f x y, y  .                        Интегральная кривая  ­   график функции  y=F(x),  построенный на плоскости  xOy, являющийся  решением   дифференциального   уравнения.     Общему   решению  y=F(x,C) соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от постоянной С.            Теорема Коши: Если функция f(x,y) непрерывна и имеет непрерывную производную, то решение дифференциального уравнения y’=f(x,y) при начальном условии f(x0)=y0 существует и единственно,   т.е.   через   точку  (x0,у0)  проходит  единственная   интегральная   кривая   данного уравнения. 4. Виды дифференциальных уравнений                       Различают    обыкновенные дифференциальные  уравнения    и дифференциальные уравнения в частных производных.  3 ЕН.01 Математика         Лекционное занятие № 5 Обыкновенные   дифференциальные   уравнения  ­   уравнения,   в   которых   одна   независимая переменная.  Дифференциальные уравнения в частных производных  – уравнения, в которых независимых переменных две и более. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка                      Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка  с разделяющимися переменными  представлены в табл. 1 Таблица 1 Вид уравнения Способ решения   P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, если  P(x,y)  и  Q(x,y)  разлагаются   на множители, зависящие   каждый только от одной переменной, т.е. f(x)g(y)dx+(x)q(y)dy=0     (*) или   ygxf y    dx dy  yq )( yg )( 1   разделить переменные  в уравнении (*) xf )(  x )( 2   проинтегрировать xf )(   x )( 3   привести к стандартному виду y yq )( yg )(  )( x   dy dx  c Однородные дифференциальные уравнения первого порядка в табл. 2 Вид уравнения  Q(x,y)  –   однородные P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, где  P(x,y), функции одного измерения,   т.е. если в функции заменить  x=tx, y=ty и преобразовать  вернемся исходному уравнению Способ решения Таблица 2 y  ,  tx xt tx ' ' t y  xt ' ,  выразить   через   дифференциалы 1   замена    dy dx 2     решить полученное уравнение с разделяющимися переменными  , тогда   dt dx tdx xdt dy   x t y x  )( x Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в табл. 3 3   вернуться к замене, подставить  y 4   привести к стандартному виду  t   c Таблица 3 Вид уравнения  y  xQyxP    сгруппировать   первое   и   третье   слагаемые,      xQ  Способ решения uv 1  замена   vu y  , тогда  y’=u’v+v’u  uvxPuv 2   вынести  v  за скобки  xQuv  uv   3   в уравнении (**) приравнять скобку к нулю  0 u переменными,   u    uxP   uxP  (**) x   найти u:  4 решить   полученное   уравнение    c  разделяющимися ЕН.01 Математика         Лекционное занятие № 5 4   значение u подставить в уравнение (**)   v решить полученное уравнение  c разделяющимися переменными,   xQx      x v  c найти v:  5   вернуться к замене y    c     x x   Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка Неполные дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие пониженияв табл. 4   Вид уравнения y   xf Способ решения Таблица 4 ' y дважды проинтегрировать     dxxf )( dxy    dxy xF ( )( 1    y 2   xF )(  c ) dxc  )( xF  cx  c 1 Линейные однородные дифференциальные уравнения  второго порядка с постоянными Вид уравнения 0  y yp где  p, заданные числа qy  q  – коэффициентами в табл. 5 Способ решения Таблица 5 1 составить характеристическое уравнение  k  0 pk  q 2  2 решить его, найти корни    3  в зависимости от вида корней, найти общее решение, т.е. если корни 1k  и  2k  действительные и различные    ec 1 ec 2  xk 2 xk 1 k 1  2 k R , тогда  k  действительные и  равные    1  kx ec c 1 xec 2  xk 2 xk 1 e 1 Rk  2 k xc 2 ,   мнимые    c x 1 cos y  или   2,1 k i     x sin c 2 2,1 k i   y y y y  комплексные    x e c cos  x ( c 1 sin  x ) 2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: )( ygxf )( y   или уравнение вида:                                      (2)   5 1 2 2  dy dx )(  0 )( )( ygx                     (3)         Лекционное занятие № 5 ЕН.01 Математика ygxf )( f 1 Чтобы   уравнения   (2)   и   (3)   можно   было   проинтегрировать,   необходимо   привести   их   к уравнениям с  разделёнными переменными,  т.е. при   дифференциалах  dx  и  dy  должны быть множители, зависящие соответственно от x и от y. Решим уравнение (2) в общем виде: dy dx dy dy yg )( dy  yg )( )( ygxf )( ygxf )( )(  0)( yg dxxf )(  dxxf )(  dx dx      : dy  )( yg  c 1 Пусть   )( yG  )( yG  c 1 )( dxxf  )( xF  , а   yG )( c 2 , тогда выражение  c c ,1 c 2 )( xF  c  xF )(  c  является интегралом уравнения (2). Остается   проверить,   что   не   потеряны   решения   при   делении   уравнения   на   выражения, , где   или  2 )( yg 0 1 f зависящие от переменных. Решим уравнение  . Если оно имеет решение, являющееся и   решением   уравнения   (2),   то   оно   тоже   будет   присоединено   к   общему   интегралу   этого уравнения. Решим уравнение (3) в общем виде:  dy ygxf )(    0 )( 1 )( x f )( yg 2 1 )( xf )( yg 2 1 )( yg  1 )( yg 2  yG )(  уравнение с разделенными переменными )( x f 2 xf )( 1  c ygxf 1 )( )( ygx  0)(   xF )( )(  0  0 dx  dy dx dy dx  : 2 2 2  общий интеграл уравнения (3) К полученному интегралу могут быть добавлены решения уравнений:  если они являются для заданного уравнения решениями. )(1 xf 0 g )(2 y 0 ,  и  Некоторые   дифференциальные   уравнения   можно   привести   к   уравнениям   с f ( ) k   ax by axM разделяющимися переменными. Например, уравнения вида:  y by где  ba, и  k – некоторые числа, приводят к виду (2) или (3) с помощью замены:   ax k by   yba z   y axP  или  by        k k ( ) ( ) z ,   Линейные однородные дифференциальные уравнения  с постоянными коэффициентами Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами  называют уравнение 6 ЕН.01 Математика         Лекционное занятие № 5   f x  , y  (2) a y 2  a y 1 в котором a1  и a2  являются константами. Если правая часть (2) равна нулю, то уравнение называют однородным; в противном случае его называют неоднородным. Определение 1.  Уравнение вида y q  действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным                                                      где  p  и  уравнением (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами. Для нахождения общего решения однородного уравнения ,0                                            (3) yp yq  y a y 1  a y 2  0 (3) следует найти два решения  y1 и  y2 , для которых определитель Вронского y 1 y 1  y y 2  2  ; 0 2 0  1 1  C y C y  будет искомым общим решением. такие решения называют линейно независимыми. Тогда линейная комбинация y Решения y1, y2 следует искать в виде  y Метод Эйлера для решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами Частные решения такого уравнения получают с помощью замены: e kx . 2 kx  e  ke 2  ek kx y y y       kx                                                               Подставляя в уравнение (3) выражения (*), получим: 2 ek  eq :0 pk  e  ,0  e kx kx kx kx                                                   (*) 2 k  pk  q .0                                                  Уравнение   (4)   называется  характеристическим  для   данного   уравнения   (3).   Оно   является q квадратным   уравнением,   поэтому   в   зависимости   от   величины   дискриминанта   возможны три случая.                                                  (4) 2  pD 4 .0D    Тогда корни характеристического уравнения (4) действительные и различные   – k .2 1)   k   Они дадут два линейно независимых решения:   1 этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде: y 1  y xke 2  xke xk .2  и  xk 1   y 2 1 . Следовательно, в 1 k .2 2)      В этом случае   k    Поэтому одно решение уравнения (3) будет   . В xkxe качестве   второго,   линейно   независимого   с   первым,   можно   взять   функцию   . Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде: 1  y 2  y 1 xke 1 eс 2 eс 1 .0D 7 ЕН.01 Математика xk ,1 xe  xk 1  с y eс 1 2 y  e xk 1 ( с 1  xс 2 ).  или          Лекционное занятие № 5 3)   .0D   В этом случае корни уравнения (4) комплексно­сопряженные:  k 2,1 y 1   . i  cos x e   Тогда в  x   и   Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) x 2 e sin  x .   качестве   линейно   независимых   решений   можно   взять   функции   y можно записать в виде: y ec 2  x или  Пример 1.  Найти фундаментальную систему решений и общее решение: 3  ec cos 1  x  e y c ( 1   sin , x   c x sin  .0   x  cos    x  x  ). 2 y y y 2   Подставляя   Решение.  характеристическое уравнение: 2  3 ek 0 :0 ke  2 e e kx kx kx kx   y  e kx  ke y , kx , y  2 ek kx   в   заданное   уравнение,   получим 2 3 k  2 k  01 D  344 16 ;0 k 1  42  6  ;1 k 2  42  6  1 3 . Так   как   корни   действительные   и   различные,   то   фундаментальную   систему   решений   этого уравнения составят функции:  x 3  e x  e , y y 1 Тогда общее решение данного уравнения можно записать в виде линейной комбинации: 2 . y x  ec 1  ec 2  x .3  x 3  x 3 . x  e , y y 1  e ; y x  ec 1  ec 2 2 y y y 6   .0 Ответ:   Пример 2. Решить уравнение: 9 Решение.  Характеристическое уравнение: 9 2  k 6 k D 36 Корни этого уравнения будут действительными и равными:  .01  36 .0 k 1 k 2  06 18  1 3 . Тогда фундаментальную систему решений этого уравнения составят функции:  x 3 y 1  e ; y 2  xe  x 3 . 8 ЕН.01 Математика Общее решение запишется как линейная комбинация этих решений:         Лекционное занятие № 5  x 3 y  ec 1 Ответ:     c 2 xe  y  ec 1 x .3 x 3   x .3 xec 2 Решение ДУ первого порядка. Пример 1: Решите дифференциальное уравнение:  Этапы реше­ ния Математические действия y  22y Комментарии 0 1 2 3 dy dx dy dx 22y 22y   dx dy 22 y dx 22 y dx : у 2 dy dy 2  y 2 dx  2  2  dy   dx 2 y   2 dx y  1 y Cx   dy 2 1  Cx 2 1 y dy dx y  Если ДУ содержит  y, то его нужно заменить на  . Если в ДУ уже присутствуют знаки дифференциалов, то этот  пункт пропускают (поэтому в нумерации этапов поставлен 0). Все дальнейшие действия направлены на то, что бы с одной стороны (слева) от знака равно стояла функция зависящая  только от  y , а справа – функция, зависящая только от  x . Примечание:  1) начинать разделять переменные нужно с расставления  знаков дифференциалов:  dy  должен оказаться слева, а dx ­ справа; 2) постоянные множители лучше собирать справа (со  стороны «х»). Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит  только от  y  (и это хорошо), а справа – функция, которая  зависит от  y и x (и это плохо: мешает 2y ). Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит  только от  y  (и это хорошо),  справа – функция, которая  зависит только от  x (и это хорошо). Мы получили уравнение с разделёнными переменными  (слева от знака равно стоит функция, которая зависит  только от y , справа – функция, зависящая только от  x ) После того, как получили ДУ с разделёнными переменными –  интегрируем. Примечание: обратите внимание на то, что константу  интегрирования C  записываем только с одной стороны  (справа) Все дальнейшие действия направлены на то, что бы найти  y . 9 ЕН.01 Математика 1  Cx  y 2 Полученное решение называется общим решением  дифференциального уравнения (ОРДУ)         Лекционное занятие № 5 Пример 2: Решите дифференциальное уравнение:  Этапы реше­ Математические действия 5 y y Комментарии 0 1 2 ния dy dx y5 dy dx y5   dx dy 5 ydx 5 ydx у: 5 dx dy dy y dy   dx y  5 dy   dx  y 5 . dy dx y  Если ДУ содержит  y, то его нужно  заменить на  Если в ДУ уже присутствуют знаки  дифференциалов, то этот пункт  пропускают (поэтому в нумерации этапов  поставлен 0). Все дальнейшие действия направлены  на то, что бы с одной стороны (слева) от  знака равно стояла функция зависящая  только от  y , а справа – функция,  зависящая только от  x Примечание:  1) начинать разделять переменные  нужно с расставления знаков  дифференциалов:  dy  должен оказаться слева, а  dx ­ справа; 2) постоянные множители лучше  собирать справа (со стороны «х»). Сейчас слева от знака равно стоит  функция, которая зависит только от  y  (и  это хорошо), а справа – функция, которая  зависит от  y и x (и это плохо: мешает y ). Сейчас слева от знака равно стоит  функция, которая зависит только от  y  (и  это хорошо),  справа – функция, которая  зависит только от  x (и это хорошо). Мы получили уравнение с  разделёнными переменными (слева от  знака равно стоит функция, которая  зависит только от y , справа – функция,  зависящая только от  x ) После того, как получили ДУ с  разделёнными переменными –  интегрируем. 10 Лекционное занятие № 5 Примечание:  1) если хотя бы  одна первообразная  представляет собой логарифм, то  константу интегрирования записывают  как логарифм постоянной с тем же  основанием (в нашем случае  Cln 2)обратите внимание на то, что  константу интегрирования  Cln   записываем только с одной стороны  (справа) Все дальнейшие действия направлены на  то, что бы найти  y . Для получения этого выражения   применили формулу  ln ln ln b a  ) a b Полученное решение называется общим  решением дифференциального  уравнения (ОРДУ) 3 xdy 2 0  ydx  Комментарии ЕН.01 Математика y ln  5 x ln C 3 ln y  ln C  5 x ln  5 y C x y C y 5 xe 5 xCe Пример    Этапы реше­ ния 1 2  3  : Решите дифференциальное уравнение:  Математические действия 3 xdy  2 ydx xdy 2 3 2 у dy 3 x 1  dy y ydx x: dx у: 2 x 3 dx Все дальнейшие действия направлены на то, что бы с  одной стороны (слева) от знака равно стояла функция  зависящая только от  y , а справа – функция, зависящая  только от  x . Примечание:  1)начинать разделять переменные нужно с расставления знаков дифференциалов:  dy  должен оказаться слева, а dx ­ справа; 2) постоянные множители лучше собирать справа (со  стороны «х»). Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит  от  y  и  x (и это плохо: мешает  x )   Сейчас справа от знака равно стоит функция, которая  зависит  от  y  и  x (и это плохо: мешает  y )   Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит  только от  y  (и это хорошо),  справа – функция, которая  зависит только от  x (и это хорошо). Мы получили уравнение с разделёнными переменными  (слева от знака равно стоит функция, которая зависит  только от y , справа – функция, зависящая только от  x ) 11 ЕН.01 Математика 2  x 3 2 1  3 x 1  y 1  y dy dy   dx dx ln y  2 3 ln x  ln C 3 ln y  ln x 2 3  ln C ln y  2 3 Cx ln 2 3 y  2xCy  Cx 3 После того, как получили ДУ с разделёнными переменными  – интегрируем.         Лекционное занятие № 5 )  записываем только с одной стороны Примечание:  1) если хотя бы  одна первообразная представляет собой  логарифм, то константу интегрирования записывают как логарифм постоянной с тем же основанием (в нашем  случае  Cln 2) обратите внимание на то, что константу  интегрирования  Cln (справа) Все дальнейшие действия направлены на то, что бы найти  y . Для получения этого выражения применили формулу a Для получения этого выражения применили формулу ln Т.к. равны логарифмы, равны основания логарифмов, то  будут равны и выражения, стоящие под знаком логарифма. Полученное решение называется общим решением  дифференциального уравнения (ОРДУ) ln  ab ax  ln ln ln x a  b Пример 4: Решите дифференциальное уравнение:  sin xdx  dy 0 ,  y  ,1 при х   3 Этапы реше­ ния 1 Математические действия sin xdx  dy 2 dy sin xdx  dy   sin xdx Комментарии Все дальнейшие действия направлены на то, что бы с  одной стороны (слева) от знака равно стояла функция  зависящая только от  y , а справа – функция, зависящая  только от  x . Примечание:  1)начинать разделять переменные нужно с расставления знаков дифференциалов:  dy  должен оказаться слева, а dx ­ справа; 2) постоянные множители лучше собирать справа (со  стороны «х»). Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит  только от  y  (и это хорошо), справа ­ функция, которая  зависит  только от  x  (и это хорошо)  Мы получили уравнение с разделёнными переменными  (слева от знака равно стоит функция, которая зависит  только от y , справа – функция, зависящая только от  x ) После того, как получили ДУ с разделёнными переменными  – интегрируем. 12 ЕН.01 Математика  sin  Cx   dy cos y xdx 3 4 1  cos  3 C 1 C 1 2 1C 2 cos   x y 1 2         Лекционное занятие № 5 Примечание: обратите внимание на то, что константу  интегрирования C  записываем только с одной стороны  (справа) Полученное решение называется общим решением  дифференциального уравнения (ОРДУ) Третий этап остаётся незаполненным в этом примере, т.к.  при нахождении первообразных сразу получили  y  и  выражать его не нужно. Предложенные в условии данные ( y  ,1 при х подставляем в ОРДУ  и находим С   3 )  Найденную константу интегрирования С подставляем в  ОРДУ Полученное решение называется частным решением  дифференциального уравнения (ЧРДУ) cos y 2 x . Задание 5.  Решить дифференциальное уравнение второго порядка понижением:  Решение: последовательно интегрируя, находим сначала первую производную:    2 xdx y 2sin Cx 1  cos 1 2 , а затем, интегрируя второй раз, и общее решение  1 4 CxCx cos   2 2 1 y   ( 1 2 2sin dxCx )  1  2    y 0 4 5 y  0 ;3 dy dx  , при   y   0 0 Задание 4. Решить задачу Коши для ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:  yd 2 dx Решение: для нахождения общего решения используем алгоритм решения  ЛОДУ второго  порядка с постоянными коэффициентами:  а) составим характеристическое уравнение  k б) решим его с помощью дискриминанта:    D   k 4 514  4 2 0 5 4 2  4 4 k 2,1    2 2   24 i 2 x   i 2  ­ комплексные корни ) y   e x ( c 1 cos c sin x в)   Для нахождения частного решения найдем значение первой производной  ­ общее решение 2  x x 2 2 y y y   e   e  e Подставим начальные условия  cos c ( 1    c (2 1  c cos 2( 1 x sin 2  x c  c 2  x c cos x  ) x sin ) 2  x sin  y 0 2 2 x    x 2  e sin c 1  y ;3   c 1  c x    0 2 0 x sin cos c 2 cos x  ) x  в систему уравнений 13 x 2  2 x   2 x x c 1 x  2  sin sin c 2  e y  e y  0 e  3 c 1  2 0 c 1 e  02 3   sin  0sin c 1  2(   02 c 1  2( c 1 cos c c x 1 2  0sin 0 c cos 2  20 cos c ЕН.01 Математика   x    cos        Подставим значения С в общее решение  y 0sin x 3(2  sin6   e cos x ) x   c 2  c 1         Лекционное занятие № 5  c 2 cos x )  c 2 cos )0    c 1 c 2   3 6 ­ частное решение (решение задачи Коши) Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта.  Конспект по данной теме, выучить все определения, повторить интегрирование, нахождение  производных Контрольные вопросы 1 Понятие обыкновенного дифференциального уравнения  2 Порядок дифференциального уравнения 3 Общее и частное решение дифференциального уравнения 4 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными  5 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 6 Линейные  дифференциальные уравнения первого порядка 7 Дифференциальные уравнения второго порядка требующие понижения 8 Линейные  однородные  дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными  коэффициентами Список литературы: 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб. для вузов: в 3т.­5­е изд.,  стер. ­ М.: Дрофа .­ (Высшее образование. Современный учебник). Т.2. Дифференциальное и  интегральное исчисление. ­ 2003. ­ 509 с. 2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. ­   22­ е изд., перераб.­ СПб: Профессия, 2003. ­ 432 с. 3. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями):        в  2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.­6­е изд.­М.: ОНИКС 21 век,      ч.2. ­2002.­416  с. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие:       в  2­х т.­ Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. ­2001.­ 415 с. 4. 5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, 1 часть. – 2­е изд., испр.  – М.: Айрис­пресс, 2002. – 288 с.: ил. 14