Лекция на тему" Аналогии в математике" (10 - 11 классы,математика)

1             ОБОБЩЕНИЕ И АНАЛОГИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ                        КАК ПРИЁМЫ, СПОСОБСТВУЮЩИЕ РАЗВИТИЮ                                        АНАЛИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ                                                       «Я больше всего дорожу  Аналогиями, моими самыми верными учителями. Они знают все  секреты Природы и ими меньше всего следует пренебрегать”.                                                                                         Ян Кеплер Процесс реализации деятельностного подхода в обучении  предполагает  использование особо значимых и ведущих приёмов мыслительной (учебной)  деятельности. Актуальность рассматриваемого подхода определяется  современными требованиями жизни к человеку как личности, способной  использовать механизмы работы сознания в качестве опорных средств своей  профессиональной деятельности.      В процессе изучения окружающего мира человек многократно замечал,  что если два предмета имеют некоторые общие признаки, и первый из них  имеет ещё признак Х, то делается предположение, что и второму предмету  присущ признак Х. Чтобы выяснить достоверность или ложность признаков  по аналогии, необходимо дополнительно исследовать этот вывод. Аналогия  открывает путь исследования и не имеет доказательной силы. Достоверный  вывод по аналогии открывается индукцией и завершается дедукцией. Для себя я сделала вывод, что полезно познакомить учащихся с историей  некоторых открытий, совершаемых по аналогии. Наряду с другими, привожу  и такие примеры:           алмазные месторождения в Якутии были открыты по аналогии  геологической структуры Восточно­Сибирской платформы Южно­ Африканским плоскогорьем.  Д.И. Менделеев предсказал свойства новых  элементов, используя свойства известных элементов аналогичных групп,  подметив то же соотношение количественных характеристик. Результат  оказался очень близок к предсказанному.      В математике существуют уникальные пары теорем, содержание которых  постигается в сопоставлении и может быть понято  раньше, чем доказано.  Так в 5­х классах, я знакомлю учащихся приёмом умножения на 11: к умножаемому числу приписываем ноль и прибавляем к результату  первоначальное число ( 24*11 = 240 + 24 ). Обобщённое правило умножения  на 101, на1001 и т.д. предлагаю ученикам сформулировать по аналогии.       С семиклассниками вывожу формулу ( а+в )2 = а2 +2ав + в2, далее:  ( а + в + с )2.   По аналогии предлагаю учащимся записать результат для         ( а + в + с +d )2, также и для ( а + в + с+ d +e )2. Для подтверждения  результата прошу учеников выполнить умножение многочлена на многочлен.      При повторении свойства параллелограмма:  сумма квадратов сторон  параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей, ученики 10 2 класса на уроке геометрии формулируют аналогичное свойство  параллелепипеда:   сумма квадратов рёбер параллелепипеда равна сумме квадратов его  диагоналей.        Приведу ещё несколько примеров математических утверждений,  позволяющих получить обобщения по аналогии.         В 11 классе на уроке геометрии напоминаю ученикам, что середина  отрезка – его центр тяжести, точка пересечения медиан треугольника – центр тяжести треугольника, точка пересечения медиан тетраэдра – его центр  тяжести. Предлагаю сформулировать следующую красивую теорему:            Вектор, соединяющий произвольную точку М пространства с  центром тяжести отрезка                                         половине    треугольника тетраэдра                                     четверти  ,      равен            трети               суммы векторов, соединяющих                                                                    отрезка эту точку М с вершинами              треугольника                                                                                                                    тетраэдра              Изучение темы  » Вписанная сфера» в 11 классе  начинаю с повторения  известных теорем о вписанной окружности,  даю домашнее задание ученикам составить по аналогии теоремы для вписанной сферы Ученики предлагают один из вариантов:  центр окружности, вписанной в  треугольник, лежит в точке пересечения биссектрис треугольника;  центр сферы, вписанной в тетраэдр, лежит на пересечении  бисекторных плоскостей двугранных углов  тетраэдра.                                     Обобщая, ученик приходит к самообучению, к углублению знаний, к  познанию диалектической картины мира, но нельзя забывать, что вывод,  полученный по аналогии, необходимо проверить, доказать. Приводим  контрпримеры:   5*3 = 3*5,     но    53  ≠ 35  ,          а *в   = в *а,      но  lg  (ab) ≠ lg a * lg b.          ­ В любой треугольник можно вписать окружность, но не в любой  четырёхугольник можно вписать окружность. Применение обобщения связано с преобразованием мыслей, с умственным  экспериментированием; оно есть одно из средств самообучения,  переосмысливания структуры математического утверждения, своеобразной  «игрой разума». Очевидно, некритичное использование аналогии может  привести к ошибкам в суждениях. Приводя не только положительные  примеры, важно показывать, что истинность и ложность суждений идут в  мышлении рядом.       Результатом использования приёмов обобщения через аналогию явилось  развитие аналитического мышления, а это и есть основная цель изучения математики. Замечаю, что мои  ученики овладевают способами сравнения  информации в предметных различных областях, используют аналогию для  запоминания формул, утверждений. Заметно повышается мотивация  изучения математики, устойчивый интерес к предмету и как результат­ стабильное качество успеваемости. 3