Лекция на тему: Численное интегрирование

Лекция №10.   Тема занятия: Численное интегрирование. Вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций, формуле Симпсона. Цель занятия: Познакомить со способами представления функции в виде прямоугольников и трапеций. Научить вычислять интегралы по формулам прямоугольников, трапеций и формуле Симпсона. Появление   и   непрерывное   совершенствование   быстродействующих   электронных вычислительных   машин   (ЭВМ)   привело   к   подлинно   революционному   преобразованию   науки вообще   и   математики   в   особенности.   Изменилась   технология   научных   исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования   инженерных   конструкций.   Решение   крупных   научно­технических   проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало   возможным   лишь   благодаря   применению   математического   моделирования   и   новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.  В   настоящее   время   можно   говорить,   что   появился   новый   способ   теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание, ­ вычислительный эксперимент,   т.е.   исследование   естественнонаучных   проблем   средствами   вычислительной математики.   Разработка   и   исследование   вычислительных   алгоритмов   и   их   применение   к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной математики ­ вычислительной математики.  Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного решения и (функции или функционала) некоторой задачи мы находим решение у другой задачи, близкое в некотором смысле (например, по норме) к искомому. Основная идея всех методов ­ дискретизация   или   аппроксимация   (замена,   приближение)   исходной   задачи   другой   задачей, более удобной для решения на ЭВМ, причем решение аппроксимирующей задачи зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно определить решение с требуемой точностью. Например,   в   задаче   численного   интегрирования   такими   параметрами   являются   узлы   и   веса квадратурной формулы. Далее, решение дискретной задачи является элементом конечномерного пространства.  Численное интегрирование (историческое название: квадратура) ­ вычисление значения определённого   интеграла  (как   правило,   приближённое),   основанное   на   том,   что   величина интеграла   численно   равна   площади   криволинейной  трапеции,   ограниченной   осью   абсцисс, графиком   интегрируемой   функции   и   отрезками   прямых,   которые   являются   пределами интегрирования.  1 Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием   у  первообразной  функции  представления   в  элементарных   функциях  и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона­Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.  10.1. Численное интегрирование функций. Основная   идея   большинства   методов   численного   интегрирования   состоит   в   замене подынтегральной   функции   на   более   простую,   интеграл   от   которой   легко   вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида где     ­ число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки   называются узлами метода, числа   ­ весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином   нулевой,   первой   и   второй   степени   получаются   соответственно   методы прямоугольников,   трапеций   и   парабол   (Симпсона).   Часто   формулы   для   оценки   значения интеграла называют квадратурными формулами.  Пусть функция задана на интервале  [a; b] . Задача состоит в том, чтобы подобрать точки t 1 t , 2 ,..., nt  и коэффициенты  AA 2 , 1 ,..., nA  так, чтобы квадратурная формула b  a dt)x(f n    i 1 )x(fA i i была точной для всех полиномов наивысшей возможной степени.  Ввиду того, что имеется  n2  параметров  iA и  ix   i  ( ),...,2,1 n , а полином степени 1   определяется   n2   коэффициентами,   эта   наивысшая   степень   в   общем   случае 2 n N 2  n 1 .  Таким образом, входными данными для нас будет являться подынтегральная функция f(x), пределы интегрирования a и b, количество узлов метода k. А также точность вычислений eps.  На выходе мы будем иметь значение определенного интеграла при заданном количестве разбиений и пределах интегрирования. Также мы получим графическое отображение процесса интегрирования на участках возрастания и убывания функции.  Сущность большинства методов вычисления определенных интегралов состоит в замене 2 подынтегральной функции аппроксимирующей функцией, для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях.  Аппроксимация, или приближение ­  математический  метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.   Аппроксимация   позволяет   исследовать   числовые   характеристики   и   качественные свойства   объекта,   сводя   задачу   к   изучению   более   простых   или   более   удобных   объектов (например,   таких,   характеристики   которых   легко   вычисляются   или   свойства   которых   уже известны).   В  теории   чисел  изучаются  диофантовы   приближения,   в   частности   приближения иррациональных  чисел  рациональными. В  геометрии  рассматриваются аппроксимации  кривых ломаными.   Некоторые   разделы   математики   в   сущности   целиком   посвящены   аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.  Также   в   задачах   такого   рода   активно   используются   интерполяционные   методы нахождения значений функции.  Интерполяция   ­   в  вычислительной   математике  способ   нахождения   промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.  Многим   из   тех,   кто   сталкивается   с   научными   и   инженерными   расчётами   часто приходится   оперировать   наборами   значений,   полученных  экспериментальным  путём   или методом  случайной  выборки. Как правило,  на основании  этих  наборов  требуется  построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая   задача   называется  аппроксимацией  кривой.   Интерполяцией   называют   такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.  Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой­либо   сложной   функции   другой,   более   простой   функцией.   Если   некоторая   функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких  точках, а по ним построить,  то есть  интерполировать,  более  простую функцию. Разумеется,   использование   упрощенной   функции   не   позволяет   получить   такие   же   точные результаты,   какие   давала   бы   первоначальная   функция.   Но   в   некоторых   классах   задач достигнутый   выигрыш   в   простоте   и   скорости   вычислений   может   перевесить   получаемую погрешность в результатах.  На   практике   чаще   всего   применяют   интерполяцию   полиномами.   Это   связано   прежде всего с тем, что полиномы легко вычислять, легко аналитически находить их производные и 3 множество полиномов плотно в пространстве непрерывных функций. Кратко рассмотрим основные методы численного интегрирования. 4 10.2.  Метод прямоугольников (метод Эйлера). Пусть функцию необходимо проинтегрировать численным методом на отрезке [a, b]. Разделим  отрезок на N равных интервалов (на рисунке N = 4). Площадь каждой из 4­х криволинейных трапеций  можно заменить на площадь прямоугольника.  Ширина всех прямоугольников одинакова и равна   В   качестве   выбора   высоты   прямоугольников   можно   предложить   выбрать   значение функции на левой границе. В этом случае высота первого прямоугольника составит f(a), второго –   f(x1),     третьего   –   f(x2),   последнего   –   f(x3).   Приближенное   значение   интеграла   получается суммированием площадей прямоугольников Если   в   качестве   выбора   высоты   прямоугольников   взять   значение   функции   на   правой границе,   то   в   этом   случае   высота   первого   прямоугольника   составит   f(x1),   второго   –   f(x2), третьего – f(x3), последнего – f(b).  Как видно, в этом  случае, одна из формул дает приближение к интегралу с избытком, а вторая c недостатком. Можно предложить еще один способ, очевидно лучший, чем обе эти формулы   –   использовать   для   аппроксимации   значение   функции   в   середине   отрезка интегрирования. В общем виде, если отрезок [a, b] разбить на N равных интервалов интегрирования (h) и к каждому интервалу применить формулу прямоугольников, то получим  5 10.3. Метод трапеций. Использование для интерполяции полинома первой степени (прямая линия, проведенная через две точки) приводит к формуле трапеций. В качестве узлов интерполирования берутся концы отрезка интегрирования. Таким образом, криволинейная трапеция заменяется на обычную трапецию, площадь которой может быть найдена как произведение полусуммы оснований на высоту. В   случае   N  отрезков  интегрирования   для   всех   узлов,   за  исключением   крайних   точек отрезка, значение функции войдет в общую сумму дважды (так как соседние трапеции имеют одну общую сторону).                      Интересно, что формула  трапеций может быть получена, если взять половину  суммы формул прямоугольников по правому и левому краям отрезка                    6 10.4. Проверка устойчивости решения. Как   правило,   чем   меньше   длина   каждого   интервала,   т.е.   чем   больше   число   этих интервалов,   тем   меньше   различаются   приближенное   и   точное   значение   интеграла.   Это справедливо для большинства функций. В методе трапеций ошибка вычисления интеграла ( )δ приблизительно пропорциональна квадрату шага интегрирования h 2 δ  ~ h  2 Таким   образом,   для   вычисления   интеграла   некоторой   функции   в   пределах   a,   b необходимо разделить отрезок [a, b] на n0 интервалов и найти сумму площадей трапеций. Затем нужно увеличить число интервалов (n1), опять вычислить сумму трапеций и сравнить полученное значение с предыдущим результатом. Это следует повторять до тех пор (ni), пока не будет достигнута заданная точность результата (критерия сходимости). Для   методов   прямоугольников   и   трапеций   обычно   на   каждом   шаге   итерации   число интервалов увеличивается в 2 раза, т.е. ni+1 = 2 ni. Алгоритм процедуры интегрирования можно записать следующим образом: интеграл (I) рассчитывается по формуле а критерий сходимости ,   где        , Главное преимущество правила трапеций – его простота. Однако если при вычислении  интеграла требуется высокая точность, применение этого метода может потребовать слишком  большого количества итераций или машинного времени. 10.5. Метод парабол (метод Симпсона). Использование   трех   точек   для   интерполирования   подынтегрального   выражения позволяет использовать параболическую функцию (полином второй степени). Это приводит к формуле Симпсона приближенного вычисления интеграла. Рассмотрим произвольный интеграл 7 Воспользуемся   заменой   переменной   таким   образом,   чтобы   границы   отрезка интегрирования вместо [a,b] стали [­1,1], для этого введем переменную z: ,  тогда     и   Рассмотрим   задачу   интерполирования   полиномом   второй   степени   (параболой) подынтегральной функции, используя в качестве узлов три равноудаленные узловые точки – z = ­1,   z   =   0,   z   =   +1   (шаг   равен   1,   длина   отрезка   интегрирования   равна   2).     Обозначим соответствующие значения подынтегральной функции в узлах интерполяции Система уравнений для нахождения коэффициентов полинома      , проходящего через три точки  ,   и  примет вид Коэффициенты легко могут быть получены      или     Вычислим теперь значение интеграла от интерполяционного многочлена 8 Путем обратной замены переменной вернемся к исходному интегралу. Учтем, что соответствует   соответствует   соответствует   Получим формулу Симпсона для произвольного интервала интегрирования: При   необходимости,   исходный   отрезок   интегрирования   может   быть   разбит   на   N сдвоенных   отрезков,   к   каждому   из   которых   применяется   формула   Симпсона.   Шаг   ,   и   интерполирования при этом составит        Для первого отрезка интегрирования узлами интерполирования будут являться точки a, a+h, a+2h, для второго – a+2h, a+3h, a+4h, третьего   a+4h, a+5h, a+6h   и т.д.   Приближенное значение интеграла получается суммированием N площадей: В   данную   сумму   входят   одинаковые   слагаемые   (для   внутренних   узлов   с   четным значением   индекса   ­   2i).   Поэтому   можно   перегруппировать   слагаемые   в   этой   сумме   таким образом   , что эквивалентно  , так как  9 Погрешность   этого   приближенного   метода   уменьшается   пропорционально   длине   шага интегрирования   в   четвертой   степени,   т.е.   при   увеличении   числа   интервалов   вдвое   ошибка уменьшается в 16 раз               δ   ~ h  4   10