Лекция на тему: Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события

Лекция №12.   Тема занятия: Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятности события. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Цель занятия: Познакомить с разделом математики: теорией вероятности. Научить решать задачи с элементами теории вероятности; Находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятностей. 12.1. Элементы теории множеств и математической логики 1. Понятия множества и подмножества. Способы задания множеств. 2. Операции над множествами. 3. Понятия логического значения, высказывания и предиката.  4. Алгебра высказываний. 1. Понятия множества и подмножества. Способы задания множеств  В   математике   некоторые   понятия   являются   первичными,   неопределяемыми.   К   ним относятся понятия натурального числа, точки, прямой и т.д. Одним из таких неопределяемых понятий является понятие «множество». Этому понятию нельзя дать формального определения, которое не сводилось бы просто к замене слов «множество» его синонимами: «совокупность», «набор элементов», и т.п. В языках существуют различные обозначения множественности: птицы собираются в стаи, рыбы – в косяки; много людей – группа, марок – коллекция, фломастеров – набор   и   т.д.   В   математике   аналог   этого   явления   обозначается   одним   словом   –   множество, которое   абстрагируется   от   содержания   своих   элементов.   Можно   говорить   не   только   о множествах,   элементами   которых   являются   материальные   объекты,   но   и   о   множествах, элементы которых – чисто абстрактные понятия (числа, геометрические фигуры, символы и т.п.). Теория множеств – раздел  математики,  изучающий множества (это объект изучения), например, общие свойства множеств как абстрактных объектов (это – предмет).  МНОЖЕСТВО СОСТОИТ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ (это единственно, что можно сказать о нем:   не   оговаривается   количество   и   природа).   Понятие   «множество»   не   следует   понимать буквально   и  толковать   его  как  совокупность,  содержащую  «много»  элементов.  Оказывается удобным считать множеством даже пустое – содержащее ноль элементов. Множества чаще всего обозначаются прописными буквами латинского алфавита A,B,... X, а   их   элементы   –   малыми   буквами:   а, b, ...x.   Факт   принадлежности   элемента   множеству записывается: а  A. Пустое множество обозначается символом . Множество   считается   заданным,   если   существует   возможность   для   любого   элемента выяснить   принадлежность   его   к   множеству.   Имеется   два   существенно   различных   способа задания множеств. Можно либо указать правило для определения того, принадлежит или не принадлежит рассматриваемому множеству любой данный объект (описание), либо дать полный перечень элементов этого множества (перечисление). Например, одно и то же множество из четырех человек мы можем определить как участников музыкального квартета, или как людей по фамилиям Иванов, Петров, Сидоров и Романов.  Способы задания множеств  ПЕРЕЧИСЛЕНИЕМ  A = {a1; a2; ... an} – указывается полный перечень элементов множества;  ОПИСАНИЕМ  A={x : условие} – указывается правило для определения того,   принадлежит   или   не   принадлежит   множеству   объект.   Например,   множество попугаев в Антарктиде (сколько элементов?), {x : x < 1}. 1 Иногда кажется, что множество точно и четко определено некоторым описанием, хотя на самом   деле   это   не  так.   Определим   множество   A   следующим   образом:   оно  состоит   из   всех натуральных чисел, каждое из которых удается описать при помощи не более двадцати слов русского языка («пять», «число, следующее после восьми», «наибольшее однозначное число, кратное четырем» и т.д.). Множество конечно, поскольку имеется лишь конечное число слов русского языка. Допустим, что n1, n2,... nk – элементы A. Возьмем m = n1 + n2 +...+ nk – «сумма всех натуральных чисел,  которые можно определить  с помощью не более  двадцати русских слов». m  A, поскольку также задается не более чем двадцатью словами, значит совпадает с одним из чисел n1, n2,... nk. С другой стороны, способ задания определяет, что m больше любого из элементов. Значит, множество A не задано корректно.  2. Операции над множествами A 1.  2.  1.  1.  1.  2.  2.  2.  3.  B 3.  A 1.  2.  1.  1.  1.  2.  2.  2.  3.  B 3.  A 1.  2.  1.  2.  3.  1.  2.  B Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рассмотрим пример:  A  – множество всех лиц, имеющих российское гражданство;  B  – множество лиц, имеющих белорусское гражданство. Операция и ее свойства A  B – объединение множеств (Рис. 1) –   множество,   состоящее   из   всех элементов,   которые   входят   ИЛИ   в множество  A,   ИЛИ   в   множество  B. AA=A, A=A. A  B – пересечение множеств  (Рис. 2) –   множество,   состоящее   из   всех   тех общих элементов, которые входят И в  AA=A, то   И   в   другое   множество. A=. A \ B – разность   множеств  (Рис. 3)   – множество   всех   тех   элементов  A, которые не входят в  B.  A\A=,  A\=A, \A=, A\B=A\(AB). Результат примера Множество   лиц,   имеющих   или   российское или   белорусское   гражданство,   граждане государства, при объединении двух. получающегося     Множество   всех   лиц,   имеющих   двойное гражданство,   то   есть   и   российское,   и белорусское. Множество   россиян, белорусского гражданства.   не   имеющих Как видно из свойств операций, пустое множество    играет роль аналогичную нулю в числовой алгебре,  похожа на умножение, а  ­ на сложение чисел. Что является пересечение множества юношей и множества девушек учебной группы? Пустое множество, так как нет ни одного элемента, входящего в оба указанные множества. Если бы множества определялись, как множество интересов юношей и множество интересов девушек, то несомненно, что общие элементы нашлись бы. Приведите пример множеств: A  B = . В A – n элементов, в B – m, причем AB = . Сколько элементов в множествах A  B и A  B? 2 A Рис. 4 A   B – веса, длины, объема и т.д. B Известны площади (рис. 4)  s(A),  s(B),  s(A  B). Выразить через них s(A  B).  s(A  B) = s(A) + s(B) – s(A  B).  Действительно, в сумму первых двух слагаемых площадь пересечения входит дважды. Справедлива ли эта формула для случая, когда  s  – мера, означающая количество элементов множества? Да, и справедлива вообще для любой меры, определенной на множествах Множество решений системы уравнений или неравенств является пересечением множеств решений этих уравнений или неравенств. Решить графически систему неравенств:  y < x;  y > x2 AB – декартовое произведение множеств = {(a, b): a A, bB} – множество всех пар, первая компонента которых является элементом A, а вторая – B: AB  BA.  Например,  A  = {номера вагонов в поезде},  B  = {номера мест в вагоне}.  AB = {(вагон, место)   –   места   в   поезде}.   Другой   пример:   привычная   запись   времени   –   10:40   является декартовым   произведением   множеств   (каких?).   Обобщая   операцию,   получим  ABC  – множество   троек   (a,  b,  c)   и   т.д.   Важным   случаем   декартового   произведения   является произведение множества самого на себя:  AA,  AAA  и т.д., которое обозначается в общем случае,   как   степень   множества   –  An.   Например,  R3  –   трехмерное   декартовое   пространство, каждый элемент которого – тройка вещественных чисел (x, y, z). Задание. Множество A содержит n элементов, B – m элементов. Сколько элементов будет содержать множество AB? Результат каждой операции  является множеством, поэтому к нему также применимы множественные операции, например: (AB)C. Как и в алгебре чисел, операции могут обладать некоторыми свойствами: AB=BA; AB=BA;    коммутативность: ассоциативность: (AB)C=A(BC); (AB)C=A(BC); дистрибутивность: (AB)C=(AC)(BC); (AB)C=(AC)(BC). Пример некоммутативной операции в арифметике ­ «­», в теории множеств ­ «\». Отношения между множествами A = B – множества равны: A и B состоят из одних и тех же элементов.  B    A  –  B  подмножество  A:   все   элементы   множества  B  принадлежат   множеству  A. Похоже на отношение «<« для чисел.  B  A – B подмножество A или они равны. Похоже на отношение «≤» для чисел. Отметим,   что   отношение   «<«   определено   только   для   числовых   значений,   например (рис. 7), нельзя писать, что C < B, но можно: s (C) < s (B) для различных мер. В числовой алгебре две переменные (имеющие числовые значения) могут быть связаны некоторой  функцией.   Например,  y  =  2x­1.  Иногда   между  двумя   множествами   также  можно установить   соответствие,   т.е.   ввести   правило,   по   которому   для   каждого   элемента   одного множества  указывается   вполне  определенный   элемент или   элементы  другого множества.   На основе понятия соответствия между множествами вводится понятие отображения множеств.  f: A  B ­ ОТОБРАЖЕНИЕ множества A в множество B – соответствие, при котором каждому элементу множества A отвечает единственный элемент множества B.  Например, для множества людей: каждому человеку можно поставить в соответствие число,   соответствующее   его   росту.   Любая   мера   на   множествах   –   отображение   множеств   в множество чисел. 3 3. Понятия логического значения, высказывания и предиката Математику от других областей знаний отличает наличие доказательств. Доказательства встречаются   и   в   других   сферах   человеческой   деятельности,   например,   в   юриспруденции. Однако,   в   юриспруденции   доказательства   могут   и   оспариваются,   в   математике   признаются эталоном   бесспорности.   Хотя,   представления   об   убедительности   доказательства   меняются постоянно. Для средневековых судов доказательством невиновности служил факт, что человек мог удержать в руке раскаленное железо; если брошенная в воду связанная женщина не тонула, ее объявляли ведьмой. Математическая логика исследует способы рассуждений и доказательств, применяемых в математике.  Предложения   какого­либо   языка   могут   являться   описанием   предметов,   явлений   или отношений, существующих, например, в реальном мире. При этом оказывается, что кроме своей структуры   и   смыслового   содержания   они   различаются   еще   степенью   соответствия   их содержания описываемому объекту. В простейшем случае последняя характеристика сводится к тому, что они признаются либо истинными, либо ложными.  Объекты математической логики  1) логические   значения   ­   два   абстрактных   объекта:   истина   и   ложь   (могут   иметь обозначения:   да/нет,   1/0,   белый/черный   и   т.д.,   в   силу   абстракции   форма   обозначения несущественна);  2) высказывание – языковое выражение (текст), которому можно приписать логическое значение;  3) предикат – высказывание, текст которого содержит предметные (обобщение числовых: значения – какие­либо объекты) переменные.  Фразам «Сколько времени?», «Иди ко мне!» приписать логические значения нельзя, они не   могут   рассматриваться   как   высказывания.   Но   определить   логическое   значение   не   всегда удается и для высказываний. Определение логических значений высказываний Эмпирически ­ на основе опыта: «Москва – столица России» (Истина); Экспериментально – проверкой: «Кислород легче водорода» (Ложь); Вычислениями ­ получаются по правилам математической логики; Произвольно ­ «Через точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной» (Истина). В этом случае ни эмпирически, ни экспериментально получить логическое значение нельзя. Не удается получить его и средствами математической логики, то есть доказательствами. Значение является допущением, которое привело к созданию евклидовой геометрии. Для некоторых высказываний невозможно установить истинность: «ровно 1000 лет назад на территории города шел дождь». Естественный язык допускает грамматически правильные конструкции, которые выглядят как осмысленные утверждения, но о которых в принципе нельзя решить, истинны ли они. Пример 1. Утверждение  в правой рамке – ложно Утверждение   в   левой   рамке   – истинно Пример 2. (Парадокс брадобрея). В деревне жил всего один брадобрей, который брил всех тех и только тех мужчин, которые не брились сами. Брил ли он самого себя? Кстати, это хороший пример абстрактности логики: здесь множество логических значений ­ {брил, не брил}, а приписываются они мужчинам.  4. Алгебра высказываний Определены   на   высказываниях,   результат   также   является   высказыванием,   таблицы определяют текст и логическое значение для результатов операций. 4 Операция AB Логическое умножение AB Логическое сложение AB Импликация  A~B Эквивалентность A Отрицание ... Текст предложения результата (a – текст высказывания A, b – текст B) a »И» b a »ИЛИ» b «ЕСЛИ» a »ТО» b. Высказывание утверждает о следовании из   одной   ситуации   другой   и   ложность   его   определена только для случая нарушения такого следования «ДЛЯ   ТОГО, ДОСТАТОЧНО» b «НЕ» a   ЧТОБЫ»   a   «НЕОБХОДИМО   И Сколько   вообще   может   быть   различных   функций,   определенных   на   двух   значениях? Нетрудно подсчитать, что различных комбинаций четырех 0 и 1 в таблице может быть 16. Результат каждой операции является высказыванием, поэтому к нему также применимы логическая операции, при этом образуются выражения, например: (AB)C. Отношения между высказываниями AB ­ два высказывания называются равнозначными, если их логические значения равны, тексты не принимаются во внимание. Выберите для высказывания «Не уверен, что эта новость окажется для вас неприятной» равнозначное из следующих: Уверен, что эта новость будет для вас приятной. Уверен, что эта новость будет для вас неприятной. Уверен, что эта новость не будет для вас приятной. Похоже, эта новость будет для вас приятной. Похоже, эта новость будет для вас неприятной. Проверить, построив таблицу истинности для высказываний их равнозначность (тексты высказываний конечно не совпадают): ( A)  A A  A  A A  A  A A  (B  C)  (A  B)  (A  C) A  (B  C)  (A  B)  (A  C) A  B  (A  B)  A  B  (A  B) A  B  A  B A  B  (A B)  (B A) Оказывается, некоторые операции (формулы 6­9) можно выразить в виде, содержащем только операции  и  ( и ). Это значит, что некоторое множество из N логических операций образует полную систему операций, которая позволяет построить остальные 16­N операций. Этим пользуются разработчики компьютеров, имеющие технические компоненты, реализующие 3­4 логические операции. Предикат  P(x),   P(x, y)   и   т.д.   –   предикаты,   то   есть   высказывания,   текст   которых   содержит переменные, определенные на множестве некоторых значений. Логическое значение предиката 5 зависит   от   значений   переменных.   Например,   «житель   Санкт­Петербурга   имеет   высшее образование»   при   подстановке   некоторых   значений   переменной   «житель   Санкт­Петербурга» будет высказыванием истинным, при остальных – ложным. «X < Y/2» при некоторых сочетаниях X и Y будет истинным, при некоторых – нет. Над   предикатом   определены   те   же   операции,   что   и   над   высказываниями.   Если   о некотором предикате известно, что он истинный, то мы можем дедуктивно порождать истинные высказывания, подставляя в него необходимые значения. 6 12.2. Основные понятия теории вероятностей 1. Понятие события. Операции на множестве событий. 2. Вероятность события. Условная вероятность. 3. Основные определения и аксиомы теории вероятностей. 4. Основы комбинаторики. 1. Понятие события. Операции на множестве событий Теория   вероятностей  –   это   наука,   изучающая   количественные   закономерности случайных   явлений,   т.е.   таких   явлений,   которые   при   неоднократном   воспроизведении   при одинаковых условиях могут протекать по­разному. Неодинаковые результаты получаются при неизменности   основных   условий.   Они   всегда   связаны   с   наличием   каких­то   второстепенных факторов, которые меняются от опыта к опыту и вносят случайные различия в их результаты. Таким образом, под случайными явлениями понимаются такие, у которых: 1) невозможно наблюдать некоторые факторы, которые влияют на результат;  2) указанные факторы наблюдаемы, но неизвестно их влияние на результат.  Объектами, которыми оперирует теория вероятностей, являются: Случайное   событие  –   всякий   факт,   который   может   произойти   или   не   произойти   в результате случайного явления. Случайная   величина  –   некоторое   числовое   значение,   появляющееся   в   результате случайного явления.  Случайное явление может по­разному стрельба по мишени   протекать бросание монеты случайное   вытаскивание черных и белых шаров Случайное событие может произойти, а может не произойти попадание в мишень выбито более 7 очков выпадение   орла   больше раз, чем решки все   вытащенные   шары   – белые Случайная величина  может   принимать   разные числовые значения количество попаданий при трех выстрелах  количество орла количество   черных   шаров после   №   попыток вытаскивания выпадений   Операции на множестве событий A*B – произведение событий – событие, заключающееся в одновременном наступлении событий A и B.  A+B  –  сумма событий ­  событие,   заключающееся  в  наступлении  хотя  бы  одного  из событий – A или B.  Ā ­ противоположное событие – наступает тогда и только тогда, когда не наступает A. Пример. Для событий A – первый стрелок попал после выстрела, B – второй стрелок попал после выстрела: оба попали AB A+B попал хотя бы один Ā  ĀB К результатам операций, которые являются событиями, возможно применение операций первый не попал  первый не попал, а второй ­ попал над событиями, поэтому допустимы выражения, например, Ā+BC.  7 Свойства операций над событиями Поскольку случайные события рассматриваются как множества, определенные на пространстве  элементарных исходов  , очевидно, что алгебраические свойства случайных событий вытекают из соответствующих свойств множеств:  CB (  ) ) AC CBA  1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.   ABBA  A ( ) CBA ( AB  A A A AAA  AA   BABA   AB A A  BABA AA  ) 1'. 2'. 3'. 4'. 5'. 6'. 7'. 8'. 9'. 10'. 11'. 12'.  )( AB  BA  ( ) ) CAB ( BCA   BC CABA ( A A  A A AA  A AA   AB BA  ) BAA ( A  BABABA AB  A Приведенный  список не исчерпывает  всех свойств операций  над событиями.  В то же время из него видно, что основные действия над событиями, в частности, операции сложения (объединения)   и   умножения   (пересечения),   в   определенном   смысле   аналогичны   сложению   и умножению  чисел.  Эти  операции   обладают  свойствами  коммутативности,  ассоциативности  и дистрибутивности. Для операции умножения событий роль, аналогичную роли единицы и нуля при   умножении   чисел,   выполняют,   соответственно,   множества     и   .   Вместе   с   тем, теоретико–множественные равенства 6, 6 и им подобные показывают, что полной аналогии нет. 2. Вероятность события. Условная вероятность На множестве случайных событий вводится числовая мера p, которая для события A характеризует   степень   возможности   его   наступления   –   вероятность   и   имеет   тем   большее значение, чем вероятнее событие. Для вероятности справедливо следующее соотношение: p (невозможное событие) = 0  p (A)  1 = p (достоверное событие) Такая мера p может быть определена различными способами.  События,   для   которых   p (A)   =   0   называются   невозможными   (не   могут   наступить); События, для которых p (A) = 1 называются достоверными (обязательно наступают). Отношения событий Два события называют несовместными, если они «несовместимы друг с другом» – не могут одновременно наступить, в противном случае они называются совместными – появление одного из них не исключает появление другого. Пример: при трех выстрелах – выбить 21 очко (A) и допустить один промах (B) являются несовместными событиями (почему?). Для совместных и несовместных событий можно предложить простую геометрическую интерпретацию:  C A C B 8 События A1, A2, ..., An образуют  ПОЛНУЮ ГРУППУ СОБЫТИЙ, если выполнены два условия: а) любые два события из рассматриваемого множества событий ­ несовместны; б) в результате испытания одно из событий обязательно произойдет. Условная вероятность Иногда вероятность события «зависит» от наступления другого события. Пусть имеются 3 шара, из которых 2 ­ черных. Двое наугад вытаскивают по одному шару. Какова вероятность каждого   вытащить   черный   шар?   Обозначим   A   –   первый   вытащил   черный   шар,   B   –   второй вытащил черный шар. Очевидно, P(A) = P (B) = 2/3. А какова вероятность будет для второго, если известно, что первый вытащил черный (наступило событие A) или вытащил белый (событие Ā)?  P   (B|A)   =   1/2   Запись   читается:   вероятность   события   B   при   условии,   что   наступило событие A. p(B|Ā). P (B|Ā) = 1 Задание. Для кубика: A ­ выпало 1 очко, B – не более 3 очков. Определить p(A), p(A|B), Событие   B   называется   независимым   от   события   A,   если   вероятность   события   B   не зависит   от   того,   произошло   событие   A   или   нет:   P   (B|A)   =   P   (B).   Например,   вероятность попадания одним стрелком не зависит от попадания или непопадания другим.  Задание: определить зависимость событий: попадание в мишень (A) и закрытие глаз перед выстрелом (B). 3. Основные определения и аксиомы теории вероятностей Аксиомы теории вероятностей 1) P(A+B) = P(A )+P(B)­P(AB),  для несовместных событий: Р(A+B) = Р(A )+Р(B) 2) P(Ā) = 1 – Р(A) 3) P(АВ) = P(A) P(B|A),  для независимых событий: P(AB) = P(A) P(B) Первая формула была получена в теории множеств для любых мер, но принимается для корректности, как и две остальные аксиоматически, т.е. без доказательств. Последнюю формулу легко обобщить для трех и более событий: P (ABC) = P (A) P (B|A) P (C|BA) Задача 1. (случай   независимых   событий):   вероятность   попадания   по   мишени   –   0,3. Определить   вероятность   попадания   с   третьего   раза.   Последнее   событие   наступает   при одновременном наступлении: 1) первый раз промахнулся; 2) второй раз промахнулся; 3) третий раз попал. p(Ā Ā A) = p(Ā)p(Ā)p(A)=0,70,70,3 = 0,147 Задача 2. (случай зависимых событий): среди 10 шаров 2 – черные. Какова вероятность с двух попыток вытащить оба этих шара? Обозначив A – первый раз вытащить черный, B ­ второй раз вытащить черный: p(оба раза ­ черные) = p(AB) = p(A)  p(B|A) = 2/10  1/9 = 1/45 Задача: среди 10 шаров 1 – черный. Десять человек по очереди вытаскивают шар. У кого из них наибольшая вероятность вытащить черный? Обозначив A1 – первый вытащил черный шар,... p(A1) = 1/10; p(второму достался черный) = p(Ā1A2) = p(Ā1)  p(A2 /Ā1) = 9/10  1/9 = 1/10; p(третьему достался черный) = p(Ā1Ā2A3) = p(Ā1)  p(Ā2 / Ā1)  p(A3 /Ā2 Ā1) = 9/10  8/9 1/8 = 1/10 и т.д., т.е. все участники розыгрыша имеют одинаковые шансы получения черного шара независимо от порядка вытаскивания. 4. Основы комбинаторики 9 Комбинаторика  –   раздел   математики,   изучающий   методы   подсчета   количества различных   комбинаций.   Общая   идея   комбинаторики   заключается   в   следующем:   если   мы некоторое действие можем разделить на два, которые могут быть выполнены независимо n и m способами соответственно, то общее количество способов действия равно n  m. Например, на гору ведет 7 дорог. Сколько существует способов совершить прогулку на гору и обратно? Для любой выбранного способа подъема можно выбрать 7 способов спуска, всего 7  7 = 49 прогулок. А если потребовать не возвращаться по той же дороге, по которой поднялся? Для любого из 7 подъемов будет ровно 6 возможностей спуска, всего 7  6 = 42. Перестановки.  Любая   последовательность   n   различных   предметов   с   учетом   порядка называется перестановкой этих предметов. Количество возможных перестановок: Pn = n! = 1  2  3 ....  n Действительно, как бы ни встали n­1 человек, последний может разместиться среди них n способами,  значит, из общей идеи комбинаторики:  Pn = n  Pn­1. Применяя многократно эту формулу, получим требуемый результат. Например, 5 человек могут образовать строй 5! = 1  2  3  4  5 = 120 способами, то есть столькими способами можно переставлять людей в строю.  Сочетания. Любое подмножество из m элементов множества, содержащего n элементов, называется сочетанием из n элементов по m. Число всех различных сочетаний   mnm (! )! ! n  m nC Например, число всевозможных пар, которые можно выбрать из 5­ти человек 2 C 5 Тот же результат получится при вычислении 4 + 3 + 2 + 1 – поясните это выражение. Задача: из 5­и одинаковых карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5  выбираются две. Какова )!25(!2 !5   10 вероятность, что цифры на них будут соседними?  P = число пар с соседними цифрами / число всевозможных пар  = 4 / (5! / (2! 3!)) = 4/10. 10