Лекция по математике на тему: Численное интегрирование

Лекция №10.   Тема занятия: Численное интегрирование. Вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций, формуле Симпсона. Цель занятия: Познакомить со способами представления функции в виде прямоугольников и трапеций. Научить вычислять интегралы по формулам прямоугольников, трапеций и формуле Симпсона. 10.1. Предварительные соображения. Из курса математического анализа известно, что существуют неопределённые интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях – так называемые не берущиеся интегралы. Таким, например,   является   интеграл    .   Поэтому,   очевидно,   в   некоторых   случаях невозможно   вычисление   определённого   интеграла   с   помощью   формулы   Ньютона­Лейбница b x cos xdx   bF  aF   dxxf a В то же время существование такого интеграла обусловлено непрерывностью функции  отрезке  . В таких случаях прибегают к численным методам интегрирования. , так как нельзя найти первообразную подынтегральной функции  ba;  xf  на  xf    . Разумеется, вычислить определённый  интеграл  можно, непосредственно пользуясь его определением, как предел интегральных сумм: b   xf a   lim  n n  i  1  cf i   x i , где  n ­ число отрезков ic ­ некоторые точки, произвольно выбранные на каждом из разбиения (частичных отрезков),   ix  ­ длина одного частичного отрезка. Однако такой способ, во­первых, достаточно отрезков,  громоздок,   во   вторых,   обычно   даёт   результаты   приемлемой   точности   только   при   больших значениях  п . Чаще всего формулы приближённого вычисления определённого интеграла вытекают из его геометрического смысла. Следовательно, задача о приближённом вычислении определённого интеграла заменяется другой, равносильной ей – задачей о вычислении площади криволинейной трапеции.  При этом кривая      заменяется другой линией,  достаточно близкой к ней. В качестве   этой   новой   линии   выбирается   такая   кривая,   для   которой   площадь   криволинейной трапеции подсчитывается просто, то есть для которой можно легко найти первообразную. В зависимости от выбора этой кривой и различаются формулы численного интегрирования.   xf Предположим сначала для определённости, что   a   на   n   равных   частей   точками   ba; x 0 отрезок      0xf   x  x 1   для всех   x n  b ... x 2 ba  ; . Разобьём .   Длина   каждого отрезка   равна   h пересекут линию  ab  n  в точках    xf .   Через   точки   деления   проведём   вертикальные   прямые,   которые AA 1 , 0 , ..., A i  1 , A i , ..., A n  1 , A n . 10.2. Формулы прямоугольников. 1 Заменим   кривую     ломаной,   расположенной   выше   её   (рисунок).   Тогда определённый интеграл будет приблизительно равен площади ступенчатой фигуры, состоящей из  п  прямоугольников: y   xf   dxxf  b a  hy 1 hy 2  ... hy n  h y i  1 . n  i  1 Здесь  y  i  xf i  ­ значения подынтегральной функции в правых концах отрезков разбиения.  Если   же   кривую   y   xf   заменить   ломаной,   расположенной   ниже   её,   то   получится формула:   dxxf  b a  hy 0  hy 1  ... hy n   1 h 1 n   i  0 y i  2 . y  i  xf i Здесь   Формулы (1) и (2) называют формулами прямоугольников.    ­   значения   подынтегральной   функции   в   левых   концах   отрезков   разбиения. Оценка   погрешности   данного   метода   приближённого   вычисления   определённого интеграла находится по формуле:  ab  2 hM 1                        (3), где   M  1 max  ba ;    xf   ­ наибольшее значение первой производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования. Пример 1.  Вычислить по одной (на выбор) из формул прямоугольников интеграл    е х разбив   отрезок   интегрирования   на   10   частей.   Оценить   ошибку   вычислений   и   сравнить полученное   значение   с   точным   значением,   вычисленным   с   помощью   микрокалькулятора (1,718281).  dx , 0 1 Решение.  Вычислим   значения   подынтегральной   функции   соответствующие значения занесём в таблицу: хе   в   точках   деления   и х 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 у 1,0 1,10517 1,2214 1,34986 1,49282 1,64872 1,82212 2,01375 2,22554 2,45960 2,71828 Воспользуемся формулой (1): 1  e 0 x dx   01 10 9  i  0 y i  ,161,0 12534  ,1 612534 . 2 Оценим   ошибку   вычисления.   Имеем:     x e   x  e ; max   1;0 x e 1  e ,2 71828 .   Подставляя   в формулу   (3),   получаем    01  2  ,2 71828  ,01,0 135914 .   Действительно,   сравнивая полученное d  ,1 718281    значение 612534  ,1 с   105747 ,0   точным   значением,   получаем  . Это весьма значительная ошибка. Замечание. Во многих случаях формулы (1) и (2) дают приближённые значения определённого интеграла одна – с избытком, а вторая – с недостатком. Поэтому более точное значение можно получить, найдя среднее арифметическое результатов применения обеих формул. 10.3. Формула трапеций. i i i  n   0 1 1 , ,1 A i  AAAAAA n ... ...  iA Соединив   отрезками   каждые   две   соседние   точки   n ,1,0 , xf  полученные   способом,   указанном   в   конце   предыдущего   пункта,   заменим   кривую   ломаной   .   Она   сверху   ограничивает   фигуру,   составленную   из прямоугольных   трапеций,   каждая   из   которых   опирается   на   один   из   частичных   отрезков разбиения. Площадь элементарной криволинейной трапеции с основанием   x ;1   заменим i i AA 1 площадью прямоугольной трапеции, ограниченной сверху отрезком   . Тогда искомая i , будет приближённо  равна площадь криволинейной  трапеции,  ограниченной линией   сумме   площадей   данных   прямоугольных   трапеций.   Площадь   каждой   такой   трапеции   легко подсчитать,   используя   хорошо   известную   из   школьного   курса   геометрии   формулу: ..., y   xf y  i x 1 y   i 1 S i y i  2 ih ,  ,2,1 ..., n .  Сумма таких площадей равна: S n  y 0  2 y 1 h  y 1 y 2  2 h  ... y  i 1 y i  2 h  ... y n  2   После  очевидных  преобразований   получим:   S n  h    y 0 y n  2 y  2  1 n i  1 n  1 h  y n  1  2 y n h . y i    . Таким   образом, имеем  следующую приближённую формулу вычисления определённого интеграла:  )( xf a b dx    h  S n y n  y 0  2  n 1  i  1 y i     4 . Формула (4) носит название формулы трапеций. Ошибку для метода трапеций можно оценить  по формуле:  ab  12 2 2hM  5 , где   M  2 max  ba ;    x f  ­ наибольшее значение второй производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования. 3 Пример   2    .  В   условиях   примера   1   использовать   формулу   трапеций.   Оценить   ошибку вычисления; сравнить полученное приближённое значение   е х 1 0 dx  с точным. Решение. Воспользуемся таблицей значений, которую мы применяли в предыдущем примере. х 0, 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 у 1, 0 1,1051 7 1,221 4 1,3498 6 1,4928 2 1,6487 2 1,8221 2 2,0137 5 2,2255 4 2,4596 0 2,7182 8 Сразу по формуле (4) получаем:  dx e x 1 0   01 10     ,20,1 71828 2  ,15 33798    1 10 ,17 19712  ,1 71971 . Оценим ошибку вычисления. Имеем  x e   x  e ; max   1;0 x e  e ,2 71828 . Подставляя в формулу (5),   получаем:     01 10  ,2 71828  01,0  ,0 00271 .   Действительно,   сравнивая   полученное значение с точным, получаем   d  ,1 71828  ,1 71971  ,0 00143  .  Заметим,   что   данный   способ   дал   нам   гораздо   более   точное   приближение,   чем используемый в предыдущем примере. 10.4. Формула Симпсона. Для   случаев,   когда   количество   точек   разбиения   ix   чётно,   то   есть   n  ,2 Nmm  , удобно использовать так называемую формулу Симпсона (параболических трапеций). Примем её без вывода:   dxxf  a  h 3    y 0  y 2 m  2  1 m  i  1 y 2 i  4 m  i  1 y i 12       6 . Напомним, что здесь  n m  . 2 Оценка ошибки при вычислении определённого интеграла методом Симпсона:  ab  180 4 4hM  7 , 4 где  M 4 max  ba ;   4  x f  ­ наибольшее значение производной четвёртого порядка подынтегральной функции на отрезке интегрирования. Пример   3.  В   условиях   примеров   1   и   2   найти   приближённое   значение    е х Симпсона. Оценить ошибку; сравнить полученное значение с точным. 0 1 dx   методом Решение. Воспользуемся таблицей значений, которую мы применяли в предыдущих примерах. х 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 у 1,0 1,10517 1,2214 1,34986 1,49282 1,64872 1,82212 2,01375 2,22554 2,45960 2,71828 Подставим соответствующие значения в формулу (7):  dx e x 1 0   01  56 ,20,1(  71828  ,1(2 22140  ,1 49182  ,1 82212  ,2 22554  ,1(4 10517  ,1 34986  ,1 64872  ,2 01375  ,2 45960 )  1 30 (здесь  nm 2/  5 ) ,3( 71828  ,13 52176  ,34 30840 )  ,51 54844 30  ,1 71828 При расчёте по данной формуле получили все 5 верных цифр после запятой. Таким образом, в одинаковых   начальных   условиях   метод   Симпсона   даёт   наибольшую   точность   приближённых вычислений определённого интеграла. Найти приближённые значения следующих определённых интегралов. Оценить ошибку  вычисления и сравнить с точным значением. Вычисления вести с пятью знаками после запятой. Задание. cos xdx  использовать метод прямоугольников; применить обе формулы (1) и (2), найти ; 1)   среднее арифметическое полученных результатов. 0  ­ методом трапеций и методом Симпсона. 5 1 0 2 1 1 3)   4)   dx x 2 dx 2)   1 x  ­ методом трапеций. sin xdx  ­ методом Симпсона.