Лекция по математике на тему: Дифференциальное и интегральное исчисление

Лекция №1.   Тема занятия: Дифференциальное и интегральное исчисление. Функция одной независимой переменной. Пределы. Цель занятия: Иметь представление о роли математики при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин в профессиональной деятельности. Вспомнить  понятия дифференциального и интегрального исчисления, пределы. 1.1. Определение функции. Условимся, множество действительных чисел обозначать буквой R. Определение.  Пусть   каждому   числу  х  из   некоторого   множества  Х  поставлено   в соответствие одно и только одно число y. Тогда говорят, что на множестве Х  задана функция.  Способ   (правило),   с   помощью   которого   устанавливается   соответствие,   определяющее данную функцию, обозначают той или иной буквой: f, g, h …. Если, например, выбрана буква f, то  пишут: y=f(x) . Переменная х при этом называется независимой переменной (аргументом), а переменная y  –   зависимой.     Множество  X  называется  областью   определения  данной   функции   и обозначается D(f) , а множество всех чисел y – областью значений этой функции и обозначается E(f). 1.2. График функции. Определение.  Пусть задана прямоугольная система координат  Oxy  и функция  y=f(x). Графиком функции f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x; f(x)), x D(f). Множество точек на координатной плоскости является графиком некоторой функции в том и только том случае, когда каждая вертикальная прямая (т.е. параллельная оси Oy) не более чем в одной точке.  График функции  y=f(x)  зачастую можно построить  с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции. 1.3. Четность, нечетность, периодичность функции. Определение.  Функция  называется  четной,  если   для  всех   х  из   области   определения имеет место равенство  f (  x ) )( xf Геометрически   четность   означает   симметричность графика функции относительно оси Oy. Определение.  Функция   называется  нечетной,   если   имеет   место   равенство для   всех   х   из   f  ( fD )( xf ) ( x ) 1 Геометрически   нечетность   означает симметричность графика функции относительно начала координат О. Если   функция   оказалась   четной   или нечетной, то исследовать и строить ее график в силу   симметрии   достаточно   только   на   одной «половине» области определения.  Определение.   Функция  ( fD число Т, что для любого х из  y  )(xf   называется  периодической, если существует  такое )  имеет равенство:  ( Txf  ) )( xf . Определение.  Пусть каждому натуральному числу n (т.е. n=1, 2, 3, …)  по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число хn. В этом случае говорят, что задана  последовательность: х1, х2, …, хn, … Эту последовательность будем обозначать:  nx .  Определение.    Число  а  называется  пределом   последовательности   nx ,   если последовательность является бесконечно малой.  Определение.  Если последовательность   nx   имеет своим пределом число  а  , говорят что   последовательность   nx   сходится  (или   стремится)   к   числу   а,   и   обозначают: lim n xn  a , если последовательность не имеет предела, то говорят, что она  расходиться. 1.4. Определение предела. Определение. Окрестностью точки  х0 называется любой интервал с центром в точке х0. Пусть функция  y  )(xf   определена в некоторой окрестности точки х0 кроме самой этой точки.  Определение предела функции по Гейне:   Число  А называется  пределом  функции y  )(xf   в   точке   х0,   если   для   любой   последовательности   nx ,   сходящейся   к   х0, последовательность     nxf  соответствующих значений функции сходится к А.  Обозначается это так:   lim  x x 0 xf )(  A 2 Определение   предела   функции   по   Коши:     Число   А   называется   пределом   функции )(xf (эпсилон) найдется такое  в точке х0, если для любого сколь угодно малого числа  0 y  число  0  (дельта) , что для всех х таких, что    x  x 0   , x  x     выполняется неравенство 0 xf )(  A  1.5. Операции над пределами функции. Пусть функции  f(x) и  g(x) определены в некоторой окрестности точки х0  и, кроме того, xf )(  A ,   lim  x x 0 lim  x x 0 xg )(  B . Тогда: 1. Предел   суммы   (разности)   этих   функций   равен   сумме   (соответственно,   разности)   их пределов, т.е.  lim  x x 0 ( xf )(  xg ( ))  BA 2. Предел   произведения   этих   функций   равен   произведению   их     пределов,   т.е.   ( xf )(  xg ( ))  BA lim  x x 0 3. Предел частного этих функций равен частному  их  пределов, т.е.  1.6. Замечательные пределы. Первый замечательный предел:   Второй замечательный предел:   lim0  x x sin x  1 lim  x    1  1 x x   e  lim  x x 0 xf )( xg )(  A B Закрепление материала по занятиию №1.   Тема занятия: Дифференциальное и интегральное исчисление. Функция одной независимой переменной. Пределы. Графики: 1. Например,  график  функции  y=f(x)+а  получается  из  графика  функции  y=f(x)  сдвигом вдоль оси Оу на  а  единиц (вверх, если а>0, и вниз, если а<0) 3 2. График функции y=f(x­b) получается из графика функции y=f(x) сдвигом вдоль оси Ох на b  единиц (вправо, если b>0, и влево, если b<0) 3. График функции y=kf(x) получается из графика функции y=f(x) растяжением  (сжатием) вдоль оси Оу в k раз (1/k)если k>1 (k(0,1)) 4. График функции y=f(mx) получается из графика функции y=f(x) сжатием  (растяжением) вдоль оси Ох в m раз (1/m)если m>1 (m(0,1)) 5. График     функции  y=­f(x)    получается   из   графика   функции  y=f(x)  симметричным отражением относительно оси Ох. 6. График   функции  y=f(­x)  получается   из   графика   функции  y=f(x)  симметричным отражением относительно оси Оу. Графики симметричных периодических  функций: синус, косинус, тангенс, котангенс. Пределы:  1  5 , используя первое  определение предела функции: 1. Доказать, что  Решение:   Пусть     соответствии   1  2 x  lim  x lim  x x  lim 2  x 2 nx со  1 2 x    ­   произвольная   последовательность,   сходящаяся   к   2.   Тогда   в   свойствами   пределов   последовательностей lim2 x  n n   512*21  lim  n 1)1(*)1(*3   2)1(*5)1(*)1(*4       2. Используя свойства пределов функции, найти следующие пределы:  )1  x 5 lim  x 1 4 x 3 2 2 x   1  x 5 2  3( lim  x 1 2 x 4( lim  x 1 2 x  lim 2 x  2 x 2 x   x 5 4  6 lim  1 x x  38  1 x  1 x lim 2  x 2  x 2 x 3 x 3 lim  x 1  2 x 4  )2 lim  x 1 2  x lim  x 1 lim 1  x 1  x 5 lim  x 1 2  .  4