Лекция по математике на тему: Неопределенный интеграл

Лекция №3.   Тема занятия: Первообразная. Неопределенный интеграл. Способы вычисления неопределенного интеграла. Цель занятия: Научить вычислять производные функции при данном значении аргумента; исследовать функции с помощью производной и строить графики. 3.1. Понятие неопределенного интеграла. Напомню,   что:  Дифференцирование  –   это   действие,   с   помощью   которого   по   данной функции находиться ее производная или дифференциал. В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции   )(xf   найти ее производную  (или  дифференциал).   Интегральное  исчисление   решает обратную  задачу:  найти функцию  )(xF , зная ее производную    )( xf  (или дифференциал). Искомую функцию )(xF  называют первообразной функции  Определение. Функция  )(xF  )( xF )(xf .  Если     с xF )(  называется первообразной функции  )(xf  на интервале (a,b), если для любого  x  ),( ba  выполняется равенство:   )( xF )( xf . Например:   первообразной   функции   y  ,2 x Rx    является   функция   xF  ,   т.к. )( 3х 3  )( xF ( 3 х 3 )  х 2 )( xf . Очевидно, что первообразными будут также любые функции: xF )(  3 х 3 с , где с ­ постоянная  с х ) 2 )( xf 3 (  )( xF х 3 Например:   xf )( xF )(   cos sin x x )(xF   ­   первообразная   для   )(xf   на   некотором   промежутке,   то   и   функция , где с­ постоянная,  также является первообразной для  Определение. Множество всех первообразных функций  )(xf . )( xF с  для  )(xf  называется неопределенным   интегралом   от   функции  dxxf xF )( )(   c . )(xf  ­ подынтегральная функция dxxf )(  ­ подынтегральное выражение х – переменная интегрирования  ­ знак неопределенного интеграла.   )(xf   и   обозначается   символом 1 Определение. Операция нахождения  неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Определение.  Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство .   График   каждой   первообразной   (кривой)   называется «параллельных»   кривых   )( xF с интегральной кривой.  Определение.  Если   функция   )(xf   имеет   на   некотором   промежутке   хотя   бы   одну первообразную, то ее называют интегрируемой на этом промежутке. 3.2. Свойства неопределенного интеграла. 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.   )( xf dx    )( xf 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.  xfd )( dx  dxxf )( 3. Неопределенный   интеграл   от   дифференциала   функции   равен   этой   функции, сложенной с постоянной.  dF x )(  xF )(  c 4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.  xaf )( dx  dxxfa )( 5. Неопределенный   интеграл   от   алгебраической   суммы   равен   такой   алгебраической сумме неопределенных интегралов.   xf )( 1  f 2 x )(  dx   xf )( 1 dx   f 2 x )( dx 2 3.3. Таблица основных неопределенных интегралов. .1 n dx  dx  x dx  x  x e  dxa dx x .2 .3 .4 .5  x c  x n x  c n  1  1  c  ln  e x  a ln x a c  c xdx xdx .8 .6 .7  cos  sin dx  2 cos dx  2 sin x  .10 tgxdx .9 x  sin x  c  cos x  c  tgx c  ctgx  c  ln cos x  c .11 .12 .13 .14  ctgx dx  sin x dx  cos  x dx  x 1 dx  x 2 .15  1  ln sin x  c  ln tg  ln tg x 2     c x 2   4    c  arcsin x  c 2  arctgx  c 3.4. Основные методы интегрирования. 1. Непосредственное интегрирование. Определение.  Метод   интегрирования,   при   котором   данный   интеграл   путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) применения свойств непосредственного интеграла приводится   к одному или нескольким  табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. При   сведении   данного   интеграла   к   табличному   часто   используются   следующие преобразования дифференциала: число dx     0 число ( ),  aaxd 1 a  dx axd ), a ( 2 d x x ( ) xd 1 2  d (sin x  d (cos ) ) x xdx xdx cos sin 1 x                                 и другие. (ln dx  d x ) 3 Примеры    .1 dx   x  3(.2 x  3 xd (  x  24 )1 dx .3  ctg 2 xdx  1  .4  dx  34 2 x   )3  3 1  3( 3 sin 2 2  x  sin 1  3   1   ln x  3 c x  )1 24 xd 3(  )1 x 3( 1 3   dx  24 )1  25 1  2 sin x 3 2  2 1 2 sin 1  x  2 1 3 arcsin x dx      x )3(  x )3( d 2 2  c dx   dx x  ctgx  x c .5  sin 2 1 2 6  xdx  cos 2. Интегрирование методом подстановки.  dx cos 12    dxx 1 2 1 2 12 xdx  x 1 2 1 2  cos 12 xd 12( x ) 1  12 1 2 x Метод   интегрирования   подстановкой   заключается   во   введении   новой   переменной интегрирования   (т.е.   подстановки).   При   этом   заданный   интеграл   приводится   к   новому интегралу,   который   является   табличным   или   к   нему   сводящимся   (в   случае   «удачной подстановки»).   Общих   методов   подбора   не   существует.   Умение   правильно   определить подстановку приобретается практикой. Пусть требуется вычислить интеграл   dxxf )(t  ­ функция, имеющая непрерывную производную. )( . Сделаем  подстановку  x  (t ),    где Тогда   dx )( t dt  и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования непосредственного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой   dxxf )(   f   ))(( t t )( dt Эта   формула   также   называется   формулой   замены   переменных   в   неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования  t  назад к переменной х. Иногда эту   формулу можно применять справа налево. Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему: 1. часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной 2. найти дифференциал от обеих частей замены 3. все подинтегральное  выражение  выразить через новую переменную (после  чего должен получиться табличный интеграл) 4. найти полученный табличный интеграл 4 5. сделать обратную замену. 5 Встречаются еще и следующие формулы интегралов: .1  e kx dx  e 1 k kx  c kx dx   c kxdx  cos kx  c kxdx  sin kx  c .2 .3 .4 .5 a   sin  cos  cos 1 x kx a a ln 1 k 1 k 1 k dx 2  kx tgkx  c dx 2  1 k ctgkx  c  .6 sin  .7 k  .8 2 k 2 kx dx  xn dx  2 2 xn 2 1 nk 1 n   2 arctg n k x  c arcsin n k x  c 3.5. Интегрирование тригонометрических функций. Вычисление  неопределенных  интегралов тригонометрических  функций типа  cosx,  sinx (принято   обозначать   R (sin ; x cos x ) ,   где  R  –   знак   рациональной   функции)     сводится   к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой   tg  t x 2   которая называется универсальной. Действительно,          sin x 2 tg  tg  1 x 2 2 x 2 2 t  t 2  1 1  1   t t 2 2 x 2 x 2 cos x 1  1  2 tg  tg 2 x  2 arctgt dx  1 2  t dt 2 Поэтому   R(sinx; cosx)dx   R    2t  t1 2 ; 1 1   t t 2 2   1  2  t 2 dt   tR )( 1 dt Где R1(t) – рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.  На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной  функции. В частности, удобны следующие правила: 6 1. если функция  R (sin ; x cos x )  нечетна относительно sinx, т.е.  R  ( sin ; x cos x ) = R (sin x ; cos x ) 2. если   функция x cos (sin ; x R  3. если   функция )   = R , то подстановка cosx=t рационализирует интеграл R нечетна   относительно (sin cos ; x x )    cosx,   т.е. R (sin x ; cos , то делается подстановка sinx=t   x ) (sin ; x cos x )   четна   относительно  sinx    и  cosx R (  sin ; x  cos x ) = R (sin x ; cos x ) ,   то   интеграл   рационализируется подстановкой tgx=t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид  tgxR dx ) ( . 7 Закрепление материала по занятию №3.   Тема занятия: Первообразная. Неопределенный интеграл. Способы вычисления неопределенного интеграла. 1. Примеры. Непосредственное интегрирование. xdx dx  2 2 x  dx xdx .1 5 x  xdx  5.2  8.3   4.4 x dx  x  cos  4(.7  x8.8 .5 .6 dx cos x  sin2 x ) dx 2. Примеры. Интегрирование методом подстановки. x 4 .1 x  e dx  t 4  dx  4 dt  x 4  e dx  4 t  dte  4 c e t x 4 4 e  c .2 3 dx    xx  x t  t 3  tdt 3 2 2 x dx   xx  3 dx  2  t (  dt )3 t 2 t  t (2 4  2 )3 t dt  2  t 4 dt  6  t 2 dt   c 6 2 5 t 5 3 t 3 5 2 ( x  )3  (2 x  )3 3 2  c 2 5 )2 100 dx  .3 x x   x ( x  t 2  t 2 dx  dt  xx (  )2 100 dx   t ( )2 t 100 dt   t 101 dt  2  t 100 dt ( x  102  )2 102 101  (2  x )2 101  c   2(.4  2 cos x cos  x t 2 ) sin xdx   102 t 102  2 101 t 101  c  sin xdx  dt  2(  cos x ) 2 sin xdx   t 2  ( dt )   t 2 dt  3 t 3  c 1 3 2(  cos x ) 3  c 8  .5 cos x 2 dx  x 2 1 2  t dx  dt dx  2 dt   cos x 2 dx   cos t  2 dt 2  cos tdt  sin2 t  c sin2 x 2  c 3. Примеры. Интегрирование тригонометрических функций. dx  x  cos x  .1 3  t dx sin cos tg  sin x 2 dt 2   2 t 1 t 2   t 1  1 t   1 t x x 2 2 2   3  sin dx  x cos x        td      t  1 2 2    1 2  2 7 arctg 7 4 t  7 1 2 2 dx sin  2 x    1( 2  t   3)    c 2 7 arctg 2 1 dt t 2  t  dt  2  t t  2  2 1 1   t t 2 2    x 2  c 21  tg 7 1 sin   2  x  1  1 sin 2 x  R (sin x ; cos x ) 2 t 1 2   1( 2  t dx   1)   1 arctg 2( tgx )  c 2 t  2 t   t 2 dt  2 1  1 2    d t )2(   t )2( 2  1 9  .2 1  R ( sin x ;  cos ) x  1 arctgt tgx dx  x t dt  t 2  1 2 sin x  1 2 tg  x 2 tg  1 x t  2  1 2 arctg t 2  c