Лекция по математике на тему: Производная.

Лекция №2.   Тема занятия: Производная и ее геометрический смысл. Применение производной. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях. Цель занятия: Дать понятие производной, ее геометрический смысл; таблицу производных; формулы производных суммы, произведения, частного; определение частной производной. Дать понятие дифференциала, его геометрический смысл, таблицу дифференциалов; научить применять дифференциал при вычислении приближенных значений; вычислять производные функции при данном значении аргумента. 2.1. Задачи, приводящие к понятию производной. При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница. Ньютон   пришёл   к   открытию   дифференциального   исчисления   при   решении   задач   о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости). Как известно, равномерным движением называют такое движение, при котором тело в равные промежутки времени проходит равные по длине отрезки пути. Путь, пройденный телом в единицу времени, называют скоростью равномерного движения. Однако   чаще   всего   на   практике   мы   имеем   дело   с   неравномерным   движением. Автомобиль,   едущий   по   дороге,   замедляет   движение   у   переходов   и   ускоряет   его   на   тех участках, где путь свободен; самолёт снижает скорость при приземлении и т.д. Поэтому чаще всего нам приходится иметь дело с тем, что за равные отрезки времени тело проходит различные по   длине   отрезки   пути.   Такое   движение   называют  неравномерным.  Его   скорость   нельзя охарактеризовать одним числом. Часто   для   характеристики   неравномерного   движения   пользуются   понятием  средней скорости движения за время ∆t٫ которое определяется соотношением где ∆s – путь, пройденный телом за время ∆t. Как определить мгновенную скорость? Пусть  движение   тела   описывается   законом   .     Рассмотрим   путь,  пройденный телом за время от   t0    до   t0 + ∆t, т.е. за время, равное ∆t. В момент t0 телом пройден путь  , в   момент     –   путь   .   Поэтому   за   время   ∆t   тело   прошло   путь    и средняя скорость движения тела за этот промежуток времени составит. Чем меньше промежуток времени ∆t, тем точнее можно установить, с какой скоростью движется тело в момент t0, так как движущееся тело не может значительно изменить скорость за 1 малый   промежуток   времени.   Поэтому   средняя   скорость   при   стремлении   ∆t   к   нулю приближается к действительной скорости движения и в пределе даёт скорость движения     в данный момент времени t0 (мгновенную скорость). Таким образом,  Определение.  Мгновенная скорость  прямолинейного движения тела в данный момент времени t0  называется предел средней скорости за время от t0  до t0  + ∆t, когда промежуток времени ∆t стремится к нулю. Итак, чтобы найти скорость прямолинейного неравномерного движения в данный момент, нужно найти предел отношения приращения пути ∆  к приращению времени ∆t при условии     т.е. Лейбниц пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной своим уравнением. Решение   этой   задачи   имеет   большое   значение.   Ведь   скорость   движущейся   точки направлена   по  касательной   к   её   траектории,   поэтому   определение   скорости   снаряда   на  его траектории,   скорости   любой   планеты   на   её   орбите   сводится,   к   определению   направления касательной к кривой. Определение  касательной  как   прямой,  имеющей  с  кривой  только   одну  общую  точку, справедливое для окружности, непригодно для многих других кривых. Ниже   представленное   определение   касательной   к   кривой,   не   только   соответствует интуитивному представлению о ней, но и позволяет фактически находить её направление, т.е. вычислять угловой коэффициент касательной. Определение. Касательной к кривой в точке М называется предельное положение МТ секущей ММ1, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М1   неограниченно приближается по кривой к точке М1. 2 ксек  tg   xf )(  x )  x xf (   y  x 0x При     в силу непрерывности функции приращение  y  тоже стремится к нулю; поэтому   точка   М1  неограниченно   приближается   по   кривой   к   точке   М,   а   секущая   ММ1  , поворачиваясь около точки М, переходит в касательную. Угол   ,  Следовательно:  lim  x 0 tg  tg  . Поэтому угловой коэффициент касательной равен:  ет lim..  0 x   . k  tg    tg lim  0 x  lim  0 x  y  x  lim  0 x xf (  x )  x xf )( 2.2. Определение производной. Понятие производной является одним из фундаментальных понятий математики.  Заметим,   что   при   определении   касательной   к   кривой   и   мгновенной   скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции: 1. Заданному   значению   аргумента   дают   приращение   и   вычисляют   новое   значение функции, соответствующее новому значению аргумента. 2. Определяют   приращение   функции,   соответствующее   выбранному   приращению аргумента. 3. Приращение функции делят на приращение аргумента. 4. Вычисляют   предел   этого   отношения   при   условии,   что   приращение   аргумента стремится к нулю. 3 К   предельным   переходам   такого   типа   приводят   решения   многих   задач.   Возникают необходимость сделать обобщение и дать название этому предельному переходу. Скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента можно, очевидно, охарактеризовать отношением  . Это отношение   называется средней скоростью изменения функции   на   отрезке   от     до   .   Сейчас   нужно   рассмотреть   предел   дроби   Предел этого отношения при стремлении приращения аргумента   к нулю (если   этот   предел   существует)   представляет   собой   некоторую   новую   функцию   от   .   Эту функцию обозначают символами  y’,   называют  производной  данной функции    так как она получена (произведена) из функции  .  Определение.  Производной  функции   в данной точке   0x   называют предел отношения приращения   функции   ∆y   к   соответствующему   приращению   аргумента   ∆x   при   условии,   что ∆x 0, т.е.  →     или     ( f x 0 )  lim  x 0 )( xf x   ) 0 ( xf x 0 Функция    y  )(xf , имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) , называется дифференцируемой  в   этом   интервале;           операция   нахождения   производной   функции называется дифференцированием. Если функция имеет производную в точке x=a, то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке. Определение производной не только с исчерпывающей полнотой характеризует понятие скорости   изменения   функции   при   изменении   аргумента,   но   и   даёт   способ   фактического вычисления производной данной функции. Для этого необходимо выполнить следующие четыре действия (четыре шага), указанные в самом определении производной: 1. Находят  новое  значение   функции,  представив   в  данную  функцию  вместо  x  новое значение аргумента  :  . 2. Определяют приращение функции, вычитывая данное значение функции из её нового значения:  . 3. Составляют   отношение   приращения   функции   к   приращению   аргумента:   . 4 4. Переходят   к   пределу   при     и   находят   производную:   . Вообще говоря, производная – это «новая» функция, произведённая от данной функции по указанному правилу. 2.3. Геометрический смысл производной. Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем:  значение производной функции     в точке x0  равно угловому коэффициенту   касательной,   проведённой   к   графику   функции   в   той   же   точке   x0,  т.е.    f ( 0x ) . k Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид     – текущие координаты. Но     и уравнение касательной запишется так:   . Уравнение нормали запишется в виде   . Т.е.   уравнение   касательной   y  y 0  ( f x 0 )( x  x 0 )   и   есть   геометрический   смысл производной. 2.4. Механический (физический) смысл производной. Механическое   истолкование   производной   было   впервые   дано   И. Ньютоном.   Оно заключается в следующем. Если тело движется по прямой по закону  s  )(ts , то за промежуток времени  t  (от момента t до момента  t  t )  оно пройдет некоторый путь  S . Тогда   S  t есть средняя скорость движения за промежуток времени  t . Скоростью   движения   тела   в   данный   момент   времени  t  называется   предел   отношения приращения пути  S  к приращению времени  t , когда  0t . tv )(  lim  t 0 v  lim  t 0  S  t Следовательно,   производная   пути  S  по   времени  t  равна   скорости   прямолинейного движения тела в данный момент времени  )( tv S . В этом состоит физический (механический) смысл производной.  2.5. Производная суммы, разности, произведения и частного функций. 5 Нахождение   производной   функции   непосредственно   по   определению   часто   связано   с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул. Пусть   функции   u  )(xu     и   v  )(xv   ­   две   дифференцируемые   в   некотором интервале (a;b) функции. Правила дифференцирования: Правило   1:  Производная   суммы   (разности)   двух   функций   равна   сумме   (разности) производных этих функций:   ) vu ( v . u Правило 2: Производная произведения двух функций равна произведению производной первого   сомножителя   на   второй   плюс   произведение   первого   сомножителя   на   производную второго:   ) vu ( vuvu . Правило 3:  Производная частного двух функций   )( xu )( xv , если   )( xv 0 , равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби  на производную числителя и числителя   дроби   на   производную   знаменателя,   а   знаменатель   есть   квадрат   прежнего знаменателя:       u v      vuvu 2v .                                                                                Следствие:               u c c v  u 1 c   vc , 2v где ­с  const Пусть  , тогда  аргументом  u и независимым аргументом  x .   и   )(uf u  y  2.6. Производная сложной функции. )(xg xgf y  (( )) ­ сложная функции с промежуточным Таким   образом,   для   нахождения   производной   сложной   функции   надо   производную данной   функции   по   промежуточному   аргументу   умножить   на   производную   промежуточного аргумента по независимому аргументу.  u y y u x , если x y  )(uf   и   u  )(xg 2.7. Производная обратной функции. Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. y 1  x x y   или   dy dx 1 dx dy   , если  y  )(xf   и   x  )( yg 2.8. Таблица производных. 6 Объединим   в   одну   таблицу   все   основные   формулы   и   правили   дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать   u  )(xu   и   v  )(xv ,  С=const. Для производных основных   элементарных   функций   будем   пользоваться   теоремой   о   производной   сложной функции. Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать   u  )(xu   и   v  )(xv ,  С=const. Для производных основных   элементарных   функций   будем   пользоваться   теоремой   о   производной   сложной функции.   0 .1 c  x 1 .2     .3      .4   c x x n  n  1 nx c 2 x 1   x   .5   .7  .8 sin.6 x cos  tgx  .9 ctgx x x cos 2     sin x 1  2 cos  x 1 2 sin  x x сложные .... функции :  n  ua .3   .4 a  c u      nu n  1    uc 2 u u  sin.6 a  a .5   a .7  a .8  a .9   u u  u  cos u 2     sin cos u  u   2 cos  ctgu tgu u u sin   u 2  uu  uu x a x e  .10  .11  ln.12     x   a x ln a x  e  1 x   .13 log a  x 1 ln x a  .13 a log a  u  aa .10  .11 ea  ln.12 a u    u   a u ln  ua u  e u  u  u  u   u ln a u , a  1 7 2.9. Понятие второй производной. Производная функции   в общем случае является функцией от х. Если от этой функции   вычислить   производную,   то   получим   производную   второго   порядка   или   вторую производную функции  )(xf y  )(xf . y  Определение.  Второй производной  функции   y  )(xf   называется производная от ее первой производной  y  f )(x .  Обозначение:  y  , f  ( x ), 2 yd 2 dx . Таким образом,    . y y Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. y  , f  ( x ), 3 yd 3 dx 2.10. Физический смысл второй производной. Если тело движется прямолинейно по закону  S  )(tS , то вторая производная пути  S по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени t: )( S ta 2.11. Понятие дифференциала. С   понятием   производной   тесно   связано   важное   понятие   математики   –   понятие дифференциала. Пусть   y  )(xf Дадим   аргументу    )( xf  ) ( xf x y .    есть некоторая функция, имеющая в некоторой точке   производную.   x ,   тогда   функция   получит   приращение   приращение    x  По определению производной имеем:  lim  x 0  y  x  f )( x . Так   как     разность   между   переменной   имеющей   предел,   и   этим   пределом   является бесконечно малой, то    y  x   )(x f   ­ есть величина бесконечно малая при  0x .  y  x  f  )( x x),  ( x  y  ( )( x x x ) f 0 x Если  )(  x 0 f , то  f  )( x x   имеет тот же порядок, что и  x . Значит, при малых  x второе   слагаемое   менее   важно,   чем   первое.   Это   первое   слагаемое   и   называется дифференциалом даже если  )(  x 0 f . Определение. Дифференциалом функции   x  приращения  x  линейно зависящая от приращения аргумента  x . y  )(xf  в точке х называется главная часть f  x )( dy dy   x обозначени f x )( е 2.12. Геометрический смысл  дифференциала. Выясним геометрический смысл дифференциала. Для этого проведем к графику функции  в точке М(x,y)  касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки )(xf y  x  x   На   рисунке   длина   АМ   равна   x ,   длина АМ1  равна   y .   Из   прямоугольного треугольника имеем: МАВ     tg   AB  x AB,  tg   x   согласно   геометрическому   смыслу   Поэтому  tg )(xf   . Но, производной,  x AB x )( f .  Сравнивая полученный результат с формулой: dy dy  , т.е.  , получаем  )( dxx AB f Дифференциал   функции     в   точке   х равен   приращению   ординаты   касательной   к графику   функции   в   точке,   когда   х   получит приращение  x .  )(xf y  В этом и состоит геометрический смысл дифференциала. 2.13. Таблица  дифференциалов. d .11 (cos u )   (x) f uuf ( ),  )( x d .14 (arcsin u ) du dv udv (.1 (.2    dy dy  vud )   vud )  u udv  v   , dx y x  duy , du vdu  2 v если если y, y , .4 .5 vdu 3.d u dc .6 (.7 ud (.8 ad    u u a  u  ln 0 ) )  1  du  du a .9 d (log u ) a  .10 d (sin u )  du 1 ln u cos a udu d (.12 tgu )  d (.13 ctgu ) udu du  sin 1 2 cos  u 1 2 sin  1 du u 1  1 2 u 1  d .15 (arccos u )  du 2 u d (.16 arctgu )  d (.17 arcctgu ) (.18 cud )  cdu , c 1  1  u du 2 du 1  u 1  const 2 2.14. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Как уже известно, приращение   y   функции    y x  в точке х можно представить в  . отбрасывая x виде   x  более высокого порядка, чем  x  получаем приближенное равенство бесконечно малую   y  ,  причем это равенство тем точнее, чем меньше  x . )(xf   или    y  ,0x  0 , где     при   xf )(  ( dy dy x x y ) Это   равенство   позволяет   с   большей     точностью   вычислить     приближенно приращение любой дифференцируемой функции. Дифференциал обычно находят значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула:  y  dy   широко применяется  в вычислительной практике. xf ( 0  x ) xf ( 0 )  f ( x 0 )  x Закрепление материала по занятию №2.   Тема занятия: Производная и ее геометрический смысл. Применение производной. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях. 1. Найти производные функций:  y .1 .2 y .3 y .4 y .5 y .6 y .7 y .8 y   2   5  cos  sin  x  6 x  x 5 3 x x 2 14 25 4 18 2   ctgx 3 x x x 2 x 14 sin3 5 x  x 2. Найти функций, используя геометрический и физический смыслы производной: скорость  и  ускорение. t S 2         .1 Решение S   :            S           2.S t 3 t 2 .3 S 4   t 4 2 Найти     1v 0 a  3. Найти дифференциал функций: t 2 3 .1 y  2 x Решение y : .2 .3 .4 .5 y y y y 2 5 x 10     x x cos x 3   5 x 6  4  2 x 2;  2 dy  2 dx (иил dy   2 x) 4. Найти   приближенное   значение   приращения   функции x  x ,2 .0 001 .   y  x 3 2 x  1     при Решение: Применяем формулу   dy x y ( 3  )1 x 3( 2 x 2 x  )2  x Подставляя данные, получим:  01.0y dy .0)243(  001  10 .0 001  01.0 Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем  y .   ) x y  3 xx  x  ) x (( x 2 xx 3( )1) )2 (2 ( x  2 3 3 ( x  2 x  )1 x 3 3 x 2  x (3 x  x ) 2  ( x ) 3  2 x  1 2 x  y .0 .02343(001  001  .0 2 001  )2 .0 010006 Абсолютная погрешность приближения равна:  y dy  .0 010006  01.0  .0 000006 Подставляя в равенство   y  dy   значения   y, dy , получим: xf (  ) x xf )(  x )( f x xf (  x ) xf )(  x x )( f Это формула используется для вычислений приближенных значений функций. 5. Вычислить приближенно  arctg 05.1 11 Решение: xf x )(  ) Рассмотрим   функцию x )(   имеем:    x   f   )( xf arctgx .   По   формуле xf ( arctg ( x  x ) arctg x )(  ( arctgx )  x     т.е. arctg ( x  x ) arctg )( x   x  x 2 1 так как   x 05.1 x , то при  x  x ,1 05.0 , получаем: arctg 05.1 arctg 1  05.0 11    4  025.0  810.0 Можно показать, что абсолютная погрешность формулы  xf ( превышает величины  ( xM  2) , где М – наибольшее значение.  x ) xf )(  x x )( f   не 6. Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начального падения. Уравнение свободного падения тела   g л 2  t 2 , g л  м/с6.1 2 . Решение: Требуется найти Н(10,04). Воспользуемся приближенной формулой ( dH ). tH (  ) t tHtH )(  )( t При:  t  c ,10  dt t ,04.0  )( tHc tg л находим:  H )04.10( 6.1   100 2  106.1  04.0  80 64.0  м)(64.80 7. Вычислить приближенное значение приращения функции   y аргумента от х=2 до х=2,001.  x 2 2 x  5 , при изменении Решение:   001.0 2 001.2  x dx  dy )( dxxy  y 2 x x  y )2( 6  dy 6 dx 001.06  006.0 y 222   006.0 8. Составить   уравнение   касательной   к   графику   функции:     y  2 3 3 x  2 x  2 x  3   в   точке А(3,6). Решение:  Для   нахождения   углового   коэффициента   касательной   необходимо   найти производную данной функции. Уг. коэффициент касательной равен значению производной функции в точке с абсциссой 3. 9. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции:  y абсциссой 2.  x 3 2 x   4 3   в точке с 12 Решение: Сначала найти ординату точки касания. Для нахождения углового коэффициента касательной необходимо найти производную данной функции. Уг. коэффициент касательной равен значению производной функции в точке с абсциссой 2. Примеры с решением сложных функций: Найти производную функции: . Найти y'(–1).  .  13