Лекция по математике на тему "Тригонометрические функции числового аргумента"

Лекция  Тригонометрические функции числового аргумента План 1.Изображение действительных чисел точками единичной окружности 2. Свойства тригонометрических функций 1.Изображение действительных чисел точками единичной окружности Возьмём окружность радиуса 1 с центром O , отметим на ней начальную точку A и  проведём начальный радиус OA. Чтобы отметить на окружности действительное  число  (положительное, отрицательное или 0), надо отложить на ней от точки A  дугу длиной  в положительном направлении, если   0 или в отрицательном на­  правлении, если   0. Для этого мысленно повернём OA против часовой стрелки (  0 ) или по часовой стрелке (  0) на угол радианной меры | |. В результате, мы  получим радиус OA . Точка A и является изображением действительного числа  . Таким образом, каждому действительному числу  соответствует единственная  точка A окружности, которая является изображением этого числа, а каждой точке окружности соответствует бесконечное множество действи­ тельных чисел,  которые отличаются друг от друга слагаемыми, кратными 2 . Так, например, точка A является изображением чи­ сел 2 , n n Z  . Замечание. Числовая окружность,  т.е. окружность единичного радиуса, которая служит для обозначения  действительных чисел, на­ зывается тригонометрической окружностью, так как её  используют для определения триго­ нометрических функций. Центр  тригонометрической окружности при этом выбирают в начале прямоугольной  декартовой системы координат Oxy , а в качестве начальной точки A выбирают  точку (1; 0) Оси координат разбивают координатную плоскость Oxy на четыре  четверти.  2. Свойства тригонометрических функций I. Значения синуса и косинуса ограничены единицей,  т.е.  1 sin   1 и  1 cos   .1      Пример: Выражения    sin   1,1 и cos   5,2  — не имеют смысла.II. Значения тангенса и котангенса не ограничены. III. На единичной окружности в каждой из четвертей тригонометрические  функции сохраняют постоянный знак (рис. 6).                         + – + – sin IV. – – + + cos  Рисунок 6   – + + – tg  и ctg  Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная, т.е.  sin   tg  ctg  cos                tg  ; sin  ;  ; ctg cos  .              sin   tg  ctg  cos                tg  sin ;  ;  ; ctg cos  . Пример:    sin   cos   30   45   1 2 2 2 , , sin   30   cos   45   tg   60   3 tg   60   , , 1 2 2 2 3                                  ctg   90      ,   .0 ctg   90  .0  V. При изменении угла на целое число оборотов значения тригономет­рических  функций не меняются. Пример: 30  sin  30  360   sin  30  360    1 2 ; а sin) б sin) в ) cos 765   1170  sin    2  360  45 sin 45     cos 2 2 90 ;  cos 1170  3  360  cos 90  .0   tg   60 3 ctg     .0 90      1. Отметьте на единичной окружности точку, соответствующую числу: Решение упражнений ; б) а) 3π 4 31π 6 ; в) 1,5; г) ­7; д) . π2392. Найдите на единичной окружности все точки M(t), соответствующие формуле: а) ; б) ; в) ; г) . ±=t Znn,π+  2 =t  Zn, =t   n  1 Znn,π+  =t π 4 + nπ 4  Zn, 2 nπ 3 π 6 π 3 3. Определите знак выражения: а б sin) cos )  179 280 ;  ;                              tgв ) ) г ctg  175 ;  359 ; 4.Вычислите:     , 30 sin) а     б 60 , cos )     ) tgв 45 ,    9  cos 4     н ) ,  ,    30 ) ctg г  390 , д sin)  420 ) cos , е  ,5,2sin) о г д е о  30  ) ctg  , sin)  ) ,  ,5,2sin)  390 420 cos  , , ,  540 ) tgж  ctg 450 ) з   и sin)     tgп 720  13 6 )  , ,     ) д ) tgе cos  410  ; 500                ; ж ) з sin)  cos     75  116  ; .  cos к   tgл ctgм ) ) ) р ) ctg   405   900 ,   1110  17 3 .  , г д е о    ) ctg 30  , sin) 390  420 ) ,  ,5,2sin) cos  ,  ,  tgж ) ctg з ) и sin) tgп ) , ,  540  450       13 6 720   , ,     а б tgв   sin)   cos )  45 )       , 30   60 ,  ,  4 cos  9    н )  ,  cos к  tgл ctgм ) ) )  р ) ctg   900   405  , 1110   17 3 .  ,   , 5.Найдите значение выражения: а sin2) cos 3 tg ctg   2      г sin)       4  6  3 2  3  4 ;  2  3     ; б sin) в 3) tg          4  4       cos3  tg  ctg sin2  203 tg  ctg 3) д  sin  4   ;  е sin3) 2    cos   3     3 2    2sin2   tg     ; 2 cos 2  2  2 5 tg      4   ;  2 4 tg  4  2 cos3      6    2 3 tg      4   .  2      2  6.*. Вычислите: ) ctg а б 3) tg sin2) в  cos 2 585  2 cos 570  750 sin 1440 1350 1230    sin2 1125  1200 ;  1395 ; sin2 ctg      ; ) tgг ) tgд ) tgе     930 585 420       sin   1500 cos   sin2 870    1200     cos     ; 1080    cos 1410 .  1770 cos 2    ; 7.*. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций:          в) f(x)=3sinx+3;    г) f(x)=2cosx­3.  yа yб ) )  1  sin cos  x x ; ;1 yа yб ) )  1  sin cos  x ; x ;1