Лекция по теме "Действительные числа"

Действительные числа, рациональные числа и иррациональные числа. В ходе изучения математики мы сталкивались с различными числами Натуральные числа Числа, используемые при счете называются натуральными числами.  Например, 1,2,3 и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных  чисел, которое обозначают N .Данное обозначение исходит от латинского  слова naturalis­  естественный. Противоположные числа Если два числа отличаются только знаками их называют в математике  противоположными числами. Например, числа 5 и ­5 противоположные числа, т.к. отличаются только  знаками. Для любого числа есть противоположное число и притом только одно. Число нуль противоположно самому себе. Целые числа Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и  нуль.  Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и  противоположных им Обозначают целые числа Z. Дробные числа Числа вида  m n  называют дробями или дробными числами. Так же дробные  числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных  дробей Например: 3 5  , 0,08 и Т.Д. Так же как и целые дробные числа могут быть как положительными, так и  отрицательными Рациональные числа Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в  себе множество целых и дробных чисел Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно  представить в виде дроби  a b , где a­ целое число, а b­ натуральное. Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать  разными способами Например,  3 4=6 8=0,75 Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено  в виде конечной десятичной дроби или  бесконечной десятичной   периодической дроби Множество рациональных чисел обозначается Q В результате выполнения любого арифметического действия над  рациональными числами полученный ответ будет рациональным числом. Это  легко доказуемо, в силу того, что при сложении, вычитании, умножении и  делении обыкновенных дробей получится обыкновенная дробь Иррациональные числа. В ходе изучения курса математики часто приходится сталкиваться в  решении с числами, которые не являются рациональными.  Например, чтобы убедиться в существовании множества чисел,  отличных от рациональных решим уравнение  x2=6 .Корнями этого  уравнения будут числа  √6  и ­ √6 . Данные числа не будут являться  рациональными. Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной 3 мы применив  теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна  √18 . Это число так же не является рациональным. Такие числа называются иррациональными.  Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную  непериодическую дробь. Одно из часто встречающихся иррациональных чисел­ это число  π π=3,1415……. При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и  иррациональным числом.  Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел.  Найдем   а) √6∗√6               б) √2∗√3 Решение  а) √6∗√6  =6             б)           √2∗√3=√6     На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным,  так и иррациональным числом. Если в арифметических действиях участвуют рациональное и  иррациональные числа одновременно, то в результате получится  иррациональное число ( кроме, конечно, умножения на 0) Действительные числа Множеством действительных чисел называется множество содержащее  множество рациональных и иррациональных чисел. Обозначается множество действительных чисел R.Символически  множество действительных чисел можно обозначить (­∞;+∞). Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют  бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное  число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или   бесконечной десятичной  периодической дроби, поэтому действительным  числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь. При выполнении алгебраических действий будут выполняться  следующие правила 1)при умножении и делении положительных чисел полученное число  будет положительным 2) при умножении и делении отрицательных чисел полученное число  будет положительным 3) при умножении и делении отрицательного и положительного чисел  полученное число будет отрицательным Так же действительные числа можно сравнивать друг с другом