Лекционный материал позволяет иметь понятия об:иррациональных числах;множестве действительных чисел; модуле действительного числа,учит уметь выполнять :вычисления с иррациональными выражениями; сравнивать числовые значения иррациональных выражений,позволяет сделать вывод о том, что все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел ,
Действительные числа, рациональные числа и иррациональные числа.
В ходе изучения математики мы сталкивались с различными числами
Натуральные числа
Числа, используемые при счете называются натуральными числами.
Например, 1,2,3 и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных
чисел, которое обозначают N .Данное обозначение исходит от латинского
слова naturalis естественный.
Противоположные числа
Если два числа отличаются только знаками их называют в математике
противоположными числами.
Например, числа 5 и 5 противоположные числа, т.к. отличаются только
знаками.
Для любого числа есть противоположное число и притом только одно.
Число нуль противоположно самому себе.
Целые числа
Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и
нуль.
Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и
противоположных им
Обозначают целые числа Z.
Дробные числа
Числа вида
m
n называют дробями или дробными числами. Так же дробные
числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных
дробей
Например:
3
5 , 0,08 и Т.Д.
Так же как и целые дробные числа могут быть как положительными, так и
отрицательнымиРациональные числа
Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в
себе множество целых и дробных чисел
Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно
представить в виде дроби
a
b , где a целое число, а b натуральное.
Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать
разными способами
Например,
3
4=6
8=0,75
Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено
в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной
периодической дроби
Множество рациональных чисел обозначается Q
В результате выполнения любого арифметического действия над
рациональными числами полученный ответ будет рациональным числом. Это
легко доказуемо, в силу того, что при сложении, вычитании, умножении и
делении обыкновенных дробей получится обыкновенная дробь
Иррациональные числа.
В ходе изучения курса математики часто приходится сталкиваться в
решении с числами, которые не являются рациональными.
Например, чтобы убедиться в существовании множества чисел,
отличных от рациональных решим уравнение x2=6 .Корнями этого
уравнения будут числа √6 и √6 . Данные числа не будут являться
рациональными.
Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной 3 мы применив
теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна √18 . Это число так
же не является рациональным.Такие числа называются иррациональными.
Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную
непериодическую дробь.
Одно из часто встречающихся иррациональных чисел это число π
π=3,1415…….
При выполнении арифметических действий с иррациональными числами
получаемый результат может оказаться и рациональным, так и
иррациональным числом.
Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел.
Найдем а) √6∗√6 б) √2∗√3
Решение а) √6∗√6 =6 б) √2∗√3=√6
На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным,
так и иррациональным числом.
Если в арифметических действиях участвуют рациональное и
иррациональные числа одновременно, то в результате получится
иррациональное число ( кроме, конечно, умножения на 0)
Действительные числа
Множеством действительных чисел называется множество содержащее
множество рациональных и иррациональных чисел.
Обозначается множество действительных чисел R.Символически
множество действительных чисел можно обозначить (∞;+∞).
Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют
бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное
число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или
бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным
числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.
При выполнении алгебраических действий будут выполняться
следующие правила1)при умножении и делении положительных чисел полученное число
будет положительным
2) при умножении и делении отрицательных чисел полученное число
будет положительным
3) при умножении и делении отрицательного и положительного чисел
полученное число будет отрицательным
Так же действительные числа можно сравнивать друг с другом