Лекция по теме "Классическая, геометрическая и статистическая вероятность"

Дистанционный курс по математике для студентов 1 курса Преподаватель: Добрынина Н.В. Лекция № 4 Тема: Классическая вероятность. Геометрическая вероятность. Статистическая вероятность. Цели лекции:  Ввести   определения   классической,   геометрической   и статистической вероятности;  Формировать навыки нахождения классической, геометрической и статистической вероятности. Если результат опыта сводится к схеме случаев (шансов), то отношение числа благоприятных случаев данному событию к числу всех случаев называется вероятностью события.  Р – вероятность. А – событие. Р(А) – вероятность события А. Такое понятие вероятности будем называть  классической вероятностью. Формула классической вероятности имеет вид: Р(А) =  m n  , где m – число благоприятных случаев, а n – число всех случаев.  Рассмотрим задачи: Задача   1.   Найти   вероятность   выпадения   решки   при   1   подбрасывании   1 математической монеты. Решение: Е – 1 подбрасывание 1 математической монеты. А – появление решки. Р(А) = ½ = 0,5. Ответ: 0,5. Задача   2:   найти   вероятность   появление   более   3   очков   при   одном подбрасывании 1 игральной кости. Решение: Е – 1 подбрасывание 1 игральной кости. А – появление более 3 очков. Р(А) = 3/6 = 0,5. Ответ: 0,5. Задача   3:   найти   вероятность   появление   орла   и   решки   при   одном подбрасывании 2 математических монет. Решение: Е – одно подбрасывание 2 математических монет. А – выпадение орла и решки. Р(А) = 2/4= 0,5. Ответ: 0,5. Если вероятность события А Р(А)=0, то событие А называют невозможным. Если вероятность события А Р(А)=1, то событие А называют достоверным. Значение вероятности всегда принадлежит отрезку от 0 до 1. 0≤Р(А)≤1 Пусть произведено n опытов, в которых событие А появилось ровно m раз. Тогда   отношение   m n называется   частотой   появления   события   А   и обозначается Р*(А) =   m n  . Число,   возле   которого   колеблется   частота   появления   события   А   при неограниченном   увеличении   числа   опытов   и   сохранении   тех   же   условий, называется статистической вероятностью события А. Рассмотрим задачу. Задача 4: произведено исследование 100 деталей, среди которых обнаружено 5 бракованных. Какова частота появления бракованной детали? Решение: Е – исследование 100 деталей. А – появление бракованной детали. Р*(А) = 5/100 = 0,05 Ответ: 0,05. Отличие от классической вероятности состоит в том, что в статистической вероятности расчет производится после опыта, а в классической теоретически перед опытом. Рассмотрим несколько задач. 5. В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным. Решение:  Е – извлечение 1 шара из урны. А – шар белый. В – шар красный. С – шар черный. Важнейшей   предпосылкой   для   использования   классического определения   вероятности   является возможность   подсчёта   общего количества исходов. Всего  в  урне: 15 + 5 + 10 = 30  шаров, и,  очевидно,  справедливы следующие   факты:  возможно (равно   извлечение   любого   шара   одинаково этом возможность исходов),     при исходы элементарны и   образуют полную   группу   событий (т.е.   в результате испытания обязательно будет извлечён какой­то один из 30­ти шаров). Таким образом, общее число исходов: 30. Рассмотрим   событие: А –   из   урны   будет   извлечён   белый   шар. Данному   событию   благоприятствуют 15 элементарных исходов, определению: поэтому Р(А) = 15/30 = 0,5 вероятность того, то из урны будет извлечён белый классическому     по   шар. С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события: Событию В благоприятствует   5   элементарных   исходов, событию С –   10   элементарных   исходов.   а   Таким   образом, соответствующие вероятности: Р (В)   =   5/30   = 1 6 –   из   урны   будет   извлечён   красный   шар; Р(С) = 10/30 =  1 3  – из урны будет извлечён чёрный шар. Ответ: 0,5;  1 6 ;1 3 . 6. В   магазин   поступило   30   холодильников,   пять   из   которых   имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта? Решение: Е – выбор одного холодильника. А – выбранный холодильник без дефекта. Количество всех исходов в задаче равно 30. Благоприятные исходы можно найти 30 – 5 = 25. Получим вероятность события А: Р (А) = 25/30=  5 6 Ответ:  5 6 . 7. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит,   что   одна   из   них   –   ноль,   а   другая   –   нечётная.   Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер. Решение: Е – набор номера. А – номер набран правильно. Примечание: ноль – это чётное число (делится на 2 без остатка) Сначала   найдём   общее   количество   исходов.   По   условию,   абонент помнит, что одна из цифр – ноль, а другая цифра – нечётная.  01, 03, 05, 07, 09 10, 30, 50, 70, 90 Подсчитываем их – всего: 10 исходов. Благоприятствующий исход один: верный номер. По классическому определению: Р(А) = 1/10 = 0,1 – вероятность того, что абонент наберёт правильный номер. Ответ: 0,1. 8. Абонент забыл пин – код к своей сим­карте, однако помнит, что он содержит три «пятёрки», а одна из цифр – то ли «семёрка», то ли «восьмёрка».   Какова   вероятность   успешной   авторизации   с   первой попытки? Решение: Е – набор пин­кода. А – пин­код набран верно. Количество всех исходов равно 8.  5557 5558 5575 5585 5755 5855 7555 8555 Благоприятных исход 1 – верный пин­код. По классическому определению вероятности имеем: Р(А) = 1/8 = 0,125. Ответ: 0,125. 9. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет: а) пять очков; б) не более четырёх очков; в) от 3­х до 9 очков включительно. Решение:  Е – подбрасывание 2 игральных костей. А – сумма очков равна 5. В – сумма очков не более 4. С – сумма очков от 3 до 9. Найдём общее количество исходов: 6 способами может выпасть грань 1­го   кубика и 6 способами   может   выпасть   грань   2­го   кубика; по правилу   умножения   комбинаций,   всего: 6*6   =   36 возможных комбинаций.      может Иными составить упорядоченную  пару с   каждой гранью   2­го   кубика. словами, каждая грань кубика   1­го   Например:  – на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;  –  на   первом   кубике   выпало   6  очков,  на  втором  –  1  очко,  сумма очков: 6 + 1 = 7; – на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4. Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара 1+1 , а наибольшую – две «шестёрки». а)   Рассмотрим   событие: А –   при   бросании   двух   игральных   костей выпадет   5   очков.   Запишем   и   подсчитаем   количество   исходов, которые благоприятствуют данному событию: 1+4, 4+1, 3+2, 2+3 Итого:   4   благоприятствующих   исхода.   По   классическому определению: Р(А) = 4/36=  1 9 – искомая вероятность. б) Рассмотрим событие: В – выпадет не более 4­х очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка.  1+1, 1+2, 2+1, 2+2, 1+3, 3+1 Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом, Р(В) = 6/36 =  1 6  – вероятность того, что выпадет не более 4­х очков. в) Рассмотрим событие: С – выпадет от 3­х до 9 очков включительно. Можно исключить выпадение 2, 10, 11, 12 очков. 1+1, 4+6, 6+4, 5+5, 6+5, 5+6, 6+6. Итого: 7 неблагоприятных исходов. Т.е.   благоприятных   исходов   36   –   7   =   29.   По   классическому определению: Р(С) = 29/36 =  29 36  – вероятность того, что выпадет от трёх или до 9­ти очков. Ответ: 1 9 ,1 6 ,    29 36 . 10.Найти   вероятность   того,   что   при   броске   двух   игральных   костей произведение очков: а) будет равно семи; б) окажется не менее 20­ти; в) будет чётным. Решение:  Е – подбрасывание двух игральных костей. А – произведение очков равно 7. В – произведение очков не менее 20. С – произведение очков четно. Р(А) = 0 Р(В) = 7/35 = 0,5 Р(С) = 26/30 =  Ответ: 0; 0,5;  13 15 13 15 . 11.В   лифт   20­этажного   дома   на   первом   этаже   зашли   3   человека.   И поехали. Найти вероятность того, что: а) они выйдут на разных этажах; б) двое выйдут на одном этаже; в) все выйдут на одном этаже. Решение:  Е – выход пассажиров из лифта. А – все выйдут на разных остановках. В – двое выйдут на одном этаже. С – все выйдут на 1 этаже. Вычислим общее количество исходов: 19 способами может выйти из лифта 1­й пассажир и 19 способами – 2­й пассажир и 19 способами – третий   пассажир.   По   правилу   умножения   комбинаций: 19*19*19= 6859 возможных исходов. То есть, каждый этаж выхода 1­го человека может комбинироваться с каждым этажом выхода 2­го человека и с каждым этажом выхода 3­го человека. а)   Рассмотрим   событие: А –   пассажиры   выйдут   на   разных   этажах. исходов: Вычислим   благоприятствующих   количество   17*18*19   =   5814 способами   могут   выйти   3   пассажира   на   разных этажах. По классическому определению:  Р(А) = 5814/6859= 0,8476…. в)   Рассмотрим   событие: С –   пассажиры   выйдут   на   одном   этаже. Данному событию благоприятствуют 19 исходов и по классическому определению, соответствующая вероятность: Р(С) = 19/6859=0,0028.. б) Рассмотрим событие: В – два человека выйдут на одном этаже (и, соответственно, третий – на другом). Благоприятных исходов 6859 – 19 = 6840. В результате, искомая вероятность: Р(В) = 6840/6859 = 0,1496… Ответ:  0,8476; 0, 1496; 0,0028. Когда получаются большие дроби, то хорошим тоном будет указать их   приближенные   десятичные   значения.   Обычно   округляют   до   2­3­4­х знаков после запятой. Иногда по причине погрешности округлений может получиться   0,9999   либо   1,0001,   в   этом   случае   одно   из   приближенных значений следуют «подогнать» так, чтобы в сумме нарисовалась «чистая» единица. Заметим,   что   число   исходов   может   быть   бесконечным,   тогда случайное   событие   удобнее   рассматривать   как   произвольную   точку   и говорить о появлении этой точки в некоторой области. Если возможность случайного появления точки в некоторой области не зависит от положения этой области в пространстве, а зависит лишь от размеров этой области (длина, площадь, объем), то вероятность появления точки определяется как отношение размера этой области к размеру всей области , в которой может появиться данная точка. Р(А) =  размерА размерВ  ­ геометрическое определение вероятности. Рассмотрим примеры. Задача  12.  Абонент  ждет   телефонного   вызова   с 2  до   3  часов,  то какова вероятность того, что этот вызов пройдет с 2ч 30мин до 2ч 40мин.? Решение: Е – ожидание вызова. D – вызов произошел в течение 10мин после половины третьего. Изобразим все исходы испытания в виде отрезка ОА на прямой Ох: О С В А Событие D произойдет, если точка (вызов) окажется на отрезке СВ. Следовательно, Р(D) = СВ      /ОА= 10/60 =  1 6 Ответ:  1 6 Задача   13.  На   бесконечную   шахматную   доску   со   стороной квадрата А наудачу   бросается   монета   радиуса r  меньше   а/2.   Найти вероятности   следующих   событий: А =   «монета   попадет   целиком   внутрь одного квадрата», В = «монета пересечет не более одной стороны квадрата». Решение. Пусть   (Х,   у)   —   координаты центра   упавшей   монеты   (рис.   3.3).   В силу бесконечности шахматной доски можно   считать,   что   элементарные эксперимента исходы   данного   полностью   определяются   положением центра упавшей монеты относительно вершин   квадрата,   содержащего   этот центр.  Помещая   начало   координат   в одну из вершин указанного квадрата можно записать множество элементарных исходов   в   виде  0≤х≤а,0≤у≤а .   соответствующее   Множество, событию А:  х ≥r , y ≤a−r , т. е. является квадратом со стороной a – 2r. Следовательно, S = (a­2r)2; S­a2; P(A)=(a­2r)2/a2 . Ответ: (a­2r)2/a2 . Список литературы и Интернет­ресурсов: 1. Новоселов   О.В.   Комбинаторика   и   вероятность:   учебн.   пособие   для слушателей подготовит. курсов / О. В. Новоселов, Л.П. Скиба. СибГАУ, Красноярск, 2009. – 78 с. 2. Филимонова Л.В., Быкова Е.А. Математика и информатика. Учебное пособие (для студентов гуманитарных факультетов ВУЗов). – 2­е изд. Дополненное и переработанное – Елец, ЕГУ им. И.А. Бунина, 2001, 110 с. 3. https://ege­study.ru/ru/ege/materialy/matematika/teoriya­veroyatnostej­na­ ege­po­matematike/ 4. https://www.matburo.ru/tv_book.php