ЛЕКЦИЯ ПО ТЕМЕ «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФОРМЕ»

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕМЕ «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФОРМЕ» 1. Показательная форма комплексного числа. 2. Действия над комплексными числами в показательной форме.  Если комплексному числу z=(Cos+iSin), модуль которого равен 1, поставить в соответствие показательное выражение i , то получим соотношение Cos+iSin= , i которое называется формулой Эйлера.. Любое комплексное число z можно представить в виде . Эта форма записи комплексного числа называется z=r i показательной формой, где r - модуль комплексного числа,  - один из его аргументов.  Действия над комплексными числами в показательной форме производятся по правилам действий со степенями: a. z1z2=r1r2 , ) 2 (i 1   , b. c. z z 1 2 n z   1 (i   2 1 ) r r 2 , n  r ni, где k принимает n значений: 0,1,2,3, d. k2  n r   n n z …,n-1. Выполнить действия и представить ответ во всех трёх формах: 1. (1  8 ) i  2( 2 2  2 2 8 i )   2(cos(   ) 4  i sin(  8   ))  4 8   i  4  2 e     8 i 4  8  2 e          16 e   2 i   16(cos( 2 )   i sin( 2 )) 16(1 0 ) 16 i      2.  3  i e 2  e 3 i     2 k 2 3 i , k  0,1, 2;  i 6 e z 1   cos sin  6  3 2  1 2 i ,  5 i 6 z 2  e  cos  5 6  i sin  5 6   3 2  1 2 i , i   6  3 2  9 i 6    i e sin cos z 3 Выполните самостоятельно: 1. Перейти к алгебраической форме комплексного числа:   i  3 2 ;  i 23 e , z   2 i 3 z  e 2. Перейти к показательной форме комплексного числа: z   5, z   2 2 i ; 3. Выполнить действия: Примеры:  2 3 i  1 5 i , ( 3  6 ) , i 3  i , 1  i 3                1. Представить в показательной форме комплексное число . i z 8 3  1 8 Решение: Находим модуль числа и один из его z 3 64  1 64  1 4 аргументов   arctg ., откуда, .  i 6 z  1 4 e 1 8 3 8  arctg     1 3     6 2. Записать в показательной форме комплексное число z   ( 3  i )(cos 1  .  12 )  i sin  12 i  3  i , cos  12  i sin  12 , i  1 представим в Решение: Каждое из чисел показательной форме ,  5 i 6  3  2 e i,  i 4 1  i 2 e osc  12  i sin  12  cos(   12 )  i sin(   12 )  e Используя формулы, получаем .   i 12 i e 2   5( ) 6 4 12   .   ie 2 e 2 z  i  5  i 6 12  i 4 e  2 e 3. Записать все значения корня в показательной 4 3 i форме. Решение: 4 3 4  i  i 62 e  e  )1 i 12( k 24 4 2  (к=0,1,2,3). С помощью формулы Эйлера преобразуем  ie  cos   i sin  тригонометрическую форму комплексного числа:  r z  sin cos     Форма записи  называется показательной формой i re  i z re  i комплексного числа. Примечание:argtg y x для внутренних точек I и IV четверти  zдля внутренних точек II четверти arctg arg y x       arctg y x для внутренних точек III четверти Пример 1 Числа   1 1 z ; i z 2 ; ; 4z i    3 1 7 z i записать в   2 3 2 i  тригонометрической и показательной формах. Решение. 1) Найдем модуль и аргумент к.ч   1 1 z Т.к. , то . i x  Re z 1  1 y  Im z 1  1 z 1  2 x 2  2 1 2 1 y 2 arg z 1  arctg 1 1  arctg1=  4 (т.к. точка лежит в первой координатной четверти). Т. о. - тригонометрическая форма. z 1  2 cos  i sin  4   4 - показательная форма.  i 4 2 e z 1  2) z 2   2 3 2 i  Т.к. x  Re z 2   2 3 y  Im z  2 2 ,то модуль к.ч z  2  ( 2 3) 2 2  2  12 4   16  4 , аргумент     arctg 2  2 3    arctg 1 3     6  5 6             (т.к. точка лежит во второй координатной четверти). - тригонометрическая форма z 2  4 cos  5 6  i sin  5  6 - показательная форма.  5 i 6 z 2  4 e r 3) z3= 1 – 7i. Re z 3  1 y  Im z 3  7  x = z  3 2 1   ( 7) 2   1 49  50  5 2 ,  7 1  arctg   arctg7  (т.к. точка лежит в четвертой координатной четверти). Показательная форма:  5 2 e i arctg7 z 3 Тригонометрическая форма: sin( arctg7)) 5 2 cos arctg7     i sin arctg7 .  z 3  5 2(cos( arctg7)   i 4) 4z i  x  Re z 4  0 y  Im z   1 4 (см. рис.) r=1;   2     z 4  cos    2  i sin    2  cos  2  i sin  2 - показательная форма.  i 2  4 e z Пример: Пусть z 1   2 2 i  2 2 cos      4  i sin     4 z 2   3   i  2 cos  5 6  sin   5 6 i  5 6  2 e ,  i  4  2 2 e  . Тогда z 1  z 2  2 2 e  i  4 i  5 6  2 e i    5  4 6  4 2 e i  7 12  4 2 e  4  i 2 e   5    4 6  2 e  i  13 12 i  11 12  2 e ; z 1 z 2   i 2 2 e  5 i 6 2 e 8 z 1  2 2 e 8  i  4    2 2  i  8 4 e 8   12 2 e  i  2  12 2  e  i 0  12 2 ; ; 5 z 2  i  5 6 5 2 e i  5 2  e   5  2 k 6 5 5  2 i  e   2 k  6 5    k , k  0, 4                               0  5 i 2 e i  1  5 2 e  6 5    2  6 5  i   4  6 5   2  5 2 e i   6  6 5   3  5 2 e i    8  6 5  4  5 2 e  2 cos30   i  sin 30 ,  5  5  5 5    2 cos102  2 cos174  2 cos 246  2 cos318    sin102 ,  sin174 ,  sin 246 ,  sin 318 ,       i i   i   i Числа      4 , , , , 0 1 2 3 являются вершинами правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса . 5 2 Выполните самостоятельно: 1. Представить Z в алгебраической форме: 1)  2)  3)  , e  2 i ,  3   12 i i 2  e .  373 i  e  i i 2 2. Представить в показательной форме комплексное числа: 1)  2)  ,  12  i2  cos  7 i sin .  7                                 3.   Записать   в   показательной   и   алгебраической   формах комплексное число: 1)  2)    i i 62.045 e e   , cos     5 12  i  5sin 12    ,  3      1 2  i 12 e     3)    , 6 3 i 4)  5)  ,   cos 12 0 1 i sin 12 0  5 .  7 i 3  e  i  13  i  4. Записать в показательной форме все значения : n  1)  2)  3)  4)  , ,1  3 n ,  ,1  5 n  4 ,48 ni  3 ,  1  ,3 ni  4 .