ЛЕКЦИЯ ПО ТЕМЕ «ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ» (2 занятие)

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕМЕ «ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ» Занятие №2 1. Сопряженные комплексные числа. 2. Геометрическая интерпретация комплексного числа. 3. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.  Определение 1: два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью. Пример: 25+3i и 25-3i - сопряженные комплексные числа -6+i и -i-6 - сопряженные комплексные числа 8,2-i и -i+8,2 - не сопряженные комплексные числа Задания. 1. Найдите число, сопряженное данному: 5-17,7i; 5-7i; 33i+12; 6i; -8-63i; 11i 2. Найдите сумму числа z+z и ему сопряженное, если z=113,75+21i 3. Найдите число сопряженное сопряженному, если z=39+i 4. Найдите произведение z*z и число ему сопряженное, если z=11-i. Примечание: 1. Если данное комплексное число обозначается буквой z, то сопряженное число обозначается , т.е.  x yi z z x yi z2. Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они) равны своим сопряженным числам. 3. Числа a + bi и a - bi называются взаимно сопряженными комплексными числами. Определение 2: частным от деления двух комплексных чисел называют такое комплексное число, которое, будучи умножено на делитель, даёт в произведении делимое .  z 1 z*z 2 3  z 3 z z 1 2 Примечание: для выполнения деления, произведем дополнительное действие - умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю. Задания. 1. Выполните деление: 2.  3i 7i (2  (5  (2+3i)/(5-7i); 5/(3+2i); (1-i)/(1+i); (6-7i)/i; 11 21.    74 5  10 i13 11  74 10i 15  13 7i) 7i) 29i 2 21i 2     29 i74 (5*3i)  (5*7i)  52. 3 2i  i13.  i1   10  14i  25  15i  49i 2 (3*5 2i)  (3 (3*2i)      i1i1      i1i1     15  49  2i 2 2i) 12i1   11     i     7  7i  i 64. i1  (22i1  3i1   2i1  . 7 (6 i)(*7i) 6i 6i 7i 2     6i   1 i)(*i i 2 2i   i2i2 1i2i2 2 2     i)      2i1 2i1 i1 i1     )23i 2(1 2i) 3i)(1 (14i2 i3i i) (1      22i i)(1 (1 2i) 2i i1    6i2 3i) 12(   2;  3i1 1( 3i)   2  i1  2  i1  3i3i14i2  22i i1  3. Выполните деление: А) ; Б) ; В) ; Г) i 53  i 62  i 5 i 23  i 2 i   5 ; Д) ; Ж) ; Е) i 3  i 5 i 23  i 51  i 32  i 25  . i 73  i 23  4. Выполните действия: а) ; б)  i 23  i 23  i 25  i 23  ( )i ( )i 32 75    i 32  Решение: 6 32i 18 23i 5i 2 7i 6 2 3i 2i              )â 3 37i 2 25i 7i 2 5i 3 5i 7i             17 429 48i 116 4 48i 1747 4i 4i          47 29*47 29 1580 683 i  1363 1363    ; в) ;  i 32  i 52  i 26  i 73  2  42i 6i  42 3  1392i 799   1363 10i 6i 14   25 4  188i 683   1363 15  1580i  г) i  26  i 1  ; д) 27 i ; е) 12 123 i   1  6  i   1  8 i . 1  1     i i 12    1  1     i i    Решение:  1    1  12    12    i i   1     1  0  i    *1 i  * i i ä 1)   1    i i 12        12 i  2 2 i Пример: i i   1   1 12      i i 12      1    i 1  1    1  12       1  1 i i     i i 12     i 21    11  1 12      11   21 i    12    1  1 12 i 2110  1 i(  Комплексное число z=a+bi можно изобразить точкой М плоскости с координатами (a, b) или (x,y) аффикс). Для этого выберем на плоскости декартову систему координат.Действительные числа изображаются точками оси абсцисс. Чисто мнимые числа, т.е. числа вида bi (b0), изображаются точками оси ординат. способ другой Существует геометрической интерпретации комплексных чисел: «Каждой точке плоскости с координатами (а, b) соответствует один и только один вектор с началом О(0, 0) и концом М(a, b)». Поэтому комплексное число z=a+bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке О(0, 0) и концом в точке М(a, b) или М(z). Очевидно, что при таком изображении сопряженные комплексные числа изображаются точками, симметричными относительно оси абсцисс. Задания. 1.Изобразите на координатной плоскости следующие числа  в виде точек плоскости;  при помощи векторов; z1=5, z2=-3i, z3=3+2i, z4=5-2i, z5=-3+2i, z6=-4-5i.  Рассмотрим теперь решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом. Задания. 1.Решить уравнение 2-6x+13=0 Решение: D=b2-4ac=(-6)2-4113=36-52=-16 = D = 16 16  )(* 1 =4i 1,2=(-b )/2a D 1=(6-4i)/2=2(3-2i)/2=3-2i, 2=(6+4i)/2=2(3+2i)/2=3+2iТаким образом, получаем, что если D<0 , то уравнение всегда имеет два решения в комплексных числах. 2.Решить квадратные уравнения:  х2-4х+13=0;  х2+3х+4=0;  2,5х2+х+1=0;  4х2-20х+26=0. , если 3z 3. Вычислить . 1 i z  3 z  1(  3 i )  1  i 3 ) 1(   31 i 1  3 i 2  3 i   1  22 i   22 i  2 )2(  )2(  2 .   25.0  i 22 8 обратное числу z =3-i. i 25.0  4. Вычислить число 1z z  1 1 z 1  3 i  3(  3 i  i 3)(  i )  3 2 3   i 2 1  i  3 10  1.03.0 i . Выполните самостоятельно: 1. Найдите мнимую часть Z, если: Z  2(  2( 11 i ). ) i 3 Z   32 i  41 i  6i . Z  25 i 52 i     43 i  34 i  1 i . 2. Выполните действия: i .20    i i 19 18 i 17(2 i  1 2 3 2 i  () 1 2 3 2 i ). 1 1   i i  1 1   i i .  12 i 13  i 8 6  2 )21( i i   2 . )21( i )23( i   2 3   1( 2(   ) i i ) 3 . 2 7(  2() i i )   ()53(  i i ). i 3(  i )   1()32(  i i ).  53 i  2 i   10 i  i 1 .