Лекция по теме "Постоянные и переменные величины, функциональная зависимость основные элементарные функции и их характеристики, элементарные преобразования графиков функций" по дисциплине ЕН.01 "Математика программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 26.02.02 Судостроение (второй курс, третий семестр)

Лекция № 1. «ПОСТОЧЯННЫЕ И ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ» (2 часа) Содержание. 1. Введение. История развития понятия «функция» 2. Постоянные и переменные величины. Функциональная зависимость. 3. Основные элементарные функции и их характеристики. 4. Элементарные преобразования графиков функции Цели: обобщение и систематизация знаний студентов о числовых функциях (область определения, область значений, возрастание, убывание, чётные и нечётные функции); рассмотреть основные элементарные функции и способы построения с их помощью графиков более сложных функций; развитие логического мышления и математической культуры студентов. Функция одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности. Её содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для вычисления площади или объёма тех или иных тел. Так вавилонские учёные (4 -5 тысяч лет назад) пусть и не сознательно, установи, что площадь круга является функцией его радиуса, приводя груб приближенную формулу S =3R2. Примером табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индейцев, а примерами словесного задания функции - теорема об отношении площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причём эти самые кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости. Начиная с 17 века в связи с проникновением в математику идеи переменных понятие функции явно и вполне сознательно применяется. 1 Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские учё1ные Франсуа Виет и Рене Декарт. Они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое буквенное обозначение; неизвестных - последними буквами латинского алфавита x, y, z, известные - начальными буквами латинского алфавита: a, b, c, d, … Тем самым появилась возможность записывать формулы. Кроме того у Декарта и Ферма в геометрических работах появилось отчётливое представление переменной величины. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции как изменение ординаты точки в зависимости от изменения её абсциссы. Он систематически рассматривал только те кривые, которые точно можно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться , с понятием алгебраического выражения - формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (он называл её «флюентной»). Само слово «функция» (от латинского functio - совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673 году в письме Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определённому закону),в печати он его ввёл с 1694 года. Начиная с 1698 год, Лейбниц ввёл также термины «переменная» и «константа». В 18 веке появился новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Эта так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иогонн Бернулли (1667-1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной и постоянных Многие математики на протяжении многих сотен лет давали различные определения понятия функции. В  математике,   как   и   в  жизни,    объекты     могут     чему­то   соответствовать     или   не соответствовать.     Находиться   между   собой     в     определённых     отношениях   или наоборот  ­  не находится. То   есть   между   множествами     могут   устанавливаться   СООТВЕТСТВИЯ     и ОТНОШЕНИЯ.  Более того  множества  могут  ОТОБРАЖАТЬСЯ  друг  в друга  и даже  в самих себя. 2 Например,  человек может соответствовать профессии,  зарплата  соответствовать должности,   наказание  ­  преступлению,   оценка  ­   знаниям. Глядя на многочисленные примеры   вокруг,   мы   замечаем,   что для определения конкретного  соответствия  надо  определить  два  множества:  множество (область) определения     и     множество     (область)     значений.   А   также     определить   «пары соответствий».  Например,  область  определения  ­  группа  студентов  СКМ  114­ф, сдающая  экзамен;  область  значений  оценки  отлично,  хорошо,  удовлетворительно, неудовлетворительно.     Дурнев   – неудовлетворительно,    Родин – удовлетворительно, Белянский   ­  не явился.   Вот и готово соответствие   Область  определения: группа   студентов  СКМ  114­ф, Область значений: оценки   отлично,  хорошо,   удовлетворительно,  неудовлетворительно., не явился    И   множество   пар       Георгица   –   хорошо,      Соответствия обладают свойствами. 1 Соответствие может быть  НЕ ВСЮДУ  ОПРЕДЕЛЕННОЕ.  Если  бы в множестве значений  не  было бы  элемента  «не явился»,  то  Белянскому  не было бы  пары. Если бы деканат  своевременно  не  включил  Белянского в ведомость для  сдачи экзамена,  как  отчисленного  за прогулы,  то  это соответствие  было бы  ВСЮДУ ОПРЕДЕЛЕНОЕ.  2 Соответствие   ФУНКЦИОНАЛЬНО, поскольку каждому студенту   соответствует не     более     одной     оценки.   Такое   соответствие   называется     по   простому     ­ ФУНКЦИЕЙ. Если бы  за  один  экзамен студент  мог получить  две  оценки,   то соответствие  было бы  НЕФУНКЦИОНАЛЬНЫМ. В математике,  как и в жизни,  различные  объекты  могут иметь какое­ то отношение  к другим объектам  или не  иметь.  Родственные  отношения,  дружественные  отношения, дипломатические  отношения,  равноправные  отношения.  Глядя  на  на многочисленные примеры вокруг,  можно заметить,  что  отношения  отличаются  от  соответствий  тем, что определяются  на  одном  множестве. Бессмысленно  говорить  от  отношениях  между студентами  и  оценками  на  экзамене.  О родственных,  дипломатических  или других отношениях     между     должностью     и   зарплатой.     Для     определения     конкретного отношения  надо  определить  множество,  и  пары  для  которых  имеет  место  данное отношение.                                                                                                   Множество – семья: отец, мать, сын, дочь. Отношение - близкие родственники Пример   2.     Множество   ­ людей;   отношение   «БЫТЬ   БРАТОМ»,       отношение «УЧИТЬСЯ   В   ОДНОЙ     ГРУППЕ»,     отношение     «БЫТЬ   ГРАЖДАНАМИ   ОДНОЙ СТРАНЫ»  и т. д. 3 Вернёмся к функциональному  соответствию (к функции).  Если это соответствие к тому же  ещё  всюду  определено,  то  оно  называется  ОТОБРАЖЕНИЕМ. Если  отобразить  множество  студентов  в группе,   на  множество  фамилий  в  группе, то  это  будет  отображение  множества  студентов на множество  фамилий  ( справедливо и обратное  отношение:  множество  фамилий  на множество  студентов)      Множество студентов в группе Множество фамилий в группе Если  отобразить  множество студентов  группы  на  множество  студентов   университета,  то  говорят,  что имеет место  отображение  множества студентов  группы   на  множество  студентов  университета  (обратное  не  имеет  места,  так  как  во   множестве  студентов  университета  останутся не задействованные  фамилии).   ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ. Числовой  функцией  с  областью определения  D  называется  зависимость,  при которой     каждому     числу     х     из     области       D     ставится     в     соответствие единственное  число  y. Термин  «ФУНКЦИЯ»  был впервые использован  Лейбницем  (1692 г).  Более полное определение функции  было  дано  русским  математиком  Лобачевским Функция (отображение,  операция)  это  закон (правило,  соответствие)  согласно которому,  каждому  элементу  x   из  множества X  (область  определения функции) ставится в  соответствие  единственный  элемент   y   из  множества  Y   (область значений  функции) Обозначают  функцию   латинскими  буквами:   f(x),  g(x),  v(x),  h(x),   u(x).    Областью определения функции  f(x)  называется  множество значений, которые может принимать  аргумент х.   Обозначают  D(f). Областью значений  функции  f(x)  называется  множество,  состоящее из всех чисел f(x),   где  х принадлежит  области определения. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ. Говорят, что функция f(x)  задана  на  множестве Х,  если   функция  f(x)   отображает множество  Х  на  множество  Y. 1 С   помощью     формулы.     Если   нет   никаких   дополнительных     ограничений,     то областью  определения  является  всё множество  чисел,  при которых   формула имеет   смысл.   Например,     функция   задана   формулой   y  =   √x    +   1,   то   её область  определения  всё  множество  неорицательных  чисел:  x  ≥0,или   D(f) = 0;+∞ ,  а область значений  функции  y ≥1    или  E(y) =  [1+∞¿ . [¿ 2 С помощью  графика 3 С помощью  таблицы 4 Описанием  ( пример рассмотренный в начале лекции) ГРАФИК  ФУНКЦИИ 4 Графиком     функции     f(x)     называется     множество   всех   точек     координатной плоскости  с  координатами  (х; f(x)),  где  первая  координата  х  «пробегает»  все всю  область определения  функции,  а  вторая  координата   это  соответствующие значения  функции в  точке  х.     2 y =       ­ квадратичная  ( парабола) 1 y =  x2 1 x      ­ обратная пропорциональность  (  гипербола) [x] {x}       ­  целая часть числа 3 y =  4 y =        ­  дробная  часть  числа 5   y = x     ­  линейная  (прямая линия) 6 Y =  |x|    (ломаная) 7  Y = kx + b     ­   линейная   (прямая линия) Функция   ОБЗОР СВОЙСТВ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ. (фронтальная беседа по таблице) Возрастан ие, убывание График D(y) E(Y) Чётност ь, нечётно сть Линейная y =kx+b - b Y k b b=0 Y k> 0 b X X- b k Y X k=0 Y X Ни чётная ни нечётна я Возрастае т Убывает нечётна я чётная Возрастае т или убывает в зависимос ти от к R R 5 b k>0 Y b X X X X X Обратная пропорци нальность о – Y = k x y =  x2   ­   квадратична я [x] y =      ­   целая часть  числа y = x  ­   линейная   (прямая  линия) y =  |x|    ­   k<0 Y Y Y Y Y Постоянна я Убывает на каждом из промежут ков (- ∞;0¿ и (0; + ∞ ) Возрастае т на каждом из промежут ков (- ∞;0¿ и (0; + ∞ ) Убывает – (- ∞ ; 0); Возрастае т - (0; ∞ ) X ≠ 0 X ≠ 0 нечётна я (- ∞ ; ∞ ) [0; ∞¿ чётная (- ∞ ; ∞ ) Х ∈ Z Общ. вида Const. (- ∞ ; ∞ ) (- ∞ ; ∞ ) нечётна я возрастае т (- ∞ ; [0; ∞¿ чётная Убывает – (- ∞ ; 0); 6 X (ломаная) ∞ ) Возрастае т - (0; ∞ ) {x}       ­ y =  дробная   часть  числа (- ∞ ; ∞ ) [0; 1 ¿ Общ. вида Возрастае т Y X Построение графиков функций с помощью геометрических   преобразований. Построить графики более сложных функций можно с помощью геометрических преобразований графиков элементарных функций. № Вид функции Преобразование СДВИГ ПО ОСЯМ КООРДИНАТ 1. y = f(x + a) y= f(x) + а График функции y= f(x) перенести на вектор (-а; 0) по оси ОХ: Алгоритм построения: 1. Строим график элементарной функции y= f(x) 2. Строим график y= f(x + а) - переносим график элементарной функции по оси Ох влево на а единиц. Строим график функции y= f(x - а) - переносим график элементарной функции по оси Ох на а единиц вправо. График функции y= f(x) перенести на вектор (0; а) по оси Оy: Алгоритм построения: 7 1 СЖАТИЕ ИЛИ РАСТЯЖЕНИЕ ПО ОСЯМ КООРДИНАТ y = f(kx) k> 0 1. Строим график элементарной функции y= f(x) 2. Строим график y= f(x) + а - переносим график элементарной функции по оси Оy вверх на а единиц. Строим график функции y= f(x) - а - переносим график элементарной функции по оси Оy на а единиц вниз. Если k> 0, то сжать график функции y = f(x) до точки О (0; 0) вдоль оси абсцисс в k раз. Если 0 0, то растянуть график функции y = f(x) от точки О (0; 0) вдоль оси ординат в k раз. Если 0