Лекция по теме "Схема Бернулли"

Лекция  № 3. Тема. Схема Бернулли Цель:  сформировать представление о независимых событиях;   усвоить формулу Бернулли;   развить воображение, сообразительность, познавательный интерес;  воспитать   логическое   мышление,   внимание,   словесно­логическую память. Структура занятия. 1. Организационный момент. 3. Повторение и систематизация материала. 4. Закрепление знаний. 5. Подведение итогов занятия. 6. Домашнее задание. Литература: 1. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике:  Учеб.пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1987. – 303с.: ил.  2. Бычков А. Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической  статистики и методам оптимизации: учебное пособие. – М.: ФОРУМ.  2008. – 224с.: ил. – («Профессиональное образование»)  3. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней  школы: Учеб.пособие. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред.  физ.–мат. лит., 1989. – 576 с.: ил. 4. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: Учеб. для  студ. сред. спец. учеб. заведений. – 3­е изд., испр. –М.: Высш. шк..,  2001.­ 336 с.: ил. 5. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и  математическая статистика: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА – М,  2003. – 240 с.: ил. – (Серия «Профессиональное образование») 1 Ход занятия 1.       Организационный момент. Сообщение темы и цели занятия 2. Актуализация знаний студентов. Фронтальный опрос. 3. Изучение нового материала. План: 1. Схема Бернулли. Формула Бернулли 2. Предельные теоремы для схемы Бернулли Схема Бернулли. Формула Бернулли Пусть производится n независимых однотипных испытаний, в каждом из которых событие   А   может   появиться   с   вероятностью   Р.   Тогда   вероятность   непоявления события А, т.е. Р( ) равна  q=1­p.  А Вероятность того, что событие А произойдет в этих nнезависимых испытаниях ровно k раз,  можно вычислить по формуле Бернулли kP ( n ) C k n k  p  q kn  Для определения вероятности появления события A менее m раз (k < m), более m раз (k > m), хотя бы один раз ( 1k ) и т. п. могут быть использованы формулы: PmkP n n      0  P n   1  ...  mP n  1 , mPmkP n  n      1  mP n  ... 2  , nP n   kP n  1  1 n q . Пример:  Прибор   состоит   из   пяти   узлов.   Надежность   (вероятность   безотказной работы в течение времени  t  ) для каждого узла равна 0,9. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время t откажут ровно два узла. Решение: Рассмотрим событие А ­ выход узла из строя за время t. Число узлов n=5. Число отказавших узлов за время t: k=2.   Р(А)  ­ вероятность выхода узла из строя: p=P(A)=0,1. Тогда q=1­p=1­0,1=0,9. 2 Теперь вычислим искомую вероятность по формуле Бернулли:  Р5(2) = (0,1)2.(0,9)3=10.0,01.0,729=0,0729. 2 5С Пример . Всхожесть семян данного растения равна 90 %. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех. Решение а) Искомую   вероятность   находим   с   помощью   формулы   Бернулли   (14), учитывая что  ,  4n 3k ,  9,0p ,  q  p 1 1,0 .   3 P 4 C  3 4 9,0 3    1,0 1  ,04 729  ,01,0 2916 . б) «Не   менее   трех»   означает,   что   из   четырех   семян   взойдут   или   три,   или четыре.   Так   как   эти   события   несовместны,   то   по   теореме   сложения   искомая вероятность равна  kP 4   3   3 P 4  P 4   4  C 3 4  3    1,0 1 9,0  C 4 4  4    1,0 0 9,0  ,0 2916  ,0 6561  ,0 9477 . Предельные теоремы для схемы Бернулли Теорема Пуассона. (Отметим, что на практике эта теорема применяется при   Это означает, что  p  должно быть очень малым числом). Пусть имеется  n .10n независимых   испытаний   с   вероятностью   р   успеха   в   одном   испытании   и  q­ вероятностью   неудачи.   Тогда   для   любого   фиксированного  m  справедливо соотношение , где  ,np m P n  e   m m ! Пример.Машинистка печатает текст, который содержит 20000 знаков. Каждый знак может   быть   напечатан   неправильно   с   вероятностью  0.0004.   Какова   вероятность того, что в тексте не менее 3 опечаток? Решение.  Если   опечатку   считать   успехом,   то   к   этой   задаче   применима   схема Бернулли   при  p=0.0004,  n=20000.   Поскольку   =λ np=8,   то   можно   использовать 0­  Pn 1­ предельную   теорему   Пуассона.   Поэтому,   искомая   вероятность   равна  1­Pn Pn 2=1­e­8­ 8 e­8­(64/2) e­8= 1­41 e­8=0.986. Пример.Монета бросается 100 раз. Найти приближенно вероятность того, что герб выпадет 40 раз. (Воспользоваться таблицей ) 3 Решение.Если считать успехом выпадение герба, то вероятность успеха равна 1/2. Поэтому используя предельную локальную теорему Муавра­Лапласа, получим ) AP (  1  2 npq  exp{ 2 x 2 }  1 5 1  2  exp{ 2 x 2 } , где  m x   np npq 40  2/  100 100 4/  .2 Таким образом, используя таблицы для плотности нормального распределения, получим P(A)=0.0108. Интегральная теорема Муавра­Лапласа. Пусть имеется  n  независимых   ­ испытаний с вероятностью успеха  p,   , в одном испытании и   0  p 1 q 1 p вероятностью   неудачи.   Величина   p не   зависит   от  n.   Тогда   .для   любых вещественных чисел a500). Поскольку n=1000 можно считать достаточно большим, то  применим интегральную теорему Муавра­ Лапласа, согласно которой P(A)=P( (  npm npq 500  512  250 4. Закрепление знаний.  1) 757.0(  1(1)  757.0( )  757.0( )  .775.0 Пример.В   урне   20   белых   и   10   черных   шаров.   Вынули   4   шара,   причем   каждый вынутый  шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне 4 перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых. Решение:    СобытиеА – достали белый шар. Тогда вероятности  ,   . ( AP ) ( AP ) 2 3 1 3 По формуле Бернулли требуемая вероятность . P 4 )2( C   2 4 2 3    2    1 3 2    8 27 Пример.Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 деталей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми. Решение:     Вероятность рождения девочки  , тогда  . 1p 2 1q 2 Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:  qpC 1 1 5 , 4  5 32 P 5 )0( 5 q ,    1 32 P 5 )2(  qpC 2 2 5 3  10 32 P 5 )1( ,   P 5 )3(  qpC 3 3 5 . 2  10 32 Следовательно, искомая вероятность   PP 5  )0(  P 5 )1(  P 5 )2(  P 5 )3( .  13 16 Пример.Вероятность   поражения   цели   при   одном   выстреле   равна   0,8.   Найти вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена 70 раз. Решение:      Из условия следует, что   ,   100n 8,0p , поэтому   2,0q ;   . 70k Поскольку  16 npq 10 , то можно воспользоваться формулой. . 70  x  8,0 100 16  5,2 5 По   таблице   приложения 1   находим      5,2      5,2   70  P 100 ,0 0175 4  ,0 0044 . .   Поэтому  ,0 0175   Вероятность   поражения   цели   при   одном   выстреле   равна   0,8.   Найти Пример.   вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена от 75 до 90 раз. Решение:     Используем интегральную теорему Лапласа. В нашем случае  , 100n 8,0p ,  2,0q ,  1 k 75 ,   . 2 k 90 75  x 1  8,0 100 16 ,   25,1 x 2 . 90   8,0 100 16  5,2 По таблице приложения 1 находим  ,     x    25,1  25,1 3944   ,0   x   1     5,2 2  ,0 4938 .   Поэтому   P 100 90;75    x     2  x 1  ,0 4938  ,0 3944  ,0 8882 . Пример.Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого.   Вероятность   отказа   любого   элемента   в   течении   времениТ  равна   0,002. Найти вероятность того, что за времяТ откажут ровно три элемента. РешениеN=1000,   p=0,002,   λ=np=2,   k=3. Искомая вероятность    . P 1000 )3(   3  !3 e  3 2 2 e 2  18,0 Пример.Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий. Решениеn=500,  p=0,004,  λ=2. По теореме сложения вероятностей PP  500 )0(  P 500 )1(  P 500 )2(   e 2  2 e  2 !1 4 !2  2 e  5 e  2  68,0 . 6 Пример.Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок. Решение  λ=np=1000∙0,003=3 P 1000  1)2  1)2   P 1000 P 1000 P 1000 )1( )2( ( k ( k  P 1000 )0(    1  e  3  3 e  3  5,4 e  3   ,0 5678 5. Подведение итогов занятия. 1. Что такое случайное событие?. 2. Дайте классическое определение вероятности. 3. Сформулируйте теорему умножения вероятностей. 4. Сформулируйте теорему сложения вероятностей. 5. Как найти вероятность противоположного события? . 7