ЛЕКЦИЯ ПО ТЕМЕ «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ»

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕМЕ «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ» Занятие №3 1. Тригонометрическая форма комплексного числа. 2. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Пусть комплексное число z=a+bi изображено в виде вектора r с началом О(0, 0) и концом М(a, b). Вектор ОМ можно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и углом , который он образуется с положительным направлением оси абсцисс. При этом a=rcos, b=rsin, а число z принимает вид называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают  z . Число  называют аргументом z и обозначают Arg z. z=r(cos+isin), который Определение 1: модулем комплексного числа z=a+bi называется длина вектора z, которую можно вычислить по формуле  z = . 2 ba  2Обозначим модуль комплексного числа буквой r= z  = . 2 ba  2 Определение 2: аргументом комплексного числа z=a+bi называется угол , который образует вектор z с положительным направлением оси абсцисс, отсчитываемый против часовой стрелки. Т.к cos, sin - функции периодические с периодом 2, то =+2k, где k- целое число. Главным значением аргумента называется  arg z  или z   2 аргумент, соответствующий условиям: 0 arg  .    arg z   Очевидно,   Argz  arg z   2 , k k ; Z argtg y x для внутренних точек I и IV четверти  zдля внутренних точек II четверти arctg arg y x       arctg y x для внутренних точек III четверти Из этих соотношений видим, что cos=a/r, sin =b/r, тогда z=a+bi=rcos+ irsin=r(cos +isin )-тригонометрическая форма комплексного числа. Правило перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической:       1) находят модуль комплексного числа по формуле ; r  2 ba  2 2) находят 0 по формуле 0 ArcTg ; y x 3) для нахождения  сначала определяют геометрически, в какой четверти находится точка z; 4) записывают комплексное число z в тригонометрической форме. Пример: представить с тригонометрической форме .  i число z  3 Решение: 1) zArg  z ( 2 )3 2  13 1 ; 2 2)  0  ArcTg y x  ArcTg 1  3  ArcTg 1 3   6 3) z 2-ой четверти, следовательно, 4) z    2  Cos  5 6  iSin  5 6    ;    0  5 6 6 Пример: Представьте в тригонометрической форме комплексные числа z 1  1  zi , 2  ,2 z 3  zi , 4  43 i .Решение: Так как  1  arctg y x   arctg   1 1   arctg 1 z )1( 1 , a 2  )1( 2  2     4 то ,  3 4  i sin(  .  3 )) 4 z 1   2 (cos(  3 ) 4 Так как z )2( 2 , a 2 (по изображению  2 2  0 2 числа на плоскости), то z 2  (cos 2  i  sin  ) . Учитывая, что - один из аргументов , получаем 3z   3  2 , a z 3 2 0  1 2 1 z 3  cos  2  i sin .  2 В связи с тем что z )3( 4 2  5 4 2 , а  4  arctg y x   arctg 4 3    ,2 21424 рад  126 o 25 , получаем z 4  5 (cos(   arctg )  i sin(   arctg 4 3 4 3 )) или  5 (cos o 126 25  i sin o 126  )25 z 4 . Задания. 1. Записать каждое комплексное число в тригонометрической форме: z=1+i; z=-2+2 3 i; z= -3i; z=5; z=6i Решение: z=1+i 1) a=1, b=1, r=  z = ; 11 2 2  2 3) cos= ; sin= 1  2 2 2 1 2  2 2  =/4; 4) z=1+i= 2 (cos/4+isin/4). Решение: z=-2+2 i 3 1) а=-2, b=2 ; r= 3 )2(  2  2 )32(  16  4 ; 3) cos =-1/2; sin =2 /4= 3 3 /2  =2/3; 4) z=-2+2 3 i=4(cos 2/3+isin 2/3).  Определение 3: при умножении двух комплексных числе z1=r1(Cos1+iSin1) и z2=r2(Cos2+iSin2), заданных втригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются z1z2=r1r2(Cos(1+2)+iSin(1+2)), т.е. ,rr|zz| 21  21 )zzarg( 21   2 1 . Определение 4: при делении двух комплексных чисел z1=r1(Cos1+iSin1) и z2=r2(Cos2+iSin2), заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются z z 1 2  1 r r 2  (Cos  2  1 )  ( iSin  2  1 т.е. r|z z|  1 1  arg,r   2 2 z z 1 2    , ) .  2   1 Определение 5: при возведении комплексного числа в степень, заданного в тригонометрической форме, модуль числа нужно возвести в п-ю степень (где n - натуральное число большее или равное 2), а аргумент умножить на число п zп=rп (Cos(п)+ iSin(п)), т.е. ,r|z| g  п . п)zarg(  g Примечание: 1) данная формула называется формулой Муавра; 2) корень п-ой степени из комплексного числа z имеет ровно п значений, которые находятся по формулеn z  ,  n n   r   Cos iSin  Cos (r  k 2   n k 2     n  где k может принимать n значений: 0, 1, 2, 3, …, n-1. Примечание: 1) корни из единицы: iSin  2) в частности Пример: Найти произведение чисел z 1  2 (cos  11 4  i sin  11 ) 4 и z 2  8 (cos  3 8  i sin .  3 ) 8 Решение: Так как z 1  ,2 z 2  8 , то . z 1 z 2 16  4 Аргументом произведения будет сумма 1 zz  2   2 1  11 3 4 8  .   25 8Следовательно, z 1  z 2 4 cos(  25 8  i sin  25 ) 8 или z 1  z 4 2 cos(  9 8  i sin .  9 ) 8  i sin cos Пример:      3 2        2 4   Задания.  2  4 cos  i sin  3 2    cos     4 2     i sin     2 4          5,1  cos  4  i sin  4    1. Даны два комплексных числа z1=3(Cos3300+iSin3300) и z2=2(Cos600+iSin600). Найти: a. z1z2; b. z1/z2; c. z2 4; d. . 3 1z Решение а) z1z2=3*2[Cos(3300+600)+iSin(3300+600)]=6(Cos3900+iSin39 00)=6(cos300+iSin300)= +3i; =6( /2+i1/2)=3 3 3 z1/z2=3/2*[Cos(3300-600)+iSin(3300- b) 600)]=1,5(Cos2700+Sin2700)=1,5(0+i(-1))=-1,5i; c) z2 4=24[Cos(600*4)+iSin(600*4)]=16(Cos2400+iSin2400)=16(- /2))= 1/2+i(- =-8-8 3 i; 3d) 3 z 1 3  330 0 Cos ( 3 0 k 360  3  330 0 iSin ), 0 k 360  3 принимая за k значения 0, 1, 2, получим если k=0, то ; )110 0 z )1( 1 Cos (3 110  0 iSin 3  если k=1, то если k=2, то 3  3  ( Cos 3 230 0 ( Cos 3 350 0   ; ) 230 0 iSin . ) 350 0 iSin 2 z )( 1 3 z )( 1 2. Даны два комплексных числа z1=3(Cos5/4+iSin5/4) и z2=5(Cos/2+isin/2). Найти: b. z1z2; b. z1/z2; c. z2 5; d. . 1z 3. Найти произведение комплексных чисел z1 и z2: a) b) c) d) z1=2(Cos5/6+iSin5/6); z2=0,4(Cos/2+iSin/2); z2=3(Cos1800+iSin1800); z1=(Cos450+iSin450) z1=0,6(Cos2/3+iSin2/3) z2=5(Cos5/6+iSin5/6); z1=2,4(Cos+iSin) z2=0,5(Cos5/4+iSin5/4). 4. Найдите частное комплексных чисел z1 и z2: и и и a) z1=0,6(Cos1200+iSin1200) и z2=3(Cos2400+iSin2400); b) z1=3(Cos2250+iSin2250) и z2=5(Cos450+iSin450); c) z1=4(Cos/3+iSin/3) и z2=8(Cos/6+iSin/6); d) z1=0,6(Cos5/4+iSin5/4) и z2=0,2(Cos2+iSin2).5. Найти 3 z , если z=1-i, записав комплексное число предварительно в тригонометрической форме. 6. Найти z6, если z=- 3 +i, записав комплексное число предварительно в тригонометрической форме. 7. Вычислить z , записав комплексное число  4 16 предварительно в тригонометрической форме. 8. Произвести действия, предварительно записав комплексные числа в тригонометрической форме: а) Найти z1z2; z1/z2 если z1=1-i, z2=-2-2i. б) Найти z1z2; z1/z2 если z1=2 -2i, z2= 3 +i. 3 в) Найти z1z2; z1/z2 если z1=0,5-0,5 i, z2=0,5 3 -0,5i. 3 9. Найти z5, если z=3-2i; 10. Найти , если z=-27. 3 z 11. Найти 4 z , если z=-1. 12. Найти z3, если z=-5+5i. Пример:   3  3 1  1 cos   i sin   3    1  cos  k  2 3  i sin  k  2 3     cos  k  2 3  i sin k   2 k 3  , k = 0, 1, 2   0  cos  3  i sin  3  1 2 i 3 2 ,  1  cos   2 3  i sin   2 3  cos   i sin   01 1 ,  2  cos   4 3  i sin   4 3  cos  5 3  i sin  5 3 1  2 i 3 2 . Ответ: 13         1 2  1 2  i ,1  i 3 2 , 3 2 . Пример: Записать в тригонометрической форме комплексное число (cos  3 z   i sin  i  3()  3 1 .  i ) Решение: Число z  cos  3  i sin  3 имеет модуль, равный 1, и аргумент ; число z 2  3 i   1  3 имеет модуль 2 иаргумент   2  6 , число z 3 i 1 имеет модуль, равный и 2 аргумент   3 arctg  1 1 .    3 4 4 Поэтому , z  z 1 2  z z 3   21 2  2 а аргумент    1 2 3   3 4 3  6 Следовательно, z  2 (cos(  Пример: Вычислить. 3( i  i sin(   11 ) 12 . 9) .  11 12  .  11 )) 12 Решение: Пусть z  3 , тогда i z )3( 2  )1( 2  2 , откуда по формуле Муавра имеем 3(  9 i )  2 9 (cos (9   ) 6  i (9sin   )) 6 .  512 (cos  3 2  i sin  3 ) 2  512 i Пример: .Найти все значения: a) ; б) ; в) . i3 4 16 3 i Решение:а) запишем число Z=-16 в тригонометрической форме  16  16 cos Z  sin  i .  , где k=0,1,2,3. Согласно формуле получаем 4  16 k     2    2  cos 4 4  k   i  sin    2  4 4  k       Следовательно, 4  16 0     2 cos  4  i sin  4    2 i , 2 4  16 1     2 cos  3 4  i sin  3 4    2  i 2 4  16 2     2 cos  5 4  i sin  5 4    2  i 2 , , 4 16 3  2       7cos 4  i  7sin    4   2 i 2 . б) Модуль числа i равен единице, а аргумент равен ,  2 , где k=0,1,2. поэтому 3 i k    13  cos 2    k  3 6     i sin 2    k  3 6        Получаем 3 i 0     1 cos  6  i sin  6    3 2 i 1 2 ;3 i 1     1 cos  5 6  i sin  5 6    3 i 2     1 cos  3 2  i sin  3 2    i ;  i 1 2 3 2 . в) Пусть Z  3 i , тогда Z   3 2   2  1 ,  arctg .  1  6 3  По формуле имеем , где k=0,1. 3  i k 2       cos         6   2 k 2        i sin   6   2 k 2                   2    cos      12    i sin      12       2 cos  12  sin2  12 i , 3  i 0 3  i 1  2  2     cos          cos          12     26    2    i sin        2  6  2            i  sin          12           2 cos  12  i sin  12     2 cos  12  sin2  12 i . Выполните самостоятельно:1. Представьте в тригонометрической и показательной формах комплексные числа: 1)  ,  3 i 2)  3)  4)  , 1  cos  12 i sin ,  12  1 cos ,  10 9 i  10 9 5)  . i 1tg 2.   Записать   комплексное   число   в   алгебраической   и   в тригонометрической формах: 1)   i    cos  cos  i sin  i sin  5 3  6 ,     5 3  6 2)    , 1 i sin  4 3 cos  4 3 3)   ,  1 i  2  14)     cos  5 12  13  12 cos i sin  i sin ,  5 12  13 12 5)   cos     3  i sin   i       1 2  3 i . 3 2    3.   Представить   в   тригонометрической   форме   комплексное число Z: 1)   2)   0  cos 5  cos 3 100 40 0 ,  i   0 sin i i sin 100 0 40  sin  2 5   i   1    i 1 . cos  2 5    4 . Записать комплексное число Z в алгебраической форме: 1)   2)   3)   , 12 i  2    3 2      cos 0 31  i sin 0 31 ,   10 ,   2 i  2 7 i  6 2   4)   .   1  1   9   7 i i 5. Записать комплексное число Z в тригонометрической форме: 1)    , 100 3 i 2)  3)  4)  5)  , 6     1 3 i  i  1      1  1     i i 2 n  1 2 n  1 , , Nn    2tg i  4 ,     sin  6 5  i   1   cos  6 5       . 5 6. Найти значения   если: n Z 1)  2)  3)  4)   ,1  3 n ,  ,8  3 ni , , ,1  5 n  8 , ni 1 .7 . Решить уравнения: 1)  2)  3)  4)  5)  , 3 i 1  014 5  1 , , i3 , 6  0 64 . 2  3