Метод интервалов. Открытый урок.

Открытый урок алгебры в 9 классе.  Тема: Решение рациональных неравенств методом  интервалов. Цель: уметь решать рациональные неравенства методом интервалов. Разобрать  обобщённый метод интервалов, который используется  при решении рациональных  неравенств. Развивать УУД учащихся и вырабатывать у них  графическую культуру. Этапы конструирования урока: 1. Определение темы учебного материала: Решение рациональных неравенств  методом интервалов  2. Определение дидактической цели темы: научиться решать рациональные  неравенства методом интервалов. Дать обобщённый метод интервалов при решении  рациональных неравенств  3. Определение типа урока: урок изучения и первичного закрепления новых  знаний,  проверки, оценки и коррекции знаний, умений и навыков учащихся.  4. Продумывание структуры урока:  Проверка д­з и индивидуальная работа (4 примера)  (3 мин). Повторение. Решение неравенств по рисунку. Устная работа (1задание).­ 2мин.  Подготовка учащихся к восприятию нового материала. Устная работа.  Задание 2 ­ 2мин.  Письменные упражнения на доске и в тетрадях (квадратный трёхчлен и  дробь) ­ 3мин.    и a . b – рассмотреть  знаки обоих выражений ­ 1мин..   Работа с графиками функций ­2мин.  Алгоритм метода интервалов ­2мин.  Система задач по применению обобщённого метода интервалов ­2мин.  Разбор примера по алгоритму.(1­2­3­по вариантам) ­3мин  Свойство двучлена (х­а)n Запись свойства ­2мин.   Рефлексия. Минутка занимательности. Логическое упражнение 1мин.  Рассмотрение контрпримеров на некоторые шаги алгоритма.1­2 примеры.  Закрепление. Разбор  примеров (устно). 1­2пример­ памятка 4мин..  3 мин. репродуктивно­воспроизводящая самостоятельная работа ­8мин.   Домашнее задание ­1мин.Заполнение методлистов.  Итог урока ­ 1мин.Выставление оценок. 5. Обеспеченность урока (таблица).  1 Карта обеспеченности урока Учитель Ученики Врем я: 40  мин. Раздел  (учебный  элемент) Рациональ ные неравенств а Материально­ техническое  оснащение  (количество  бумажных  источников и  компьютеров с  необходимым  программным  обеспечением):компь ютер­1 Учебников­36 Используе мые  бумажные  источники: Памятки­ 36 Алгоритмы ­36 «Числовые промежутк и»­36 Используе мые  электронн ые  ресурсы: презентаци я Используе мые  бумажные  источники: Методлист ы­36 Тетради  для с­р­36 Используе мые  электронн ые  ресурсы: Материалы Презентац ий уч­ся и  Интернета. 6.  Отбор содержания учебного материала. Метод интервалов при решении  рациональных неравенств; разбор сложных примеров по обобщенному методу интервалов. 7. Выбор методов обучения: частично­поисковый метод  с деятельностным подходом.        8. Выбор форм организации педагогической деятельности: обучение с использованием  технологической карты позволяет организовать эффективный учебный процесс,  обеспечить реализацию предметных, метапредметных и личностных умений (УУД),  существенно сократить время на подготовку учителя к уроку.   9. Оценка знаний, умений и навыков: интегративный контроль результатов учебной  деятельности. 10. Рефлексия. Минутка занимательности. Технологическую карту отличают: интерактивность, структурированность,  технологичность и обобщенность информации УУД, которые формируются в процессе изучения темы: 1. Личностные  В математике:  смыслообразование. 2. Регулятивные 2 В математике - планирование, прогнозирование, контроль, оценка, алгоритмизация  действий. 3. Познавательные.   В математике ­  познавательные: выбор наиболее эффективного способа решения  задач;  познавательно ­ логические:  сравнение алгоритм;   причинно­следственные связи: практические действия. 4. Коммуникативные. Способность учащихся осуществлять коммуникативную  деятельность, самостоятельная организация речевой деятельности в устной и письменной  форме. УУД.  В математике ­  использование средств языка и речи для получения  информации, участия в продуктивном диалоге, самовыражение, монологические  высказывания разного типа. Ход урока. I. Проверка д – з.: №130(а), №130(в), №132(а, в), №133(г). Решают на доске 4  ученика.Учебник С. М. Никольский…, 9 класс II. Повторение. Индивидуальные задания (на карточках): 4 ученика. П­1 (х­0,1)(х­0,3)>0 Ответ: (­0,2;­0,1) ∪ (0,3;+ ∞ ) П-2 (х+1)(х+3) х+2 ≤0 Ответ: (- −1;+∞ ∞;−3]∪[¿ П-3 |4х+1|≥5 Ответ: [−1,5;1] П-4 |3х−5|≥7 Ответ: (−∞;−2 3 ]∪[4;+∞) Вопросы для остальных: Какие неравенства являются рациональными? Что значит решить неравенство? Что называется решением неравенства? Что лежит в основе  метода интервалов? Если многочлен разложен на множители, что тогда является  решением неравенства? Устные упражнения. Метод интервалов  1. По рисунку найти решение неравенства: (х+3)(х­4)(2х+5) ¿ 0                    Пример 1. Решить неравенство (x + 3)(x ­ 4) (2x  + 5) < 0. III. Решение.      Ответ: 2. Подготовка к восприятию нового материала. Решить неравенства. 3 Рассматриваются примеры, которые позволяют сделать выводы относительно  выражений, которые не влияют на знак неравенства, но существенно влияют на решение неравенства                                                                        Вывод. В ходе решения учащихся нужно подвести к следующему выводу:      выражение, стоящее в четной степени, не влияет на знак неравенства, но влияет на  решение и «отбрасывать» его без дополнительных ограничений нельзя. IV. Упражнения, выполняемые в классе письменно. 1.  Решить неравенства:  x2 + 7x – 18  ≥  0;    x2 + 7x – 18  ≤  0, ответы  проверить. 2. Решить неравенство:  Делается акцент  на то, что выражение (x + 3) также не влияет на знак неравенства,  но не учитывать его нельзя, иначе решение будет неверным.  , на нуль делить нельзя, сократить хочется, а можно? и т. д. . Ответ:  Данные два случая (выражение в четной степени и выражение, на которое  произведено сокращение) отнесем к категории особых случаев, и это будет учтено  при описании алгоритма. Рассмотреть знак обоих выражений (устно) V. учащимся даются два выражения:  выражений в следующих случаях:  и a . b и предлагается рассмотреть знак обоих  Вывод, который должны сделать обучающиеся: знак частного совпадает со знаком  произведения. Это позволит в дальнейшем не переходить от частного к произведению.  Обычно при этом переходе и происходит потеря знаменателя вообще.  VI. Работа с графиками. 4 После данной работы переходим к работе с графиками функций. 1.  Рассматривая рисунок 1, учащиеся должны ответить на вопрос: «Когда происходит  смена знака функции?» Ответ: при переходе функции через нуль. 2. Это же самое подтверждается и рисунком 2.          3.   Рассмотрим теперь рисунок 3.           Хотя точка x = 0 является нулем функции, но функция при переходе через нуль знак не  меняет. Данная функция относится к категории особых случаев и, так как четная степень  функции не влияет на знак неравенства, перемены знака нет. 5 При рассмотрении рисунка 2 обращаем внимание на то, что x = 0 не является нулем  функции, но при переходе через нуль знак функции меняется. Это говорит о том, что те  точки, которые обращают в нуль знаменатель (точки разрыва) тоже должны быть учтены  как точки, при переходе через которые функция меняет свой знак.        VII. Метод интервалов. Алгоритм:                         1) перенести все слагаемые в левую часть и решить уравнение, приравняв выражение в  левой части к нулю 2) найденные корни уравнения нанести на числовую ось. Эти корни разбивают  числовую ось на промежутки, на каждом из которых выражение, стоящее в левой  части, сохраняет знак; 3) выбрать в каждом из промежутков какое­нибудь значение («пробную» точку) и  определить знак выражения в этой точке; 4) выбрать промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак,  записать ответ,  VIII. взяв их в объединение. Закрепление: Решить неравенства: П­1­2­3 П­1   (х­2)(х+6)>0 П­2   (2х2­3х+1)<0 П­3   ­х2+х+12 ≥0   6 7 IX. Система задач по  обобщенному методу интервалов с использованием  алгоритма.  Рассмотрим свойство двучлена (x ­ a)n . Точка  a  делит числовую ось на две  части, причем:    если n  четное, то выражение (x ­ a)n  справа и слева от точки a  сохраняет  положительный знак;  если n  нечетное, то выражение (x ­ a)n  справа от точки a  положительно, а  слева от точки a отрицательно. 1. Пример.  Решить неравенство (x + 7)(2x ­ 5)3(6 ­ x)5(3x + 10)4 < 0 . Решение. Перепишем неравенство в равносильном виде (x ­ ( ­7))(x ­ ( ­10/3))4(x ­2,5)3(x ­ 6)  > 0. На числовой оси отметим числа ­7, ­10/3, 2,5 и 6. Справа от наибольшего числа 6  ставим знак плюс. При переходе через точку x = 6  функция f(x) = (x ­ ( ­7))(x ­ ( ­10/3))4(x  ­­2,5)3(x ­ 6) меняет знак, так как двучлен (x ­ 6)  содержится в нечетной степени, поэтому в промежутке (2,5; 6) ставим знак минус. При переходе через точку x = 2,5  функция f(x)   меняет знак, так как двучлен (x ­ 2,5) в нечётной степени. При переходе через точку x = ­10/3 функция f(x)  не меняет знака, так как двучлен (x ­(  ­10/3))   содержится в произведении в четной степени, поэтому в промежутке(­7;­10/3)  ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку  x = ­7   функция f(x)  меняет знак,  так как двучлен (x ­ ( ­7))  содержится в произведении в первой степени, поэтому в  промежутке  (− ;7) ставим знак минус. Решением неравенства (x + 7)(2x ­ 5)3(6 ­ x)5(3x +  10/3)4 < 0, а значит, и равносильного ему неравенства  (x ­ ( ­7))(x ­ ( ­10/3))4(x ­2,5)3(x ­ 6) >  0  будет объединение промежутков, где стоит знак плюс.  Ответ: x (−7;−310) (−10/3;2 5) (6;+ ).  2.  После проделанной работы записываем алгоритм метода интервалов, который  позволяет даже детям с недостаточной математической подготовкой решать достаточно  8 сложные неравенства. Параллельно записи алгоритма разбирается пример, причем при  объяснении не обязательно идти от простого к сложному, а наоборот, от сложного  безболезненно можно переходить к решению простейших неравенств. Лучше даже для  первого введения алгоритма подобрать пример максимально исчерпывающий возможные  ситуации по алгоритму. При записи конспекта в тетрадь рекомендую разделить лист тетради на две колонки: в  одной записывать алгоритм, а в другой – пример, но непросто так, а к каждому шагу  алгоритма в одной колонке ставить в соответствие действие по решению неравенства.  Таким образом, мы приступаем к решению  примера.   3. Цель: ввести обобщённый  алгоритм, формировать представления о применении  алгоритма. На столе у каждого – памятки (разбор сложного примера с применением  алгоритма), а также – методлисты, в которых уч­ся делают пометки: какие трудности  возникли у них на уроке. Решить неравенство:             9 4. Рефлексия. Минутка занимательности. Вопрос:  √6 1                                                                                                           √1 7 9             ? 4               2 5 5. Цель: закрепление применения алгоритма, рассмотрение контрпримера на некоторые  шаги алгоритма. 1.  Ситуация «трудная» или неожиданно «необычная» для многих детей («вдруг» квадратный  трехчлен не раскладывается).  х2­4х+6>0 при х ϵ R, так как D<0 (х­2)2 ≥0 при х ϵ R, так как точках  ≠2 (х­1)4≥0 при х ϵ R, так как точках  ≠1 (х­2)(х­3)<0  х=2,  х=3 10 2. Решить неравенство:  (¿¿2−8х+48) x ¿ ϵ(2;3) Ответ: х 2 – ( x2−8х−50¿ 2 ¿0. Воспользуемся формулой а2 – в2= (а – в) (а + в), получим 98(2х2 – 16х – 2)  ¿0. ( x2−8х−1¿<0,(х−4) 2 < 17,   |х−4|<√17, 4 ­  √17<х<4+√17. Другой способ решения неравенства:  х2−8х−1<0. Рассмотрим функцию  ƒ(х)=х2−8х−1.    ƒ(х)=0:    х2−8х−1=0,   7. Пример на дом: ( x2−6х+52¿ 2 – ( x2−6х−50¿ 2 ¿0 X. Самостоятельная работа (с последующей проверкой): В­1 1) №140(в) Ответ: ( −∞ ;­8) ∪(−1;5)∪(7;+∞) 2) №148(в)     ( −∞ ;­3) ∪(−3;1)∪(2;+∞) В­2 1) №140(г)     (­1;1) ∪(4;6) 2) №148(г)      ( −∞ ;­4) ∪(−4;−1) ( Или ­  для дифференцированной работы)  Вариант 1. 11 Решить неравенство (1­3) 1. а) 4(3x−3)+3(3x−2)≤10+7x;      б) x²−8x+16≤0. 2. а) 3x−4 (2x+3) ¿ ¿ ¿ ;               б) (x+5)(x−3) (x+7)(x−4) ≤0. 3. а) x2+2x−15 x2+2x−3 ≥0;                   б) x2+12x+37 x2+11 ≥0. Вариант 2. Решить неравенство(1­3) 1. а) 5(2x−4)−2(4x−1)≤2−5x;     б) x²+10x+28≥0. (3x−4)(2x+5) x+1 ≥0;             б) x²−2x−15 x²−2x−3 ≥0;                  б) 2. а) 3. а) В­1.Решение. 1.а) 4(3x−3)+3(3x−2)≤10+7x 12x−12+9x−6−10−7x≤0 14x−28≤0/:14 Ответ:  −∞;2] ¿ . б) x²−8x+16≤0 (x−4)2≤0 x=4 {4} Ответ:  (x+3)(x−5) (x+4)(x−7) x²+14x+50 x²+17 ≤0. ≤0. 12 (2x+3)(3x−4) x−1 ≤0 2.а) Решение: 1) Нули числителя: 2x+3=0                       3x−4=0 2x=−3                            3x=4 x=−1,5                           x=4 2) Нули знаменателя: x−1=0   x=1     ОДЗ: x≠1 3] 1;1 1 ¿ −∞;−1,5]∪¿ .  Ответ:  (x+5)(x−3) (x+7)(x−4) ≤0 (x+5) (x−3)=0 б) 1) x₁=−5 x₂=3 ;       3) (x+7) (x−4)=0 x₁ = −¿ 7;  x₂=4       ОДЗ: x≠−7;x≠4 13 Ответ:  −7;−5]∪¿ . 3;4] ¿ x²+2x−15 x²+2x−3 ≥0 3)а) 1) x²+2x−15=0 D=4+60=64   x₁=−5   x₂=3   2) x²+2x−3=0 a+b+c=0   1+2 −¿ 3=0 x₁=1   x₂=−3     ОДЗ:  x≠−3;                              x≠1 Ответ:  −∞;−5]∪(−3;1)∪[¿ . 3;+∞ ¿ x²−12х+37 x²+11 ≥0 б) x²−12х+37=0   14 D=−1⟹x²−12х+37>0   x²+11>0прилюбомx   Ответ:  x∈R В­2.Решение: 1.а) 5(2x−4)−2(4x−1)≤2−5x   10x−20−8x+2+5x≤0   7 x−20≤0 7 x≤20 x≤2 6 7    Ответ:  7] −∞;2 6 ¿ . б) x²+10x+28≥0 D=−12<0,a>0,тоx∈R.   Ответ:  (−∞;+∞). (3x−4)(2x+5) x+1 ≥0 2.а) 1)Нули числителя: (3x−4)(2x+5)=0   3x−4=0                                   2x+5=0          3x=4                                          2x=−5 3                                           x=−5 x=1 1 2 =−2 1 2 2)Нули знаменателя: 15 x+1=0   x=−1   ОДЗ:  x≠−1 Ответ:  ;+∞ 1 1 3 [−2 1 2 ;−1¿∪[ ¿. (x+3)(x−5) (x+4)(x−7) ≤0 б) 1)Нули числителя: (x+3) (x−5)=0   x=−3  ; x=5 2)Нули знаменателя: (x+4)(x−7)=0 ;  x=−4;x=7   Ответ: −4;−3]∪[¿ . 5;7 ¿ x²−2x−15 x²−2x−3 ≥0;      3.а) 1) x²−2x−15=0 16 D=64  ;  x=−3;   x=5   ;        2)    x²−2x−3=0   D=16   x=4;x=−14   Ответ: ( 5;+∞ −∞;−3]∪(−1;3)∪[¿ . x²+14x+50 x²+17 ≤0 б) 1) x²+14x+50²+14x+50=0 D=−4,ноa>0⟹x²+14x+50>0приx∈R   x²+17>0прилюбомx   Ответ:  ∅ XI. Домашнее задание: №139(а, в); №140(а); №143(а), №149(в). Творческая работа: составить и решить неравенство, в котором применяется  обобщённый метод интервалов. XII. Итог урока. Заполнение методлистов. Оценка результатов. Применение метода интервалов при раскрытии модуля: рассказать на  факультативе. Цель: расширить представления школьников о применении метода  проектов (интервалов, (внутрипредметные связи). Например. Решим уравнение:  | x – 2 | + | x – 1 | – | x – 5 | = 2x + 3. Ответ: х=­1 2 3  . Применить к неравенствам. Для того, чтобы раскрыть модуль, необходимо знать, когда выражение под  знаком модуля принимает положительные значения, а когда отрицательные. Учитель:  Кобаидзе Н. И.       18.12.18   г. Владикавказ, гимназия №5. 17