Методическая разработка "Экстремумы функции"

Экстремум  функции максимум минимум Определение: Точка   х0  называется   точкой   максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность,   для   всех   точек   которой выполняется неравенство  ( f x 0 ) ( ) f x  Точка   х0  называется   точкой   минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность,   для   всех   точек   которой выполняется неравенство  f x ( )  ( f x 0 ) Необходимое условие экстремума функции (Теорема Ферма): Если точка х0  является точкой экстремума функции  y=f(x) и в этой точке существует производная, то эта производная равна нулю Достаточное условие экстремума  функции Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке х0 и в ее некоторой окрестности имеет производную, кроме, быть может, самой точке х0, тогда: Если производная при переходе через точку х0 меняет знак с (+) на (­), то точка х0 является точкой максимума функции Если производная при переходе через точку х0 меняет знак с (­) на (+), то точка х0 является точкой минимума  функции Геометрический смысл экстремума  функции   проведенные   через Касательные,   точки экстремума   функции,   будут   параллельны   оси абсцисс Точки экстремума – эта точки минимума и максимума. Экстремум функции – это значения функции в точках минимума и максимума Правила нахождения экстремумов функции алгоритм пример 1 правило: Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в некотором(a;b), имеет производную всюду в (a;b), кроме, быть может, конечного числа точек, и имеет не более конечного числа стационарных точек. Тогда для нахождения экстремумов функции надо:  yх  x x  2 1.   область   определения функции   2. производную   функции вычисляем данной y  '   2( x 2  2 ' x  x x   2)  x  2 x x    '  4 x  x 2 3 2  2    ;      2;   0; x 2 ( ) D y   2 x   2 ' x   x x   2 2 x x  2  3. находим стационарные или критические точки y  ' 0; 3 2  x 4  x 2   0 3 x 2 x   4 0   2 x   2 0 0; xстационарная 1 1    1 3    2 х 2 критическая знак   определяем   4. производной 5. монотонность функции определяем   6.   находим   экстремумы функции у воз ( ) : х х   1 1 ; 3  ;  у убыв ( ) : х х    2; 1 1 3 xстационарный минимум   1  _ 1 3  1 1  3 1    2 yстационарный экстремум 1 3   1   1 1 3 1 3  2 3   4 6 9  _ 2 правило:  Пусть функция  y=f(x) непрерывна на интервале (a;b) и имеет вторую производную всюду на (a;b), кроме, быть может, конечного числа точек. Тогда, чтобы найти экстремумы функции надо:  yх   x 3  29 x  24 x  12 1.   область   определения функции 2.   вычисляем производную   первого порядка данной функции 3. находим стационарные или критические точки ( )D y y '   3 x  2 9 x  24 x  R  12 ' 3  2 x  18 x  24 y  ' 0;3 x 2  18 x  24 0;  2 x  6 x     8 0   xстац 2 1   xстац 4 2 . .   вычисляем 4. производную   первого порядка данной функции 5.   определяем   знаки второй   производной   в или стационарных   y ''   2 3 x  18 x  24 ' 6   x  18;                            критических точках: ­если    , то х0­ y y  ''(2) 6 2 18 12 18 6 0  ''(4) 6 4 18 24 18 6 0               2      4 xстационарный максимум xстационарный минимум _ _ y ''  0 x  0 min; ­­если   mах;  , то х0­ y ''  0 x  0