МЕтодическая разработка "Предел функции в точке"

Предел функции в точке. Непрерывность функции. 1. Определение предела функции: Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к х0  (или в точке х0), если для   ,   существует такое   0 0 что   для   всех   х,   удовлетворяющих   условиям    x  x 0   ; x  x 0   имеет   место неравенство  . A   ( ) f x  Если А есть предел функции f(x) при х, стремящемся к х0, то пишут  . lim ( ) f x  x x 0  A 2. Условие существования предела функции: Предел функции при х, стремящемся к х0 существует   тогда   и   только   тогда,   когда   существуют   и   равны   между   собой   оба односторонних предела, т.е.   . lim ( ) f x   x 0 0 x  lim ( ),   x 0 f x  то  0 x lim ( ) f x  x x 0  существует 3.Вычисление пределов При вычислении пределов часто встречаются неопределенности: вид неопределенности правило с   0 с   0 0 0 0 0      Связь между БМФ и ББФ Связь между ББФ и БМФ 1   правило:  чтобы   раскрыть   данную   неопределенность,   надо числитель и знаменатель разложить на множители,  и сократить на тот множитель, которой привел к неопределенности. 2   правило:  если   данная   неопределенность   зависит   от иррациональности   (корень),   надо   перевести   иррациональность   из знаменателя   в   числитель,   или   из   числителя   в   знаменатель,   и сократить на множитель, который привел к неопределенности. Чтобы   раскрыть   данную   неопределенность   надо   числитель   и знаменатель дроби разделить на переменную высшей степени. Чтобы   раскрыть   данную   неопределенность,   надо   умножить   и разделить на выражение сопряженное данному. Первый замечательный предел:  lim  x 0 x sin x  1 Второй замечательный предел:  lim 1  x x  1  x  e 4. Непрерывность функции 1   Определение:  Функция  f(x)   называется   непрерывной   в   точке   х0,   если   для   любого принадлежащей   области   определения   функции, δ , что для всех х, положительного числа  ,   будет   выполнено   неравенство удовлетворяющих   условию    существует такое положительное  ε x  x 0   ; x  x 0 ( ) f x  ( f x 0 )   2   Определение:  Пусть   функция   у=ƒ(х)   определена   в   точке   хо  и   в   некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.  . Равенство означает выполнение трех условий: lim ( ) f x  x x 0  ( f x 0 ) 1) функция ƒ (х) определена в точке x0 и в ее окрестности; 2)  функция ƒ(х) имеет предел при  х х→ о; 3)  предел функции в точке хо равен значению функции в этой точке. Условие   непрерывности   функции   в   точке:  если   односторонние   пределы   функции   в точке х0 существуют и равны между собой, то существует предел функции в точке х0, следовательно, функция в точке х0 будет непрерывна.  Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х=х0 — точка разрыва функции у=ƒ(х), то в ней не выполняется по   крайней   мере   одно   из   условий   первого   определения   непрерывности   функции,   а именно: Случаи появления разрывов Рисунок  1.   Функция   определена   в   окрестности   точки   х0,   но   не определена в самой точке х0.  lim x 2 x 1  2  1 0       2. Функция определена в точке  х0  и ее окрестности, но не существует предела ƒ(х) при х х→ 0. lim ( ) 1; lim ( ) 0   2 0 x f x f x   2 0   x 3.   Функция   определена   в   точке   х0  и   ее   окрестности,  предел функции в точке х0  существует, но   этот  предел  не  равен  значению   функции  в  точке x0.   lim ( ) f x  x f x ( 0  ) x 0 Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода: ­ точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции у=ƒ(х), если в этой точке односторонние пределы существуют, конечны и не равны. График функции в этой точке претерпевает «скачок» равный разности между правым и левым пределом функции в этой точке; ­ точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода функции у=ƒ(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. График функции в этой точке устремляется в бесконечность. пример Вид разрыва Рисунок ( ) f x   x 2   1,  если ­1 x x x  если 2 ,     2 5 lim ( ) 1; lim ( ) 0   x 2 0 f x f x   2 0 x   точка х0 =2 называется точкой конечного разрыва lim ( ) f x  x x 0  ( f x 0 ) g x ( )    если x  0 , x sin x  если x 2,  0  х0=0  точка называется   точкой устранимого   разрыва.   Положив  g(х)=1 (вместо  g(х)=2)   при  х=0,   разрыв устранится, станет непрерывной   функция   y  1  x 2 lim x 2 x 1  2  1 0   x0=2 ­точка разрыва второго рода. 3. Непрерывность функции через приращения функции и аргумента.      Пусть   функция  у=ƒ(х)  определена   в   некотором   интервале (а;b).  Возьмем   произвольную   точку  хоє(а;b).  Для   любого хє(а;b) разность х­хо называется приращением аргумента х  в точке  х0  и   обозначается  ∆х  («дельта   х»):  ∆х=х­x0.   Отсюда х=х0+∆х. Разность   соответствующих   значений   функций  ƒ(х)­ƒ(х0) называется  приращением   функции  ƒ(х)  в   точке  х0  и обозначается ∆у (или ∆ƒ или ∆ƒ(х0)): ∆у=ƒ(х)­ƒ(х0) или ∆у=ƒ(х0+∆х)­ƒ(х0) 3   Определение:  Функция  f(x)  называется   непрерывной   в   точке  х0,   если   бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции. lim ( ) f x  x lim ( ) 0 V  x f x ( 0 lim ( ) f x  x x 0 f x ( 0 0;       );      V f x   x 0    )  0