Методическая разработка "Применение производной к исследованию функции"

ТЕМА УРОКА: Примеры применения производной к исследованию функций. Учебная цель. Научить   применять   производную   к   исследованию функции. Развивающая цель. Развитие   творческой   стороны   мышления   и   навыков аналитической   работы   при   выполнении   проектной деятельности.   Формировать   навыки   оформления результатов умственного труда. Воспитывать умение работать в группе: «чувство локтя» и   индивидуальную   ответственность   за   достижение результата. Воспитательная цель. Научить   применять   производную   для   реализации Задачи.  схемы исследования функции. Научить   строить   график   функции   на   основе  проведённого исследования. Ход урока: 1. Психологически организационный момент. Ребята ни для кого не секрет, что каждая наука оперирует своей лексикой. Увлекшись   изучением   с   вами   последней   темы   по   алгебре,   я   в   беседе   с учителем   литературы   сказала:   «Неважно   сколько   ученик   знает,   но   важно, чтобы у него была положительная производная». Коллега не поняла меня. А вы   можете   прояснить   мою   фразу?   (Это   означает   важно,   чтобы   скорость приращения знаний у ученика была положительна – это залог того, что его знания возрастут). Подумайте как бы вы могли охарактеризовать три разные кривые роста знаний, изображённые на рисунке.       Какую аналитическую деятельность вы сейчас осуществляли относительно функций?   (Исследование).   Для   чего   нужно   исследование   функций?   (Для построения графиков). Так какова тема нашего урока?  1 Тема нашего занятия – исследование функции и построение графиков с помощью производной. Давайте запишем дату и тему урока в тетрадь. Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока? (Дети формулируют цель.)      Цель урока – научиться строить график функции, применяя производную для исследования функции. 2.                   Представление мини­проектов учащихся          В классе заранее были определены 3 группы учащихся, каждая группа получила задание для мини­проекта      Ранее мы уже рассматривали вопросы об исследовании функций, основным объектом исследования для нас был график, по нему мы определяли свойства функции. Одними из важных, являлись промежутки монотонности и точки экстремума.  Проект №1 «Построение графика функции в виртуальной лаборатории» Трудно найти черную кошку в тёмной комнате, особенно если ее там нет.          Нам было предложено построение графика с помощью  xf   2 x  2 x  2 виртуальной   лаборатории   «Графики   функций».   Предлагаем   и   вам   сейчас ввести   эту   функцию   в   редактор   формул   виртуальной   лаборатории.   При выполнении задания возникла проблема, мы столкнулись с тем, что графика не видно. Мы пытались найти ошибку  в записи функции и  изменять масштаб, но график не отображался.       Почему же компьютер не показывает график? Мы поняли, что необходимо исследовать, поведение функции. Начали традиционно с выяснения области определения   функции   и   получили   неожиданный   результат.   Подкоренное выражение   отрицательно   при   всех   значениях   аргумента.   Следовательно, график   заданной   функции   не   отображался   из­за   того,   что   ни   при   каком действительном значении х функция не определяется.           Вывод:     для   уточнения   графика,   важно   использовать   все   этапы исследования функции. Нахождение области определения функции далеко не формальный   этап   исследования.   Он   поможет   вам   не   оказываться   в   роли человека, ищущего черную кошку в тёмной комнате.  Проект №2 «Нахождение точек экстремума по графику функции» Точность – вежливость королей. Задание:   построить   графики   функций   на   компьютере   с   помощью виртуальной лаборатории и определить по графику их точки экстремума: а)  ;  xf  93  x x 2 б)   xf   3 x 6 2 x  9 x  4      Один из учащихся работает на компьютере с проектором. Он представляет своё   решение   классу   и   отмечает,   что   при   определении   точек   экстремума возникла  проблема:   для   функции  б)  найти   точки   экстремума   с   помощью построения графика на компьютере можно точно, а для функции  а)  – лишь приближённо. а)  ; x max  ;7,1 x min  7,1 б)  x max  x ;1 min  3            Группа учащихся пришла к выводу, что точки экстремума не всегда можно определить точно, используя графический метод. Разрешить проблему можно,   применяя   аналитический   метод.   Найдем   точки   экстремума предложенных   функций,   используя   производную   (учащиеся   приводят аналитическое решение проблемы) а)  ; x max  ;3 min x  3 б)  x max  x ;1 min  3           Вывод:   аналитический   способ   нахождения   точек   экстремума   более совершенный по сравнению   с графическим. Использование аналитического способа поможет вам быть точными, как короли. Промежуточное подведение итогов Одним   из   важнейших   этапов   построения   графика   функции   является определение   экстремумов   функции   и   как   вы   знаете   это   удобно   делать   с помощью производной.      Сформулируем   пункты   алгоритма   исследования   функции   на   наличие экстремумов. В презентации  «Алгоритм исследования  функции на наличие экстремумов»  слайды   перепутаны   в   последовательности.   Используя функцию сортировщик слайдов, расставьте слайды в порядке необходимом для   исследования.   Мы   вспомнили   план   исследования   функции.   Через проектор   просматривается   план   исследования   функции   на   наличие экстремумов. Проект №3 «Построение графика функции на основании ее исследования»  Если в конце исследования не видно следующего – значит, исследование не доведено до конца      Задание: исследовать на наличие экстремумов функцию f(x)= и построить эскиз её графика.  1 4 4 х 2  х 2  3 3 1.  2.  3.  4.  .   R  fD    xf x  3 4 х   xх 2  4  fD  R '  при х=0, х=2, х=­2   ' xf 0   2; f  f _  –2 0 ­7 mi n   0;2 +   2;0 _  0 0 ­3 ma x 2 0 ­7 mi n  ;2 +            Наносим   полученные   точки   на   координатную   плоскость.   Возникает проблема:   какой   линией   соединить   имеющиеся   точки   графика,   чтобы   она более точно передавала свойства заданной функции?  Предлагаем 4 варианта соединения точек. Какой из них верный?  1 2 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 2 3 4 5 6 4 3 2 6 5 4 3 2 1 0 1 2 4 6 8 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1 2 4 6 8 0 1 2 3 4 4 3 4 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1 2 4 6 8 4 3 2 0 1 2 3 4 4 3 2 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1 2 4 6 8 0 1 2 3 4   Ответить  на вопрос, можно вспомнив, что во всех найденных точках экстремумов   производная   равна   нулю.   Значит,   касательные   к   графику функции   в этих точках должны быть параллельны оси  ОХ. Это возможно только   на   рисунке  4.   Таким   образом,  линия   представленная   на   рисунке   4 наиболее точно отражает свойства заданной функции. Проверить наш вывод можно,   построив   график   предложенной   функции   с   помощью   виртуальной лаборатории. Вывод:   при   построении   графика   при   помощи   исследования   функции   с помощью   производной   нужно   использовать   не   только   координаты   точек экстремума, но и всю аналитически найденную информацию. 3.                   Углубление изучаемой темы. (объяснение учителя)           Аппарат   производной   позволяет   определить,   как   соединить   две   полученные точки – по прямой, выпуклостью вниз или выпуклостью вверх.  Для этого используют вторую производную функции.   Если вторая производная равна 0, то это точка перегиба.  Если   вторая   производная   больше   0,   то   на   этом   интервале   график обладает выпуклостью вниз.  Если   вторая   производная   меньше   0,   то   на   этом   интервале   график обладает выпуклостью вверх. 5 Продолжим уточнение построения графика рассматриваемой функции f(x)= 1 4 4 х 2  х 2  3 Так как  3   xf x  , то   f " 4 х 3х2­4  x  при х=­  " x 0  f , х= 2 3 2 3 Причём,  при х< ­  и х > 2 3 2 3  вторая производная больше 0, то есть на этих интервалах график обладает выпуклостью вниз. При  ­  < х <  вторая производная меньше 0, то есть на этом интервале 2 3 2 3 график обладает выпуклостью вверх. (презентация «Выпуклость») 4.                   Итог урока.     Какие выводы мы сделали сегодня на уроке: для   уточнения   графика,   важно   использовать   все   этапы исследования функции аналитический   способ   нахождения   точек   экстремума   более совершенный по сравнению  с графическим при   построении   графика   при   помощи   исследования   функции   с помощью   производной   нужно   использовать   всю   аналитически   найденную информацию Проведём блиц­тест для уточнения уровня ваших знаний (презентация «Исследование») Блиц­тест показал первый результат работы на уроке. Чтобы приращение ваших   знаний   по   теме   было   положительным,   работая   дома,   постарайтесь выполнить максимально посильную для себя работу. 5.                   Домашнее задание. 1 задание ­ практическое. Исследуйте любую из предложенных функций, на   основе   проведённого   исследования   постройте   графики   этой   функции   в тетради, затем проверьте посторенние графика в виртуальной лаборатории с помощью компьютера. Задания      а) – среднего уровня,  б)­ уровня выше среднего,                     в) – высокого уровня 6 1 вариант а) у=(х+1)3 (х­2) б) у= х 2 2  5  х 2 вариант а) у=(х+2)2 (х­2) б) у= 2 х х  3  1 в) у= 212  х х в)у= 4 2 х 41  х 7 2 задание ­ аналитическое Отыщите функцию, среди предложенных, исходя из её «автобиографии»: Я – функция сложная, это известно, Ещё расскажу, если Вам интересно, Что точку разрыва и корень имею, И есть интервал, где расти не посмею. Во всём остальном положительна, право. И это конечно не ради забавы. Для чисел больших я стремлюсь к единице. Найдите меня среди прочих в таблице. У=0,25х4 У=х3­0,5х2­2х+3 У= х 2 2 х х У=(х2­1)2 У=  1 х 243 У=х(1­х) У= У= У= х х   1 1 2    х х    2  2  х 2 х 1 («Автобиография» принадлежит функции У= ) 2    х х   2 2   