Методическая разработка "Точки перегиба функции"

Точка перегиба графика функции В точке х=0 произошел перегиб графика, т.е. переход из выпуклости   вниз   в   выпуклость   вверх.   Точка   с координатами  (0;0)  является  точкой  перегиба  графика функции. графика   дифференцируемой функции абсцисса, которой является одновременно концом интервала выпуклости вниз и концом интервала выпуклости вверх, называется точкой перегиба графика этой функции. Определение:Точка   Геометрический смысл:В точке перегиба касательная к   графику,   с   одной   стороны,   находится   выше графика   кривой,   а   с   другой   –   ниже   его,   т.е. пересекает кривую в этой точке. Необходимое   условие   существования   точки перегиба:Пусть   функция   на   интервале   имеет непрерывную производную первого и второго порядка тогда, если точка с абсциссой является точкой перегиба графика функции, то вторая производная в этой x 0  a b ;  точке равна нулю     . 0 y x  ''( ) 0 Достаточное   условие   выпуклости   графика   функции:  Пусть функция на интервале имеет производную первого и второго порядка   тогда,   если   производная   второго   порядка   при переходе   через     х0меняет   знак,   то   х0  является   абсциссой точки перегиба графика данной функции. Правило нахождения точки перегиба  графика  функции алгоритм решение x ( ) y x   x 3 5  2 1. область определения функции 2.   вычисляем   производную   первого порядка данной функции 3.   вычисляем   производную   второго порядка D (sin) R ' yх   3  х 5  2   5   х 1 3 3 2 ; у   1   5 3 3 х 2   10 3 9 х ;      находим   стационарные   или 4. критические точки второго порядка 5.   отмечаем   стационарные   или критические точки на числовой прямой в порядке   возрастания.   Определяем   знак второй   производной   в   полученных промежутках.   используя   достаточное   условие 6. выпуклости графика функции, находим промежутки выпуклости 7. используя необходимое и достаточное условия   существования   точки   перегиба графика   функции,   определяем   перегиб данной функции. у   0; 10 3 9 х  0; х   0 крит точка . yх вниз yх вверх ( ) : х ( ) : х    0;     ;0  Точки перегиба нет, так как необходимое условие  существования точки перегиба не работает:  ''(0) yне существует    Определение:Асимптотой   кривой   называется   прямая,   к   которой   неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат. Асимптоты  Виды асимптот Вертикальные асимптоты Горизонтальные асимптоты Наклонная асимптота рисунок Условие  lim ( ) y x  x a   lim ( ) y x  x  b Уравнение  ; ( ) y x lim x  x lim ( ) y x  x   kx  k  b  Пример алгоритм условие Найти асимптоты 1.Область определения функции 2. Вертикальные асимптоты lim ( ) y x  x a   решение  рациональная функция    2  x yдробно  1 x  1 / x x 1) D y ( )      a 1 2 x 2)lim  x 1 a  1 1 0      1 . xверт асим . lim ( ) y x  x  b 3. Горизонтальная асимптота   Наклонная 4. асимптота k  b  ; ( ) y x lim x  x lim ( ) y x  x   kx  3) lim  x 2 x  x 1    lim  x x 2 x 2 2 x x   lim  x 1 2 x 1  1 2 x 1 x  1  0 0   горизонтальных асимптот нет     2 x  x x 1 4) k  lim  x  lim  x x ( x x 2  1)  lim  x 2 x  2 x x     lim  x 2 2 x x 2 2 x x   x 2 x  lim  x 1  1 1 x  1  1 0  1 b  lim  x 2 x  x 1   x 1   lim  x 2 x  x x  2  1 x  lim  x x  1 x     lim  x x x  x x 1 x  1  lim  x 1 1 x    1  y  1  1 0  1 xнаклонная асимптота       