Методическая разработка урока «Методы решения показательных уравнений» (11 класс, алгебра и начала анализа)

МОУ СШ №111 города Волгограда «Методы решения показательных уравнений»                                               УМК Алгебра и начала анализа 10­11                                               под редакцией  А.Г. Мордковича Дурникина Надежда Ивановна Основные цели урока:   Организовать деятельность учащихся по анализу и осмыслению основных методов  решения показательных  уравнений.   Усвоить алгоритм решения показательных  уравнений.  Развитие мыслительной деятельности, математической речи, потребности к  самообразованию, творческой деятельности учащихся, умения находить наиболее  рациональный способ решения.  Оборудование: компьютер, проектор, экран. 1. Организационный момент.  2. Актуализация знаний.  3. Изучение нового материала. 4. Закрепление материала.  5. Подведение итогов урока. 6. Рефлексия;  7. Домашнее задание. Структура урока: Ход урока Деятельность учителя Деятельность учеников 1. Организационный момент. Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь. Проверяет  готовность учащихся к уроку.  При решении алгебраических задач, довольно часто  приходится отыскивать показатель степени, в которую  нужно возвести число, чтобы получить результат. Не  Учащиеся записывают число и тему урока в тетради. всегда это возможно сделать устно, поэтому  необходимо знать методы решения показательных  уравнений, т. e. уравнений, неизвестные которых  представляют собой показатели степеней. С методами  решения таких уравнений мы и познакомимся на  сегодняшнем уроке. Сообщается тема, цели урока. На экран выводится тема  «Показательная функция» (слайд № 1) 2.  Актуализация знаний учащихся: Учитель: «Если вы хотите плавать, смело входите в  воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их», – советовал учащимся известный американский  математик Джордж Пойа. Решение любой задачи это  труд. И сегодня нам придется немало потрудиться Вопросы для повторения:      а) Что называется уравнением? б) Что значит решить уравнение? в) Что называется корнем уравнения? г) Способы решения любого уравнения. Учащиеся отвечают на  вопросы 3. Изучение нового материала Создание проблемной ситуации: По графикам, построенным на доске определить  абсциссы точек их пересечения:  (слайд № 2) Слушают учителя, отвечают  на вопросы. а)y = 2x и y = 0; б)y = (­2)x  и  y = ­2 Абсциссы точек пересечения графиков функций y = аx и  y = b являются решением простейших показательных  уравнений.   Записывают в тетрадях. Вводится определение простейшего показательного  уравнения как уравнения вида аx = b, где а>0 и а≠1.  При b < 0 уравнение корней не имеет,  при b > 0 показательное уравнение имеет единственный корень.  Вводится определение показательных уравнений вида:  (слайд № 3) аf (x) = аg (x)  Приводятся примеры: 22х­4 =64; (­2)2х+5 = (4)­1; 5х­3 = 53х­8.  Простейшие показательные уравнения. Простейшие показательные уравнения решают либо с  помощью графика, либо способом приведения к общему  основанию. Рассмотрим функционально­графический  метод решения простейших показательных уравнений аx = b.  Ученик выходит к экрану, на  который спроектировано  решение уравнений и  поясняет их решение: 5х=1 и  5х=5; 0,3х=1 и 0,3х=3 Кроме графического существует и аналитический  метод решения простейших показательных уравнений –  уравнивания показателей  (слайд № 4). а) Уравнения вида аf(х)=1    Уравнение a f(x) = 1 равносильно уравнению a f(x) = a 0, а  оно в свою очередь равносильно уравнению f(x) = 0,  б) 8x – 5 = 1,  в) 23­x = 1.   г) (3)х2– 5x + 6 = 1  б)Разбор с места: 8x – 5 = 1,  в) самостоятельно 23­x = 1.   г)  Ученик решает на доске   (слайд № 5) Для решения уравнения 49x+0,5 • 7x­2 =1 воспользуемся  свойствами степеней :  72х+1•7х­2 = 1; 73х­1 = 1; 3х­1 = 0; х = 1 3 .    При b ≠ 1. Уравнения вида a  x  = b решают способом приведения к общему основанию. Метод уравнивания показателей Сформулируем теорему: (слайд № 6) показательное уравнение a f (x) = a g (x) (где a >0, a ≠1)  равносильно уравнению f (x) = g(x).  Учащимся предлагается с применением теоремы решить  уравнения (слайд № 7) (2)3х­1 = (4)5х­9 и (3)2х  + х ­ 0,5 =9.  (слайд № 8) Показательные уравнения вида a f (x) = b f (x) можно  привести к к виду     a f(x) = 1. Для этого выражение,  стоящее в левой части, надо разделить делиться на  правую часть (или наоборот).  а)2 0,5x = 3 0,5x   2­е учащихся решают  уравнения на доске а) Учащийся решает у доски  уравнение 2 0,5x = 3 0,5x  а):  Учащимся предлагается: а) самостоятельно решить  уравнение, записанное на доске:  б) самостоятельно решают  уравнение 5x­5 = 3x­5. Ответ: х  = 5. Взаимопроверка в парах. б)5x­5 = 3x­5. Ответ: х = 5.  б) оформить на доске и тетрадях решение следующего  в) (слайд № 9) Учитель  поясняет решение уравнения:  4х+1 + 4х = 320, 4х  (4 + 1) = 320, 4х = 64, х = 3.  Затем учащихся решают уравнения  1)   2• 3х+1 ­ 4• 3х­2 = 150        3х­2 (2• 33 – 4) = 150          3х­2•50 = 150  3х­2 = 3            х=3 2)    7х+2 + 4• 7х­1 = 347      7х­1 (73 + 4) = 347 Один учащийся решает  уравнение на доске 1)2• 3х+1 ­ 4• 3х­2 = 150 на  доске 2)    Уравнение 7х+2 + 4• 7х­1 =  347 учащиеся решают 7х­1• 347 = 347       7х­1 = 1         х = 1 самостоятельно. Взаимопроверка в парах. Вывод: при решении уравнений методом уравнивания  показателей, необходимо привести обе части уравнения  к одному основанию. Метод введения новой переменной (слайд № 10) а) Уравнения вида Аa 2х + Вa х + С = 0. Эти уравнения  сводятся к квадратным путем замены выражения a х  новой переменной. После решения получившегося  квадратного уравнения возвращаются к старой  переменной и решают простейшие показательные  уравнения.  4х + 2х+1 – 24 = 0,   22х +2 • 2х ­24 = 0.  Учащийся комментирует  решение на приготовленном  им слайде: Сделав замену 2х  на t, где     t > 0, получим t2 +  2t – 24 = 0. Корни  полученного квадратного  уравнения 4 и ­6. ­6 ­  посторонний корень. Решив  уравнение      2х = 4, имеем  х=2.  Один ученик разъясняет  решенное им уравнение.  Сначала преобразуем  уравнение, чтобы выделить  выражение  3х + 33• 3­х = 12.  Обозначим у = 3х (у>0),  получим что 3­х = ( 1 3 )х.  у2 – 12у +27 =0.  3х = 3 и 3х = 9.  Отсюда х1 = 1 и х2 = 2.  №40.1, 40.240.13,40.14а), б) б) 3х + 33­х = 12.   4.Закрепление материала.  5. Подведем итоги: (слайд № 11) Можно выделить три основных метода решения  показательных уравнений. Функционально – графический.  Уравнивания показателей. Введения новой переменной. 6. Рефлексия. С каким настроением вы покидаете сегодня урок? Как вы считаете, пригодятся ли вам полученные знания  в жизни?                                                                                   Поблагодарите друг друга за помощь, которую вы  оказывали друг другу. 7. Домашнее задание  Говорят желающие. Записывают домашнее  задание №40.1,  40.240.13,40.14в), г).