Методическая разработка по дисциплине алгебра и начала анализа на тему "Обратная матрица" для учащихся 10-11 классов средней школы; урок соответствует всем требованиям ФГОС; урок направлен на формирование практических умений и навыков обучающихся; рассматриваются основные методы и способы решения линейных уравнений с помощью обратной матрицыМетодическая разработка по дисциплине алгебра и начала анализа на тему "Обратная матрица" для учащихся 10-11 классов средней школы; урок соответствует всем требованиям ФГОС; урок направлен на формирование практических умений и навыков обучающихся; рассматриваются основные методы и способы решения линейных уравнений с помощью обратной матрицы
Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений
матричным способом.
1. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и
невырожденной, если ее определитель не равен нулю.
Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица,
которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), дает единицу: А1А=АА
1=Е.
Если обратная матрица А1 существует, то матрица А называется обратимой.
Операция вычисления обратной матрицы при условии, что она существует, называется
обращением матрицы.
Теорема: для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо
и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. чтобы ее
определитель был отличен от нуля.
.
A
1
A
11
A
12
A
1
n
D
D
D
A
21
A
22
A
2
n
D
D
D
.....
.....
.....
A
n
1
A
n
2
A
nn
D
D
D
2. Алгоритм вычисления обратных матриц второго и третьего порядка.
1). Находят определитель матрицы А.
2). Находят алгебраические дополнения всех элементов
матрицы А и записывают
ija
новую матрицу.
3). Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспонируют матрицу).
4). Умножают полученную матрицу на
.
1
D
3. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
Дана система линейных уравнений:
a x
11 1
a x
21 1
a x
31 1
a x
12 2
a x
22 2
a x
32 2
a x
13 3
a x
23 3
a x
33 3
,
b
1
b
,
2
.
b
3
Матрица
A
a
11
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33
составлена из коэффициентов при неизвестных; свободные
; матрица неизвестных
члены
B
b
1
b
2
b
3
X
x
1
x
2
x
3
. Тогда, используя правило умножения
матриц, систему линейных уравнений можно записать:
или
a
11
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33
b
x
1
1
b
x
2
2
b
x
3
3
. Это равенство называется простейшим матричным уравнением.
AX B
Такое уравнение решается следующим образом: пусть матрица А – невырожденная (
),
0D
1
A
AX
1
A B A A X
1
;
1
A B EX
;
1
A B X
;
.
1
A B
Алгоритм решения:
1). Найти обратную матрицу.
2). Найти произведение обратной матрицы на матрицу – столбец свободных членов.
3). Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.
Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом.docx
