Методическая разработка урока "Обратная матрица"

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом. 1. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определитель не равен нулю.      Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), дает единицу:  А­1А=АА­ 1=Е.     Если   обратная   матрица   А­1  существует,   то   матрица   А   называется   обратимой.   Операция вычисления обратной матрицы при условии, что она существует, называется обращением матрицы. Теорема: для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и   достаточно,   чтобы   матрица   А   была   невырожденной,   т.е.   чтобы   ее определитель был отличен от нуля. . A   1 A 11 A 12 A 1 n D D D A 21 A 22 A 2 n D D D ..... ..... ..... A n 1 A n 2 A nn D D D 2. Алгоритм вычисления обратных матриц второго и третьего порядка. 1). Находят определитель матрицы А. 2). Находят алгебраические дополнения всех элементов    матрицы А и записывают ija новую матрицу. 3). Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспонируют матрицу). 4). Умножают полученную матрицу на  . 1 D 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом. Дана система линейных уравнений:  a x 11 1 a x 21 1 a x 31 1    a x 12 2 a x 22 2 a x 32 2    a x 13 3 a x 23 3 a x 33 3 ,  b 1  b , 2  . b 3      Матрица   A   a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13  a  23  a 33   составлена из коэффициентов при неизвестных; свободные   ; матрица неизвестных   члены B b 1      b 2   b 3 X   x 1  x  2  x 3 . Тогда, используя правило умножения матриц,   систему   линейных   уравнений   можно   записать:     или a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13    a   23   a 33 b x 1 1    b x    2 2    b x 3 3  . Это равенство называется простейшим матричным уравнением. AX B Такое уравнение решается следующим образом: пусть матрица А – невырожденная ( ),  0D   1 A  AX    1  A B   A A X  1  ;   1 A B  EX ;   1 A B   X ; .   1 A B Алгоритм решения: 1). Найти обратную матрицу. 2). Найти произведение обратной матрицы на матрицу – столбец свободных членов. 3). Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.                              