Методическая разработка урока "Определители и матрицы"

Определитель матрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя. 1.  Определителем  матрицы   (детерминатором)   второго   порядка   называется   число равное разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей. det A  a 11 a 12 21 a a 22  a a 11 22  a a 21 12 Определителем   третьего   порядка   называется   число.   При   вычислении   определителя третьего порядка пользуются правилом  треугольника (правило Сарруса) Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов   главной   диагонали   и   элементов,   находящихся   в   вершинах   двух равнобедренных   треугольников,   основания   которых   параллельны   главной диагонали.   Три   отрицательных   его   члена   есть   произведения   элементов побочной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали. det a 11 A a 21 a 31  a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33  a a a 11 22 33  a a a 21 32 13  a a a 12 23 31   a a a 13 22 31  a a a 21 12 33  a a a 23 32 11  2. Основные свойства определителей: ­ определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими  столбцами (т.е. транспонировать) – это свойство называется свойством равноправности строк и столбцов; ­ при перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на  противоположный; ­ общий множитель всех элементов строки (или столбцов) можно вынести за знак  определителя; ­ определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю; ­ если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то  определитель равен нулю; ­ если к какой­либо строке (или столбца) определителя прибавить соответствующие  элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то  определитель не изменит своей величины; ­ треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже)  главной диагонали, ­ нули, равен произведению элементов главной диагонали. 3. Минором   элемента  ijM D a ij  определителя называется такой новый определитель, который   получается   из   данного   определителя   вычеркиванием   строки   и   столбца, содержащих данный элемент. 4.  Алгебраическим дополнением  элемента     определителя   D  называется минор ija этого элемента, взятый со знаком   . Алгебраическое дополнение обозначается   . ijA  1 i j 5.   Теорема   о   разложении   определителя   по   элементам   строки   и   столбца:  сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя  D  на их алгебраические дополнения равна этому определителю. a A 2 2 a A  или D a A in 1 a A nj nj a A i i D a A i  1 i ....   ....  2 2  j j j  1 j 1   in