МЕтодическая разработка "Возрастание и убывание функции"

Возрастание и убывание функции возрастание убывание Определение: Функция   называется   возрастающей   на множестве   Х,   если   с   увеличением   аргумента значения функции тоже увеличиваются Функция называется убывающей на множестве Х,   если   с   увеличением   аргумента   значения функции уменьшаются Необходимое условие возрастания (убывания) функции     Если дифференцируемая функция y         x то f       ; a bвозрастает на интервале a b '( x 0   длялюбого x    0   ,    ) 0   a b ;             ( ),  f x   ( ; ) ,   ( ),  Если дифференцируемая функция y    f x   ;      ( ; ) , a bубывает на интервале a b x    то f '(   x     0   ,    ) 0   длялюбого x    0 ; a b                , Если функция y    имеет положительную производную     в каждой точке интервала a b то ; эта функция возрастает на интервале a b  ,       ;                   . Достаточное условие возрастания (убывания) функции ( ) ,  ( ) ,  f x x x f x     ; a b             , ; a b Если функция y    имеет отрицательную производную      ,   в каждой точке интервала a b то  ; эта функция убывает на интервале a b       ;                . Геометрический смысл монотонности функции касательные   к   графику   функции   образуют острый угол с положительным  направлением оси абсцисс касательные   к   графику   функции   образуют тупой   угол   с   положительным   направлением оси абсцисс Точки,  в которых производная существует и  равна нулю называются стационарными точками. Точки,  в которых производная не существует называются критическими точками Правило нахождения интервалов монотонности функции алгоритм пример 1 пример: Определить монотонность функции: 1. область определения функции 2. вычисляем производную данной функции  yх    x ln 1 x ( ) D y x  0 y '  x  ln 1  x '   ' x ln 1  x    ' 1 1 x x 1  x 3. находим стационарные или критические точки y x  ' 0;     1 x 0;   x 1 0  xх 0 xстационарная   1   0 ; критическая 4.   на   числовой   прямой   отмечаем полученные   точки,   которые   разбивают область   определения   на   интервалы,   на каждом из которых производная сохраняет свой   знак.   Эти   интервалы   являются интервалами   монотонности.   Определяем знаки   производной   на   полученных интервалах. 5.   применяем   достаточное   условие возрастания (убывания) функции. Находим интервалы, на которых функция возрастает или убывает. x x y ' 0  0;1           ' 0 y 1;  ( ) y xубывает  ( ) y xвозрастает  Ответ у : воз ( ) : х х    1;  ; у убыв ( ) : х х    0;1 2 пример: x   e  2 yх x ( )D y  ¡ 2  ( x ) ' x  e x  ( e ) '  2 x x  2 xe x  2 x e  '  ); x  e  x y  '  xe  x 2 x (2 y  ' 0; x xe (2  x  x 0    x 0 ) 0 e   2 x ; 0   xстационарная 0 1  x x eт к E e 0, )    2 xстационарная 2 . . ( ¡   Определить монотонность функции 1. область определения функции 2. вычисляем производную данной функции 3. находим стационарные или критические точки 4. определяем знак производной.                          5. определяем монотонность функции y   ' 0 y воз . ( ) : x   ' 0 y y ответ y : ( ) : xх убыв ( ) : x x воз .       x ; 2     x 0;     2;0        ; 2 0;   ; y ( ) : x х убыв    2;0     