Методические указания к практическим занятиям по дисциплине "Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия" (часть I алгебра) программы подготовки специалистов среднего звена по специальностям 22.02.06 Сварочное производство, 26.02.02 Судостроение
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КЕРЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
филиал ФГБОУ ВО «КГМТУ» в г. Феодосия
Цикловая комиссия гуманитарных и фундаментальных дисциплин
МАТЕМАТИКА:
алгебра, начала математического анализа, геометрия
(часть I, алгебра)
Методические указания
к практическим занятиям для студентов 1 курса
специалистов среднего звена по специальности:
26.02.02 Судостроение
22.02.060 Сварочное производство
Профиль обучения: технический
Форма обучения: очная
Сидорова Людмила Валентиновна
Феодосия, 2018
Составитель: преподаватель высшей категории дисциплины «Математика» председатель цикловой комиссии филиала ФГБОУ ВО «КГМТУ» в г. Феодосия ____________________ Сидорова Л.В.
Рецензент: Зубрилин К.М., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математических и естественно-научных дисциплин филиала ФГБОУ ВО «КГМТУ» в г. Феодосия __________________
Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании цикловой комиссии гуманитарных и фундаментальных дисциплин филиала ФГБОУ ВО «КГМТУ» в г. Феодосия,
протокол № ____ от ____________2018 г.
Председатель цикловой комиссии________________ Л.В. Сидорова
Методические указания утверждены на заседании методической комиссии СПО филиала ФГБОУ ВО «КГМТУ» в г. Феодосия,
протокол № от ______________2018 г.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1 ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
2 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
2.1 Практическое занятие № 1 «Целые и рациональные числа. Действительные числа»
2.2 Практическое занятие № 2 «Линейные уравнения, неравенства и их системы»
2.3 Практическое занятие № 3 «Квадратные уравнения, неравенства и их системы»
2.4Практическое занятие № 4 «Свойства и графики элементарных функций»
2.5 Практическое занятие № 5 «Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований»
2.6 Практическое занятие № 6 «Промежуточная аттестация»
2.7 Практическое занятие № 7 «Преобразование выражений, содержащих радикалы»
2.8 Практическое занятие № 8 «Иррациональные уравнения»
2.9 Практическое занятие № 9 «Иррациональные неравенства»
2.10 Практическое занятие № 10 «Иррациональные уравнения и их системы»
2.11 Практическое занятие № 11 «Преобразование выражений содержащих степени»
2.12 Практическое занятие № 12 «Преобразование выражений, содержащих логарифмы»
2.13 Практическое занятие № 13 «Построение графиков показательной функции с помощью преобразований»
2.14 Практическое занятие № 14 «Построение графиков логарифмической функции с помощью преобразований»
2.15 Практическое занятие № 15 «Решение показательных уравнений и неравенств» 52
2.16 Практическое занятие № 16 «Решение логарифмических уравнений и неравенств»
2.17 Практическое занятие № 17 «Радианная мера угла»
2.18 Практическое занятие № 18 «Тригонометрические функции угла и числового аргумента»
2.19 Практическое занятие № 19 «Свойства тригонометрических функций»
2.20 Практическое занятие № 20 «Основные формулы»
2.21 Практическое занятие № 21 «Формулы суммы и разности аргументов»
2.22 Практическое занятие № 22 «Формулы двойных и половинных углов»
2.23 Практическое занятие № 23 «Формулы приведения»
2.24 Практическое занятие № 24 «Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму»
2.25 Практическое занятие № 25 «Преобразование тригонометрических выражений. Доказательство тождеств»
2.26 Практическое занятие № 26 «Построение графиков функций синуса и косинуса с помощью преобразований»
2.27 Практическое занятие № 27 «Построение графиков функций тангенса и котангенса с помощью преобразований»
2.28 Практическое занятие № 28 «Обратные тригонометрические функции, Решение простейших тригонометрических уравнений»
2.29 Практическое занятие № 29 "Решение простых тригонометрических уравнений"
84
2.30 Практическое занятие № 30 «Решение тригономтрических уравнений методом замены переменной»
2.31 Практическое занятие № 31 Решение однородных тригонометрических уравнений»
2.32 Практическое занятие № 32 «Решение тригонометрических уравнений приведением к одной функции (с одинаковым аргументом)»
2.33 Практическое занятие № 33«Решение тригонометрических неравенств»
2.34 Контрольная работа № 1 96
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
Математика является одной из обязательных дисциплин математического и общего естественнонаучного учебного цикла подготовки специалистов среднего звена по специальностям 26.02.02 Судостроение, 22.02.06 Сварочное производство.
Знания, которые студент должен приобрести в результате изучения математики, необходимы для успешного изучения других общеобразовательных и специальных дисциплин (физики, информатики, статистики).
Настоящие методические указания содержат краткие сведения из теории по каждому разделу алгебры, изучаемому в первом семестре.
Методические указания включают следующие разделы математики: развитие понятия о числе, корни, степени и логарифмы, показательная, логарифмическая и степенная функции, основы тригонометрии. Каждое практическое занятие содержит тему, краткие теоретические сведения, примеры решения задач, задания для самостоятельной работы.
В конце изучения алгебры проводится зачетная контрольная работа, которая оценивается по пятибалльной системе. Примерные задания контрольной работы приведены в данных методических указаниях.
Студенты очной формы обучения могут использовать данные указания для самостоятельного изучения материала, при выполнении домашнего задания, при подготовке к контрольной работе и экзамену. Студенты заочной формы обучения могут использовать данные указания для самостоятельного изучения математики, для подготовки к семестровому контролю.
Учебная дисциплина математика является образовательной учебной дисциплиной в цикле математических и общих естественно-научных дисциплин, формулирующей базовые знания для освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин.
Методические рекомендации к практическим занятиям по дисциплине «Математика» (алгебра) разработаны в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика».
Содержание методических рекомендаций к практическим занятиям по дисциплине «Математика» (алгебра) соответствует требованиям Государственного стандарта среднего профессионального образования.
Целью изучения дисциплины «Математика» является формирование у студентов вычислительных навыков, получение студентами необходимых знаний и приобретение практических умений в области математики, усвоение внутрипредметных и межпредметных связей с физикой, информатикой, экономикой, а также воспитание достаточно высокой математической культуры.
Задачи дисциплины «Математика» (алгебра):
- расширение и систематизация общих сведений о функциях, изучение новых классов элементарных функций;
- расширение и совершенствование математического аппарата, сформированного в основной школе;
- формирование практических навыков решения уравнений, неравенств и их систем, применяя общие методы решения;
- расширение и углубление представлений о математике как элементе человеческой культуры, о применении её в практике;
- совершенствование интеллектуальных и речевых умений путём развития логического мышления, обогащение математического языка;
- использование математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:
- значение математики в профессиональной деятельности и при освоении ППССЗ;
- основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:
- выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приёмы, применения вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;
- находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;
- выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;
- строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;
- решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;
- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.
Рекомендуемое количество часов на освоение программы дисциплины:
- максимальной учебной нагрузки обучающегося 351 часов, в том числе:
обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 234 часов; самостоятельной работы обучающегося 117 часа
Распределение часов на изучение раздела «Алгебра»
|
№ |
Содержание раздела |
Кол-во часов |
Теоретических |
Практических |
Самостоятельная работа |
|
1 |
Раздел 1. Развитие понятия о числе |
25 |
2 |
12 |
11 |
|
2 |
Раздел 2. Корни, степени и логарифмы. |
28 |
4 |
14 |
10 |
|
3 |
Раздел 3. Показательная, логарифмическая и степенная функции |
32 |
10 |
10 |
12 |
|
4 |
Раздел 4. Основы тригонометрии |
53 |
8 |
32 |
13 |
|
|
Итого: |
138 |
24 |
68 |
46 |
Содержание методических указаний направлено на достижение следующих целей:
- обеспечения сформированности представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математики;
- обеспечения сформированности логического, алгоритмического и математического мышления;
- обеспечения сформированности умений применять полученные знания при решении различных задач;
- обеспечения сформированности представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.
Самостоятельная работа по дисциплине «Математика: (алгебра) направлено на достижение следующих результатов:
- Сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
- понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;
- развитие логического мышления,
- алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;
· овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественнонаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;
· готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;
· готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности;
· готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;
· отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;
· умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;
· умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;
· владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;
· готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;
· владение языковыми средствами – умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;
· владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения;
· целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность воспринимать красоту и гармонию мира;
- сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;
- сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;
- владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
- владение стандартными приёмами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
- владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.
С целью обеспечения успешного обучения студент должен готовиться к практическим занятиям, поскольку они являются важнейшей формой организации учебного процесса и выполняют следующие функции:
Ø способствуют расширению теоретических знаний, полученных на лекциях;
Ø систематизируют полученные знания;
Ø ориентируют в учебном процессе;
Ø формируют практические умения и навыки;
Ø учат применять теоретические знания для решения практических задач;
Ø помогают установить межпредметные связи.
Подготовка к практическим занятиям заключается в следующем:
- внимательно прочитайте материал лекций относящихся к данному практическому занятию, ознакомьтесь с учебным материалом по учебнику и учебным пособиям;
- постарайтесь уяснить место изучаемой темы в своей профессиональной подготовке;
- запишите возможные вопросы, которые вы зададите преподавателю на практическом занятии по теории;
- выпишите основные термины, определения, формулы;
- ответьте на контрольные вопросы по теме занятия, готовьтесь дать развёрнутый ответ на каждый из вопросов;
- уясните, какие учебные элементы остались для вас неясными и постарайтесь получить на них ответ до занятия;
- изучите примеры решения типовых задач , приведённые в ходе лекций;
- готовиться можно индивидуально, парами, в составе малой группы, последние являются эффективными формами работы;
- рабочая программа дисциплины, методические указания, разработанные преподавателем, могут быть использованы вами в качестве ориентира в организации обучения.
Практические занятия - одна из форм аудиторной работы по дисциплине, которые проводятся под руководством преподавателя. После выполнения заданий на практических занятиях у студентов должно сформироваться чёткое представление об объёме и характере знаний и умений, которыми необходимо овладеть при изучении дисциплины. Систе6матическое выполнение учебной работы на практических занятиях позволит успешно освоить дисциплину и создать хорошую базу для сдачи экзамена или зачёта.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Раздел I. Развитие понятия о числе.
1.1 Практическое занятие № 1
Тема: «Целые и рациональные числа. Действительные числа».
План.
1. Числовые множества.
2. Изображение действительных чисел на координатной прямой.
3. Модуль действительного числа.
Цель: систематизация и обобщение знаний студентов о числе, научиться записывать действительные числа в виде бесконечной десятичной дроби, изображать действительные числа, применять понятие модуля действительного числа к решению уравнений; развитие математического мышления обучающихся.
|
|
|
 |
|||
 |
|||
Практическая часть:
Упражнение 1. Представить каждую обыкновенную дробь в виде
периодической десятичной дроби: 
; 
; 
; 
; 
.
Образец. Представить
в виде
периодической десятичной дроби.
1. Разделить 3 на 22.
2.
Записать 
= 0,136363636… = 0,1(36).
Упражнение 2. Представить каждую бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: 0,(3); 0,(13); 0,(27); 0,(128); 0,0(3); 0,2(3); 2,(14); 0,12(0)
Образец №1.
Бесконечная десятичная дробь может быть записана в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
0,(7) = 0,7777777… = 
+ 
+ 
+ … , у которой первый член 
=
, а знаменатель q=
. Сумма членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии вычисляется по формуле S = 
.
S = 
= 
= 
= 
. 0,(7) =
.
Ответ: 0,(7) =
.
Образец № 2. 0,2(9) = 
+ 
+ 
+ 
+ … = 
+ 
= 
+ 
= 0,3 = 0,3(0).
1.
|
|
|
|
|
|
|
Изображение
действительных чисел на координатной прямой.
2. Модуль действительного числа.
|
Определение |
Геометрический смысл модуля |
||||||||||||||
|
Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число ему противоположное, модуль нуля равен нулю.
|
     =OA,  =OB,  =AB.
На координатной прямой модуль – это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число. Модуль разности двух чисел a и b - это расстояние между точками a и b на координатной прямой. |
Практическая часть.
Упражнение
№3. Решить уравнения: а) 
= 4; б) 
= 6; в) 
= 7; г) 
= 7.
Образец. Решить уравнение 
= 4;
1. Заменить по определению уравнение с модулем совокупностью двух уравнений, не содержащих модуль
2. Решить каждое уравнение совокупности
Ответ: 0,8; 2,4.
Упражнение № 4. Решить неравенства а) 
>7; б) 
5; в) 
< 3; г) 
4;
|
|
1;
|
|
1.
Внимание на знак неравенства
2. Заменяется системой неравенств, не содержащих знак модуля
Решается
составленная система неравенств:
Ответ: х 
|
|
3;
|
|
|
3.
Внимание на знак неравенства
4. Заменяется совокупностью неравенств, не содержащих знак модуля
Решается
составленная система неравенств:
х 
.
Вопросы для контроля:
- Какие числа называются а) натуральными; б) целыми; в) рациональными; г) иррациональными; д) действительными?
- Как обозначаются множества: а) натуральных чисел; б) целых чисел; в) рациональных чисел; г) действительных чисел?
- Может ли разность двух отрицательных чисел быть положительным числом?
- Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом?
- Может ли произведение иррациональных чисел быть рациональным числом?
- В каком случае несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби?
- Верно ли, что каждой точке координатной оси соответствует действительное число и каждому действительному числу соответствует точка координатной оси?
Домашнее задание: Учебник Гл. I, §11.1 – 1.2,
1.
Решить уравнения: а) 
= 11; б) 
= 7;
2.
Решить неравенства: а) 
11; б) 
6.
3. Представьте каждую дробь в виде обыкновенной: а) 0,(54); б) 0,5(3); в) 2, 4(5); г) 7, 008 (0).
1.1 Практическое занятие № 2
Тема: «Линейные уравнения, неравенства и их системы»
План.
4. Определение линейного уравнения.
5. Теоремы о равносильности уравнений. Решение линейных уравнений.
6. Системы линейных уравнений и их методы их решения.
7. Линейные неравенства и их решение.
8. Системы линейных неравенств и их решение.
Цель: систематизация и обобщение знаний студентов о линейных уравнениях , неравенствах и их системах, научиться решать линейные уравнения, неравенства и их системы; развитие математического мышления обучающихся.
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ.
Уравнение вида ax + b = 0, где х – неизвестная величина, а а и b - некоторые числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным.
|
имеет один корень, который вычисляется по формуле
2. Теоремы о равносильности уравнений
|
Теорема |
Пример |
|
1. Для любого числа равносильны уравнения F(x) = G(x)
и F(x) |
х + 1 = 2 х + 1 = 2 |
|
2.
Для любого числа а F(x) = G(x)
и F(x) (каждый член уравнения можно умножить на одно и тоже число не равное нулю) |
3х +6 = -9 |
|
3. Равносильны уравнения F(x) + P(x) = G(x), F(x) = G(x) - P(x) , P(x) = G(x) - F(x) и F(x) + P(x) - G(x) = 0 (члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, меняя их знаки на противоположные) |
х + 1 = 2 6 – х = х
|
Алгоритм решения линейных уравнений.
1. Если уравнение имеет дробные коэффициенты, его надо привести к уравнению с целыми коэффициентами, умножив каждый член уравнения на число, равное наименьшему общему кратному знаменателей (теорема 2).
2. Если в уравнении есть скобки их надо раскрыть ( правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или знак «-«; правило умножения одночлена на многочлен; правило умножения многочленов; формулы сокращённого умножения).
3. Перенести (теорема 3) члены содержащие неизвестные в левую часть уравнения, а члены, не содержащие неизвестное в правую часть уравнения.
4. Привести подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения.
5.
Из уравнения ах = b найти
корень по формуле X
= 
.
6. Записать ответ ( в ответе записать число).
Пример 1
(образец). Решить уравнение 
= 
.
|
№ |
Алгоритм решения |
Пример |
|
1 |
Найти наименьшее общее кратное знаменателей |
НОК (2; 7) = 14 |
|
2. |
Каждый член уравнения умножить на НОК |
|
|
3. |
Сократить полученные дроби |
|
|
4. |
Раскрыть скобки |
35х – 28 = 32х + 2 |
|
5. |
Перенести члены содержащие неизвестное в левую часть уравнения, не содержащие неизвестное в правую часть уравнения. |
35х -32х = 2 + 28 |
|
6. |
Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения. |
3х = 30 |
|
7. |
Из полученного уравнения найти х |
Х = 30 : 3; х = 10. |
|
8. |
Записать ответ |
Ответ: 10. |
Упражнение № 1 Решить уравнения:
а) 
= 
б) 
= 
.
Системы линейных уравнений и их методы их решения.
Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство. Системы уравнений были известны в древности. В древневавилонских текстах, написанных в III – II тысячелетиях до н.э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений.
|
Графический способ решения систем уравнений |
||||||||||||||||||
|
Решить систему |
||||||||||||||||||
|
1. |
Выполнить равносильные преобразования в системе так чтобы удобно было построить график |
|
||||||||||||||||
|
2.
|
Построить в одной системе координат график каждого уравнения
|
   
 
|
||||||||||||||||
|
3. |
Найти точку пересечения графиков уравнений |
Точка А |
||||||||||||||||
|
4. |
Найти координаты точки пересечения графиков функций |
А( |
||||||||||||||||
|
5. |
Записать ответ |
Ответ: ( |
||||||||||||||||
Решить систему уравнений графическим способом:
|
Решение систем уравнений методом подстановки |
||
|
Решить систему |
||
|
1. |
Из одного уравнения выразить одну переменную через другую и известные величины. |
|
|
2. |
Найденное значение переменной подставить во второе уравнение |
|
|
3. |
Решить второе уравнение |
|
|
4. |
Найденное значение переменной подставить в первое уравнение и вычислить значение второй переменной |
|
|
5 . |
Записать ответ |
Ответ: (1; 0). |
Упражнение № 3 Решить систему уравнений 
|
Решение систем уравнений методом сложения |
||
|
Решить систему |
||
|
1. |
Уравнять коэффициенты при одной переменной путём почленного умножения на специально подобранные множители |
|
|
2. |
Сложить (вычесть) почленно уравнения системы, исключая одну из переменных |
|
|
3. |
Решив первое уравнение, найдём одно из неизвестных |
|
|
4. |
Найденное значение переменной подставляем во второе уравнение |
|
|
5. |
Решив второе уравнение находим второе неизвестное |
|
|
6. |
Записать ответ. |
Ответ: ( |
Упражнение № 4. Решить систему уравнений способом сложения 
Линейные неравенства и их решение.
3. Теоремы о равносильности неравенств
|
Теорема |
Пример |
|
1. Для любого числа равносильны уравнения F(x) > (<) G(x)
и F(x) |
х + 1 < 2 х + 1 >2 |
|
2.
Для любого числа а F(x)>G(x)
и F(x) (каждый член неравенства можно умножить на одно и тоже положительное число) |
|
|
3.
Для любого числа а F(x)>G(x)
и F(x) 4. (каждый член неравенства можно умножить на одно и тоже отрицательное число, при этом знак неравенства поменяется на противоположный) |
3х +6 > -9 |
|
5. Равносильны уравнения F(x) + P(x) < G(x), F(x) <G(x) - P(x) , P(x) = G(x) - F(x) и F(x) + P(x) - G(x) < 0 (члены неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя их знаки на противоположные) |
х + 1 > 2 6 – х > х
|
|
Решение неравенств |
||||
|
Решить неравенство |
||||
|
1 |
Найти наименьшее общее кратное знаменателей |
НОК (2; 7) = 14 |
||
|
2 |
Каждый член неравенства умножить на НОК |
|
||
|
3 |
Сократить полученные дроби |
|
||
|
4 |
Раскрыть скобки |
35х – 28 |
||
|
5 |
Перенести члены содержащие неизвестное в левую часть уравнения, не содержащие неизвестное в правую часть уравнения. |
35х -32х |
||
|
6 |
Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения. |
30
|
||
|
7 |
Найти числовой промежуток, которому принадлежит переменная |
|
||
|
8 |
Записать ответ |
Ответ: [10; + |
||
Упражнение 5. Решить неравенство 5(х – 1) + 7
1 – 3 (х + 2)
Системы и совокупности неравенств с одной переменной.
|
Решение систем неравенств |
Решение совокупности неравенств |
|||||||||
|
Отдельно решить каждое уравнение |
|
Отдельно решить каждое уравнение |
|
|||||||
|
Найти пересечение найденных решений |
Ответ: нет решенияя |
Найти объединение найденных решений |
 Ответ: (-
|
|||||||
Упражнение 6. Решить систему неравенств 
Упражнение № 7 Решить
совокупность неравенств 
.
Домашнее задание.
1. Решить уравнение 
– 
= 
.
2. Решить систему уравнений 
1.2 Практическое занятие № 3
Тема: «Решение квадратных уравнений и неравенств. Решение систем уравнений, в которых одно из уравнений квадратное»
План.
1. Квадратное уравнение и его решение.
2. Квадратное неравенство и его решение
3. Решение систем уравнений, в которых одно уравнение квадратное
Цель: систематизация и обобщение знаний студентов о квадратных уравнениях и способах их решения; формирование навыка решения квадратных уравнений, неравенств и их систем; развитие логического мышления и математической культуры.
Квадратное уравнение и его решение.
Квадратным
уравнением называется уравнение вида а
+bx
+ c = 0,
где a
, b, c
- некоторые числа, х – переменная.
|
РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ |
||||||||
|
Полное квадратное уравнение |
Приведённое квадратное уравнение |
Уравнение с чётным вторым коэффициентом |
||||||
|
а b |
а
|
а |
||||||
|
D
= |
D
= |
|
||||||
|
D > 0 |
D = 0 |
D < 0 |
D > 0 |
D = 0 |
D < 0 |
D > 0 |
D = 0 |
D < 0 |
|
|
|
Нет корней |
|
|
Нет корней |
|
|
Нет корней |
Упражнение
1. Решить уравнения: а) 3
-7х + 4 = 0; б) 5
-8х + 3 = 0 в) 
-10х - 24 = 0 г) 
= 
|
НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
||
|
а b |
а b |
а b |
|
а |
а |
а |
|
Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет два различных корня. |
При любых допустимых значениях коэффициентов а и b уравнение имеет два различных корня |
При любом допустимом значении коэффициента а уравнение имеет корень |
|
|
|
|
Упражнение
№ 2. Решить уравнения: а) 
- 50 = 0 б) 
+ 10х = 0 в) 
- 30 = 0 г) 
+ 81 = 0 д) 
- 42х = 0
Квадратное неравенство и его решение
Пусть
дано неравенство 
. Всякое значение
переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается
в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной
переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или
доказать, что их нет.
|
|
|||||||||||||
|
С помощью графика квадратичной функции |
Методом интервалов |
||||||||||||
|
|
а |
||||||||||||
|
|
|
Найти корни квадратного трёхчлена |
|
||||||||||
|
Внимание на знак неравенства |
Если знак неравенства «меньше», то в качестве ответа выбирается числовой промежуток (
|
Отметить их на координатной прямой и определить знаки на каждом числовом промежутке |
при а>
        0
В соответствии с знаком неравенства выбрать числовой промежуток |
||||||||||
Упражнение
№ 3 Решить неравенства: а) 3
- 7x + 4 < 0 методом интервалов;
Б) 2
- 9x + 10 < 0 с помощью графика квадратичной функции
Упражнение
4. Решить систему уравнений 
Домашнее задание:
1. Решить уравнения а) (х – 4)(4х – 3) + 3 = 0;
б) 
+ 1 – 
= 
2.
Решить систему 
1.4 Практическое занятие № 4
Тема: «Свойства и графики элементарных функций».
План.
1.Линейная функция y = kx + b
2. Функция y = 
(k
0)
3. Функция
y = a
(a
0)
4. Практическая часть: построение графиков функций.
Цель: повторение и обобщение свойств элементарных функций; построение графиков; развитие логического мышления и умения обобщать и систематизировать имеющиеся знания.
Повторение и обобщение свойств основных видов функций.
1) Самостоятельная работа студентов: закончить предложения.
a)
Областью определения функции y = 
является … (ответ: (- 
; 1) 
(1; 
))
b)
Областью определения функции y = 
является … (ответ: x 
1).
c)
Областью значений функции y = 
+1 является … ( числовой промежуток [1; 
) ).
d)
Если для функции y = f(x)
выполняется равенство f(-x) = f(x) для всех x 
D(f), то функция … (называется чётной).
e) График нечётной функции симметричен относительно …. (начала координат).
f) Если для некоторых значений х1 и х2 из области определения функции y = f(x) при условии х1 < х2 выполняется неравенство y1 < y2, то функция … (называется возрастающей).
Свойства изученных в основной школе функций записаны в таблице:
|
Функция |
|
D(y) |
E(y) |
Чётн. нечётн. |
Возрастание убывание |
||||||||||||||||
|
Линейная y =kx+b |
 
|
R |
R
b |
Не чётная, не нечётная |
возрастает |
||||||||||||||||
|
|
убывает |
||||||||||||||||||||
|
|
Не чётная |
Возраст. или убыв. в завис–ти от k. |
|||||||||||||||||||
|
|
чётная |
постоянная |
|||||||||||||||||||
|
Обратная пропорциональность
y = |
|
х |
х |
нечётная |
Убывает на каждом из промежутков (- (0;
|
||||||||||||||||
|
|
|
х |
х |
нечётная |
Возрастает на каждом из промежутков (- (0; |
||||||||||||||||
|
y = a
|
a>
 0
|
R |
[0, |
чётная |
(- (0;
|
||||||||||||||||
|
y = a
|
a>
   0
|
R |
[0, |
чётная |
(-
(0;
|
||||||||||||||||
|
|
 
 a < 0
|
|
(- |
|
(- (0; |
||||||||||||||||
|
y =
|
|
R
|
R |
нечётная |
возрастает
|
||||||||||||||||
|
|
убывает |
||||||||||||||||||||
|
y =
|
|
R |
[0, |
чётная |
(-
[0; |
||||||||||||||||
|
y =
|
 
|
[0; |
[0; |
Не чётная, не нечётная |
[0;
|
||||||||||||||||
|
 +bx+c
(a
|
   a >
0
|
R |
[
|
Не чётная, не нечётная |
[
( - |
||||||||||||||||
|
   
 a < 0
|
(- |
( -
[ |
|||||||||||||||||||
|
y = [x]
|
 
|
R |
Z |
Не чётная, не нечётная |
Постоянная х n |
||||||||||||||||
|
y = {x}
|
|
R |
[0; 1) |
Не чётная, не нечётная |
Возрастает х n |
||||||||||||||||
Практическая часть: построить графики функций
a) y = x-2,
b) y = 3-x
c)
y = 
-2x
d)
y = -4x + 3
e)
y = 4x - .
Домашнее задание: §3, п. 3.1, № 3.2, № 3.5 (а, б, д) учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс, С.М. Никольский, М, Просвещение, 2014
1.5 Практическое занятие № 5
Тема: «Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований».
План.
1.Решение упражнений на свойства функций
2.Систематизация знаний о геометрических преобразованиях графиков функций.
Цель: формирование умений строить графики функций с помощью геометрических преобразований, развитие логического мышления, формирование математической культуры.
1.
Найти область определения
функций y = 
, y = 
, y = 
+ 
.
|
|
Решение:
y
= 
,
0. Корни трёхчлена х1 = 3, х2
= 2.
D(y) = ( - 
; 2] 
[3, )
y
= 
Знаменатель дроби не равен 0. х – 2 
0; х 2.
D(y) =
( - ; 2)
(2,
).
y = 
+ 
. Область определения функции является решением
системы
|
|
< = > 
D(y) = (0; 1)
(1, ).
3.
Исследовать функции на чётность
и нечётность функции f(x) = (2x - 
), f(x) = 
.
Область определения функции f(x) = (2x - 
) – всё множество действительных чисел.
f(-x) = 
(2(-х) – 
) = (- 2x + 
) = - (2x - 
) = - f(x) - нечётная.
Область определения функции f(x) = 
– всё множество действительных чисел.
f(-x) = 
= 
= f(x) - чётная.
Повторение и систематизация знаний студентов о геометрических преобразованиях графиков функций.
Запас функций, графики которых мы умеем строить пока не велик. Но используя свойства с курса геометрии и алгебры о преобразовании фигур, этот список можно значительно расширить.
I. Сдвиг графика элементарной функции по осям координат.
y = f(x +a) - график функции y = f(a) сдвинуть по оси Ох на а единиц влево, если а положительное число, и на а единиц вправо, если а отрицательное число.
y = f(x) +a - график функции y = f(a) сдвинуть по оси Оy на а единиц вверх, если а положительное число, и на а единиц вниз, если а отрицательное число.
Построить графики функций:
a)
y = 
b) y = 
c)
y = 
d)
y = 
– 2.
e)
y = 
+ 1
f)
y = 
+ 2
II. Построение графиков функций с использованием симметрии.
y = - f(x) - график функции y = f(x) отобразить симметрично оси Ох;
y = f(- x) - график функции y = f(x) отобразить симметрично оси Оy;
y = 
- часть графика функции y = f(x)
в верхней полуплоскости и на оси Ох оставить без изменений, а часть
графика расположенную под осью Ох отобразить относительно оси Ох в
верхнюю полуплоскость.
y = f(
) - часть графика функции y = f(x)
в правой полуплоскости и на оси Оy оставить
без изменений; часть графика функции y = f(x),
расположенную в левой полуплоскости удалить; сохранённую часть графика
функции y = f(x) в правой полуплоскости и на оси Оy
отобразить симметрично оси Оy в левую полуплоскость.
Построить графики функций:
a)
y = 
b) y = - 
c)
y = 
d) y = - 
e)
y = 
.
Выполняя
последовательно построение графиков функций y = f(
) и y = 
построить
графики функций:
y = 
y = 
Домашнее задание: §3, п. 3.1, № 3.4, № 3.5 (в, г) , № 3.6 (а-г) учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс, С.М. Никольский, М, Просвещение, 2014
1.6 Практическое занятие № 6
Тема: «Промежуточная аттестация»
План.
1. Математический диктант
2. Построение графиков с помощью геометрических преобразований.
3. Самостоятельная работа.
Цель: формирование умения строить графики функций с помощью геометрических преобразований; контроль усвоения знаний и сформированность умений по теме; развитие логического мышления.
1.Математический диктант.
Запишите формулой функцию, график которой получен в результате:
-
Параллельного переноса графика
функции y = 
на 3 единицы вправо вдоль оси Ох;
-
Параллельного переноса графика
функции y = 
на 3 единицы влево вдоль оси Ох;
-
Параллельного переноса графика
функции y = 
на 3 единицы вверх по оси Oy;
-
Параллельного переноса графика
функции y = 
на 3 единицы вниз по оси Oy;
-
Растяжения графика функции y = 
от точки О(0; 0) вдоль оси ординат в 3 раза;
-
Сжатия графика функции y = до точки О (0; 0) вдоль оси абсцисс в 3 раза.
(рис.а)
2.Построить графики функций;
Ø
y = 
–1 (рис. а)
Ø
y =
– 1
(рис.б)
(рис.б)
Ø y = 1
– 
(рис.в)
(рис.
в)
Ø y = 
(рис. г)
(рис.
г)
3.Самостоятельная работа
Вариант 1.
1.
Найдите область определения
функции y = 
.
2.
Исследовать на чётность и
нечётность функцию y = 
- х.
3.
Постройте график функции: а) y = 
- 2; б) y = 
Ответы: 1) D(e) =
(- 
(-3; 3) 
(3; ); 2) нечётная; 3)
а) 
б)
Вариант 2.
1.
Найдите область определения
функции y = 
.
2.
Исследовать на чётность и
нечётность функцию y = 
- .
3.
Постройте график функции: а) y = 
+ 2; б) y = 
Ответы: 1) D(e) =
(- 
(-2; 2) 
(2; ); 2) чётная; 3)
а)
б) 
Домашнее задание: §3, п. 3.1, № 3.7 учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс, С.М. Никольский, М, Просвещение, 2014
1.7 Практическое занятие № 7
Тема: «Преобразование выражений, содержащих радикалы»
План.
1.Преобразовапние корней.
2.Сравнение радикалов.
3.Действия над радикалами
Цель: познакомить студентов с простейшими преобразованиями радикалов: вынесение множителя из под знака радикала, внесенение множителя под знак радикала; приведение радикалов к простейшему виду; дать понятие подобных радикалов; сформировать умение сравнивать радикалы; познакомить студентов с действиями над радикалами; развитие практических умений и навыков, логического мышления и математической культуры.
Ответить на вопросы:
Ø
Что называют арифметическим
корнем степени n (n 2) из числа а?
Ø
Для каких чисел а 
R введено понятие арифметического корня степени n (n 2)
из данного числа а?
Ø
Сколько существует арифметических
корней степени n (n 2) из данного числа а?
Ø
Верны ли для любого
неотрицательного числа а и любого натурального числа n (n 2)
равенства 
= 
= a?
Ø
Если 
= 
, то всегда ли a = b? (n N, n 2)
Ø
Чему равен корень степени n (n 2)
из произведения неотрицательных чисел?
Ø
Чему равен корень степени n (n 2)
из частного положительных чисел?
Ø
Чему равен 
, если a
R?
Ø
Чему равен 
, если a - любое действительное
число?
Ø Какие свойства корней n-ой степен6и вам известны?
Изученные свойства корней дают возможность выполнять преобразования корней.
Вынесение множителя из - под знака корня.
В некоторых случаях подкоренное выражение раскладывается на множители так, что из одного или нескольких из них можно точно вычислить корень. Вычислив корни, можно полученные результаты записать перед корнем в качестве множителей. Множители из которых корень точно не извлекается остаются под знаком корня. Такое преобразование называется вынесением множителя за знак корня.
Например:
= 
= 
·
= 2
;
= 
= 
· 
= 2
;
= 
= 
· 
$
= 
= 
· 
= 
.
Решить упражнения:
Вынести множитель за знак радикала: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Вынести множитель за знак корня, если a>
0, b > 0: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Вынесите множитель за знак корня: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Внесение множителя под знак корня.
Преобразование обратное вынесению множителя из-под знака корня называется внесением множителя под корень.
Чтобы внести множитель под знак корня надо записать его множителем под корнем в степени равной степени корня.
Например:
2
= 
= 
= 
;
3
= 
= 
= 
;
а
= 
= 
;
a
= 
Решить упражнения:
Внести множитель под знак корня: а) 3
б) -2
,
в) 
, г) 
.
Внести множитель под знак корня, если a>
0, b > 0: а) -b
б) ab 
в) a
г) -ab
Внести множитель под знак корня: а) a
;
б) a
;
в) -ab
.
Приведение радикалов к простейшему виду, понятие подобных радикалов.
Будем считать, что радикал приведён к простейшему виду, если: подкоренное выражение не содержит дробей; рациональные множители вынесены за знак корня; показатель корня и пок5азатель подкоренного выражения разделены на их наибольший общий множитель.
Например. Приведём радикалы к простейшему виду:
а) 
= 
= 
; б) 
= 2
.
Радикалы называются подобными, если после
приведения их к простейшему виду они имеют равные подкоренные
выражения и равные показатели корня. Например, подобными являются
радикалы: а) 3; а; 
; б) 5
, 
, (a-1)
.
Рациональный множитель, который стоит
перед корнем, называется коэффициентом. Например, 3
. В этом выражении 3- коэффициент. Чтобы
утверждать, подобны радикалы или нет, их надо привести к простейшему
виду.
Например,
и 
подобные, так как 
= 
= 3
, а 
= 
= 2
.
Решить упражнения:
а) упростить: 
; 
, где b>0;
б) подобны ли радикалы: 
и 
; 
и 
?
Сравнение радикалов.
Для сравнения радикалов применяется
теорема: если a > b 0 то 
> 
, то есть большему положительному подкоренному
выражению соответствует и большее значение корня.
Например, сравнить 
и 
. Представим 
и 
в виде корней с одинаковым показателем.
= 
= 
= 
= 
.
Согласно теоремы, 32 > 27 < = > 
> 
< = > 
> 
.
Решить упражнения:
а) Сравнить числа: 
и 
; 
и 
;
б) Что больше 
или 
; 
или 
; 
или ?
в) Что меньше 
или 
; 
или 
?
Действия над радикалами.
Сложение и вычитание радикалов выполняется как и сложение и вычитание рациональных одночленов (многочленов).
Примеры:
а) 3
-5
+ 12
= (привести радикалы к
простейшему виду)
= 3
-5
+ 12
= 6 -15 + 60 = (6-15+60)
= 51;
б) 
- (2
- 3
) = 
- 2
+ 3
=4 
- 6
+ 6
= 4 
При умножении (делении) радикалов с разными показателями сначала их надо привести к одинаковому показателю, а затем перемножить (разделить) подкоренные выражения и записать произведение (частное) под знак корня с тем же показателем.
Примеры:
а) 
· 
= 
· 
= 
= 
= 
;
б) 
: 
= 
: 
= 
= 
Домашнее задание: §3, п. 3.1, № 3.74-3.77 (в, г), №3.79 (в-е) учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс, С.М. Никольский, М, Просвещение, 2014
1.8 Практическое занятие № 8
Тема: «Иррациональные уравнения»
План.
1. Понятие иррационального уравнения. Область решения иррационального уравнения
2. Решение иррационального уравнения
3. Способы решения иррациональных уравнений.
Цель: углубление знаний студентов об иррациональных уравнениях ; ввести понятия область решения уравнения, решение уравнения, что значит решить уравнение; рассмотреть способы решения иррациональных уравнений; развитие логического мышления и математической культуры студентов.
Уравнения, в которых переменная находится под знаком корня, называются иррациональными.
Например,
= 8, 
= 2.
Корнем иррационального уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Решить иррациональное уравнение - значит найти его корни.
Область решения уравнения - множество значений среди которых могут быть решения уравнения.
Все корни чётной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишён смысла (уравнение не имеет решения; если подкоренное выражение равно нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.
Все корни нечётной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. При этом корень отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если подкоренное выражение положительно.
Функции
y = 
и y = 
являются возрастающими на всей области определения.
Используя эти свойства, в некоторых случаях, можно установить, имеет ли уравнение корни, не прибегая ни к каким преобразованиям.
Например, доказать, что уравнение не имеет корней:
1.
= -2 (арифметический корень не может равняться
отрицательному числу). Ответ: нет решения.
2.
+ 
= 0 (область решения уравнения 
Значит 
. При каждом таком х величина 
неотрицательна, а величина 
положительна. Следовательно их сумма всегда
больше нуля). Ответ: нет решения.
3. 
– 
= 2 (область решения уравнения 
 |
 |
Следовательно, не существует таких значений х, при которых оба корня существуют). Ответ: нет решения.
4.
= 
( выражение 
определено при х
. При таких значениях х верно неравенство х -
5<0. Поэтому выражение 
отрицательно. Левая часть уравнения
неотрицательна, а правая - отрицательна, чего быть не может) Ответ: нет
решения.
5.
5
- 3
+ 
= 4 (выражение имеет смысл при х
, выражение 
имеет смысл при х
но дробь 
при х = 0 не существует) Ответ: нет решения
6.
– 
= 
( область решения данного уравнения определяется
системой 
из которой х
. При любом х верно неравенство х-3<х+9;
поэтому 
< 
, значит разность 
– 
< 0 –отрицательное число. В то же время на
области решения уравнения 
) Ответ: нет решения.
Решение иррациональных уравнений основывается на
приведении данного уравнения с помощью некоторых преобразований к
рациональному уравнению.
Способ возведения левой и правой части уравнения в одну и ту же степень.
Иррациональное уравнение приводится к рациональному уравнению возведением левой и правой части уравнения в одну и ту же степень (степень равную показателю степени корня).
При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
1) если показатель корня - четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (определение корня с четным показателем степени);
2) если показатель корня - нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения
Пример 1. Решить уравнение 
Решение. Возведем обе части
уравнения в квадрат.
x2 - 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных
слагаемых x2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.
Произведем проверку
полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в
исходное уравнение.
Проверка.
При x1 = -2 
-
истинно:
При x2 = -2 
-
истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное
уравнение имеет два корня -2 и 2.
При возведении обеих частей уравнения в нечётную степень всегда получаем уравнение равносильное данному на его области решения.
Например, 
= 3;
= 
;
х+7 = 27;
х=20. Ответ: 20.
Решить уравнения. 
=2, (Ответ: 9); 
= 3; 
= - 3
Если для решения иррационального уравнения обе части уравнения необходимо возвести в чётную степень, то получим уравнение-следствие. Получение уравнения-следствия гарантирует нахождение корней, но при этом возможно появление посторонних корней. Если все найденные корни входят в область решения уравнения, то необходимо делать проверку каждого корня. Если среди найденных корней есть такие, которые не входят в область решения уравнения, то это посторонний корень, а остальные проверять.
Например, = 2-х;
= 
;
х = 4 – 4х + ;
-5х + 4 =0;
х1 = 1 и х2 = 4.
Оба корня входят в область решения уравнения (х
.
Выполняем проверку: если х = 1, то 
= 2-1 - верное равенство;
если х = 4, то 
= 2-4; 2=-2 - неверное равенство. Значит х = 4
посторонний корень.
Ответ: 1.
Решить уравнения. 
= х-5; 
+ х = 4;
Способ уединения корня.
В иррациональном уравнении сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.
Пример. Решить уравнение 
- 
= 3.
Решение.
Уединив первый радикал,
получаем уравнение
= 
+ 3, равносильное исходному.
Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение
x2 + 5x + 2 = x2
- 3x + 3 + 6
,
равносильное уравнению
4x - 5 = 3
(1). Это уравнение является следствием
исходного уравнения.
Возводя обе части
уравнения в квадрат, приходим к уравнению
16x2 - 40x + 25 = 9(x2 - Зх + 3), или
7x2 - 13x - 2 = 0.
Это уравнение является
следствием уравнения (1) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни.
Первый корень x1 = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x2
= 
- не
удовлетворяет.
Ответ: x = 2.
Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громоздкие преобразования.
Решить уравнения. 
+
=3; 
+ 
= 5; 
– 
= 2.
Способ подстановки (замены переменной)
При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).
|
Методы решения иррациональных уравнений |
|
|
Определение: Уравнения, в которых переменная находится под знаком корня, называются иррациональными. Например,
|
|
|
Способ возведения левой и правой части уравнения в одну и ту же степень.
|
Пример 1. Решить уравнение Ответ: -2; 2. |
|
Способ уединения корня.
|
Пример. Решить уравнение Решение. Уединив первый радикал,
получаем уравнение Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение x2 + 5x + 2 = x2
- 3x + 3 + 6 4x - 5 = 3 Возводя обе части
уравнения в квадрат, приходим к уравнению 7x2 - 13x - 2 = 0. Это уравнение
является следствием уравнения (1) (а значит, и исходного уравнения) и имеет
корни. Первый корень x1 = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а
второй x2 = Ответ: x = 2. |
|
Способ подстановки (замены переменной)
|
Пример. Решить уравнение 2x2 - 6x + Решение. Введем вспомогательную
переменную. Пусть y = Подставив новую переменную в данное уравнение, получим уравнение 2y2 + y - 10 = 0, корни которого y1 = 2и y2 = - 2,5. Второй корень не
удовлетворяет условию y |
1.Возведем
обе части уравнения в квадрат.
- 
= 3.
=
+
3, равносильное исходному.
,
равносильное уравнению
(1). Это уравнение является
следствием исходного уравнения. 
-
не удовлетворяет.
+
2 = 0.
,
где y 
0.
Тогда 
0.
=
2;Уравнения для
самостоятельного решения:
Решить уравнения: а) 
+3
= 4 (Замена: 
= t, 
= 
= 
);
б) 
+ 2
= 3;
Домашнее задание: Гл. II, §8, п. 8.1, 8.2 № 8.8 (а, б), № 8.9 (в-е) учебник «Алгебра и начала математического анализа» 11 класс, С.М. Никольский, М, Просвещение, 2014
1.9 Практическое занятие № 9
Тема: «Иррациональные неравенства».
План
1. Понятие иррационального неравенства
2. Равносильные преобразования иррациональных неравенств
3. Метод интервалов для решения иррациональных неравенств
Неравенства
вида 
> g (x),
< g (x),
g (x), 
g (x) называются иррациональными
неравенствами.
Решением иррационального неравенства называют все значения переменной, которые обращают его в верное неравенство.
|
Ø
из неравенства 
> g(x) следует неравенство f(x)
> 
Ø 
< g(x) следует 
.
Пример. 
< х-2 < = > 
< = > 
< = > 
|
Ответ:
(5; +)
Ø
> g(x) следует 
или 
.
Пример. 
> х-2 < = > 
< = >
Ответ: (0,5; 2)
|
Решение неравенств методом интервалов.
Решение неравенств методом интервалов опирается на свойства функций, связанные с изменением знаков функций.
Функция может изменить свой знак только в двух случаях:
ü
Если график функции
разрывается в некоторой точке х0. Например, график функции
y = разрывается в точке х0 = 0 и знак функции в этой точке
меняется.
ü Если график функции без разрыва переходит из нижней полуплоскости в верхнюю (или наоборот), то есть при переходе через нуль функции.
Точки, в которых разрывается график функции, определяют при нахождении области решения уравнения. Если на каком – нибудь промежутке области определения график функции не разрывается и функция не равна нулю, то она не может на этом промежутке поменять свой знак.
Чтобы найти нули функции, надо приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Нули функции разбивают её область определения на промежутки, внутри которых функция не может менять свой знак.
План решения неравенства методом интервалов
|
Пример |
Комментарий |
План решения |
||||||||
|
О.Д.З. х + 4 |
Данное неравенство
равносильно неравенству
|
Найти ОДЗ неравенства |
||||||||
|
Нули функции
х + 4 = (х+2)2; х + 4 = х2 +4х+4; х2 +3х = 0; х=0 и х= -3 – посторонний корень |
Функция y = |
Найти нули функции y = 0. |
||||||||
|
   
|
Отметим нули на области
определения функции y = |
Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции в каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ. |
||||||||
|
Ответ: [- 4; 0] |
На рисунке видно, что решением является отрезок [- 4; 0] |
Записать ответ, учитывая знак неравенства |
Пример №1
>
1.
ОДЗ: 
; 
; 
.
2.
Находим корни: 
= 
,
х+3 = 2х-5,
-х = -8,
х = 8.
 |
|
3.
|
|
Выполняем рисунок:
Определяем
знаки на числовых промежутках: 
- 
= - 
>0.
4.
Ответ: х 
Пример №2 Решить неравенство методом интервалов.
. 
Решить неравенства
методом интервалов. а) 
> 
;
б) 
< 
; в) 
Рассмотрим метод помогающий решать сложные иррациональные неравенства. Это метод замены функций (замены множителей). Суть метода замены заключается в том, что разность значений монотонных функций можно заменить разностью значений их аргументов.
Рассмотрим иррациональное
неравенство вида 
<
,
то есть 
– 
< 0.
По теореме, если p(x) возрастает на некотором промежутке, которому принадлежат a и b, причем a>b, то неравенства p(a) – p(b) > 0 и a – b > 0 равносильны на D(p), то есть
Решим методом замены множителей неравенство.
Пример 1. Решить
неравенство 
> 
методом замены функций.
Решение.
Знак неравенства совпадает
со знаком разности 4 – х2 – х – 5 при условии, х принадлежит
области определения функции. Значит данное неравенство равносильно
системе 
Второе и третье неравенства системы позволяют
найти ОДЗ как [-2; 2]
. Значит, х принадлежит отрезку [-2; 2].
Первое неравенство после выполнения тождественных преобразований примет вид
х2 + х +1 < 0, дискриминант которого меньше нуля. При положительном а=1 неравенство не имеет решения. Значит и данное неравенство не имеет решения.
Ответ: х ø.
Решить неравенства. 
> 
;
;
Домашнее задание: Конспект, Алгебра и начала анализа, 11 класс, учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углублённый уровень - С.М. Никольский, М, Просвещение, 2014 Глава II, § 9, № 9.45(б), 9.44(б), 9.46(б).
1.10 Практическое занятие № 10
Тема: Иррациональные уравнения и их системы.
План.
1. Устное решение иррациональных уравнений ( по таблице )
2. Коллективное решение иррациональных уравнений.
3. Решение систем иррациональных уравнений.
1) Устно решить уравнения
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
|
|
|
|
3 + |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2) Коллективное решение уравнений.
+3х-18+4
= 0.
Замена: 
= t, t
0, тогда +3х-18 = -12.
Получим уравнение -12 + 4t = 0 из которого t1 = - 6, t2 = 2.
Возвращаемся к замене.
Уравнение 
= - 6 не имеет корней.
Уравнение 
= 2 < = > +3х- 6 = 4 < = > +3х- 10 = 0 < = > 
Проверка показывает, что - 5 и 2 - корни уравнения.
Ответ: -5; 2.
= 
.
Ø
Помножим числитель и знаменатель дроби на выражение
сопряжённое знаменателю 
.
= 
< = > 
= 
Из этого уравнения 21+ х = 0 или 21- х = 0.
Следовательно корни -21, 21.
Ответ: -21; 21.
3) Решить системы с иррациональными уравнениями.
а) 
Сложим почленно левые и правые части уравнений и получим уравнение
2 = 6 < = > = 3 < = > х = 9.
Вычтем почленно левые и правые части уравнений и получим уравнение
2
= 2 < = > 
= 1 < = > y = 1.
Ответ: (9; 1).
б) 
Введём новые переменные: 
= u, 
= v
Получим систему рациональных уравнений: 
< = > 
< = > 
< = > 
Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим 2u = 6 < = > u = 3.
Вычтем почленно левые и правые части уравнений и получим уравнение
2v = 2 < = > v = 1.
Возвращаемся к замене: 
< = > 
Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим 2x = 82 < = > x = 41.
Вычтем почленно левые и правые части уравнений и получим уравнение
2y = 80 < = > y = 40.
Ответ: (41; 40).
№ 14.21 (а) 
.
< = > 
< = > 
Сложив почленно левые и правые части уравнений,
получим 
. Из этого уравнения находим y1 = - 4, y2 = 2.
Из уравнения 
находим х1 + 4 = 1 < = > х1
= - 3;
х2 - 2 = 1 < = > х2 = 3.
Решениями системы могут быть пары чисел (- 3; - 4) и (3; 2).
Проверка.
Проверим пару (- 3; - 4):
Пара чисел (- 3; - 4) решением не является.
Проверим пару ( 3; 2):
Пара чисел ( 3; 2) решением является.
Ответ: ( 3; 2) .
Домашнее задание: Гл. II, §14, п. 14.2(пример 2), № 14.21(б, в), № 14.22 (а) учебник «Алгебра и начала математического анализа» 11 класс, С.М. Никольский, М, Просвещение, 2014
1.11 Практическое занятие № 11
Тема: «Преобразование выражений содержащих степени»
1. Обобщение понятия степени.
2. Свойства степеней с рациональным показателем
3. Решение упражнений на преобразование выражений с рациональным показателем.
Цель: обобщение понятия степени; формирование понятия степени с рациональным показателем; рассмотреть свойства степени с рациональным показателем; сформировать умение применять свойства степени с рациональным показателем для преобразования выражений; развитие логического мышления и практических умений и навыков студентов.
Повторение сведений о степени, полученные в основной школе.
1) Что называют n-ой степенью
числа а, если n N?
2) Что называют n-ой степенью числа а, если n = 1?
3) Что называют n-ой степенью числа а, если n = 0?
4) Что называют степенью? Основанием степени? Показателем степени?
5) Что называют n-ой степенью
числа а, если n Z?
6) Сформулируйте основные свойства степени.
|
СТПЕНИ |
|
|
С натуральным показателем:
|
С целым показателем:
|
|
СВОЙСТВА:
|
|
Степень с дробным показателем.
Введём понятие степени с дробным показателем, причём это понятие должно иметь те же свойства, что и степень с натуральным и целым показателем.
То есть, n- ая степень числа 
должна равняться 
. Если это свойство выполняется, то 
= 
= 
- а это означает по определению корня n-ой
степени, что 
должно быть корнем n-ой степени
из числа 
.
Определение: степенью 
числа, а > 0 с рациональным показателем 
, где n N, m Z (n 
1) называется число 
.
Степень числа 0 определена только для
положительных показателей, по определению 
= 0 для любого r > 0.
Выполнить упражнения.
1)
Представить выражение в виде
степени с рациональным показателем: а) ; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
; е) 
;
2)
Представить выражения в виде
корня из числа или выражения: а) 
; б) 5
в) 6
г) 3
д) 
: е) 
;
3) Вычислить: а) 
б) 
в) 
г) 
.
4) Выполнить № 4.2 (д, е); № 4.4; № 4.6 (в, г)
Домашнее задание: Гл. I, §4, п. 4.1; 4.2 № 4.2 (а-г); № 4.3 ; № 4.6 (а, б) учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс, С.М. Никольский, М, Просвещение, 2014
1.12 Практическое занятие № 12
Тема: «Преобразование выражений, содержащих логарифмы»
План.
1. Логарифмическая единица и логарифмический ноль.
2. Основное логарифмическое тождество
3. Вынесение показателя степени за знак логарифма.
4. Формулы перехода к новому основанию и следствия из них.
Логарифмом
положительного числа b по основанию а (a . 0, a 
называется показатель степени, в которую
необходимо возвести а, чтобы получить число b.
Логарифмическая единица и логарифмический ноль.
Рассмотрим два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма.
1. log a a = 1 — это логарифмическая единица.
Запомнить! Логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
2. log a 1 = 0 — это логарифмический ноль.
Запомнить! Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! ( a 0 = 1 — это прямое следствие из определения).
Основное логарифмическое тождество
Рассмотрим
показательное равенство 
= N. (1)
По определению логарифма x = loga N (2). Подставив в равенство (1) значение х из равенства (2), получаем
= N
(3).
Это тождество является краткой записью определения логарифма: loga N - это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число N.
Например, 5log5125 = 125, 10lg1000
= 1000, 
= 9.
Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:
1. n = log a a n
2.
В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.
Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.
В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a.
Вынесение показателя степени за знак логарифма.
Если в основании или аргументе логарифма стоит степень, то показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:
1. log a x n = n · log a x;
2.
3.
Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.
Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма:
a > 0, a ≠ 1, x > 0.
Все формулы являются тождествами и их можно применять не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.
Задача. Найдите значение выражения: log7 496.
Избавимся от степени в
аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12
Задача. Найдите значение выражения:
Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:
Так как log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.
Практическое применение логарифмов базируется на основных свойствах:
1.
Из определения логарифма
получаем log a 1 = 0, так как 
= 1.
2.
Так как 
= а, то log
a а = 1.
|
|
Формула |
Пример |
|
Произведение |
loga(xy) = logax+ logay |
log3243= log3(9 ∙27) = log39 + log327 = 2 + 3 = 5 |
|
Частное |
loga( |
lg |
|
Степень |
loga |
log264 = log2 |
|
Корень |
loga |
lg |
3.
|
4.
|
. Учитывая, что 
, имеем
5. Аналогично, учитывая формулу перехода к новому основанию и формулу логарифма степени получаем формулу
logab =
Например, log827 = 
= log23
Решение упражнений на применение свойств логарифмов:
1) Вычислить: а) 
+ 
; б) 
- 
; в) 
; г) 
; д) 
;
2)
Действие нахождения
логарифма числа (выражения) называется логарифмированием. Прологарифмируйте
выражение y = 
.
3)
Потенцирование - нахождения
числа (выражения) по его логарифму. Пропотенцировать выражение lg x = lg5a – 3lg b + 4lg c/.
4) Выполнить упражнения: № 5.4, № 5.6, № 5.8, 5.16,№5.18, № 5.20.
Домашнее задание: Гл. I, §5, п. 5.1; 5.2 № 5.11, № 5.12 ; № 5.13, № 5.17 учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс, С.М. Никольский, М, Просвещение, 2014
1.13 Практическое занятие № 13
Тема: «Построение графиков показательной функции с помощью преобразований»
План
1. Определение показательной функции, её свойства и график.
2. Построение графиков показательной функции.
Если
а положительное, то для любого числа х степень 
имеет вполне определённое положительное
значение. Поэтому 
является функцией переменной х, которая
определена на всей числовой оси, то есть х (-
).
Функция
y = 
, где a > 0
и a 1 называется показательной с основанием а.
Так
функции y = 
, y = 
, y = 
- показательные. Выясним сущность ограничений a
> 0 и a 1.
1) Требование
a > 0. Если а = 0 и х 
0, то выражение 
не имеет смысла. Например, выражение 
, 
, 
лишены смысла.
Если
а <0 и х – несократимая дробь, знаменатель которой чётный, то
выражение 
не имеет смысла. Например, степень 
= 
= 
не может быть выражена действительным числом.
2) Требование а . Если а = 1, то каждое значение 
равно 1, то есть функция сводится к постоянной.
Этот случай ничего нового не добавляет к определению показательной
функции, поэтому его исключают.
Рассмотрим
функцию y = 
. Составим таблицу значений функции
|
х |
-4 |
- 3 |
- 2 |
- 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
Построим в
координатной плоскости точки по координатам, взятым из этой таблицы: (-
4; 
); (- 3; ); (- 2; 
); (- 1; ); (0; 1); (1; 2); (2; 4); (3;8); (4; 16).
Построенные точки соединим
плавной линией, так как функция определена для всех х (-
) и является непрерывной.
Построенную линию называют
графиком функции y = 
. Как видим из графика, функция принимает
только неотрицательные значения Е(y)
= (0; 
),
является возрастающей.
Составим
аналогичную таблицу для функции y = 
.
|
х |
-4 |
- 3 |
- 2 |
- 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
|
|
|
|
Построим в координатной
плоскости точки по координатам, взятым из этой таблицы: (- 4; 
); (- 3; 
); (- 2; 
); (- 1; 
); (0; 1); (1; ); (2; ); (3;); (4; ).
Построенные, точки соединим
плавной линией, так как функция определена для всех х (-
) и является непрерывной.
Построенную линию называют графиком функции y
= 
. Как
видим из графика, функция принимает только неотрицательные значения Е(y) = (0; 
), является убывающей.
Свойства показательной функции:
|
|
y = |
y = |
|
|
Область определения |
R, х
|
||
|
Область значений |
Е(y) = (0;
|
||
|
Чётность, нечётность |
Общего вида
|
||
|
Точки пересечения с осями координат |
Аy (0; 1), ось Ох не пересекает, ось Ох называется горизонтальная асимптота |
||
|
Промежутки знакопостоянства |
Принимает только неотрицательные значения |
||
|
Промежутки возрастания и убывания |
Возрастающая |
Убывающая |
|
|
Экстремумы, особые точки |
Нет |
||
|
Наибольшее и наименьшее значения |
Нет |
||
|
Поведение при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента |
Если х Если х |
Если х Если х |
|
Построенную линию, которая является графиком показательной функции, называют ЭКСПОНЕНТА.
Свойства показательной функции, рассмотренные ранее:
∙ 
= 
: 
= 
= 
= 
∙ 
= 
= 
Отметим
ещё одно свойство показательной функции , которое выделяет её из ряда
других функций: если f(x) = 
( a>0,
a 1), то при любых действительных значениях
аргументов x1 и x2 выполняется равенство f(x1) ∙ f(x2) = f(x1 + x2).
Кроме общих свойств показательной функции отметим некоторые особенности поведения графиков функции при различных значениях а.
Чем больше
основание а (а > 1) тем круче поднимается график функции y = 
при движении точки х вправо и тем быстрее
приближается к оси Ох при движении точки х влево;
чем меньше основание а (0<
а <1), тем круче поднимается график функции y = 
при движении точки х влево и тем быстрее
приближается к оси Ох при движении точки х вправо.
Изобразить
схематически график функции y = 
Последовате6льность построения графика:
1)
Строим график функции y = 
2)
Строим график функции y = 
3)
Строим график функции y = 
- 3 
4) Строим график функции y = 
Постройте
графики функций: а) y = - 
; б) y = 
в) y = 
г) y = 
д) y = 
Домашнее задание: Гл. I, §4, п. 4.8; № 4.60, № 4.61 ; учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс, С.М. Никольский, М, Просвещение, 2014
1.14 Практическое занятие № 14
Тема: «Построение графиков логарифмической функции с помощью преобразований»
План.
1. Понятие логарифмической функции. Свойства и график логарифмической функции.
2. Построение графиков функций
Цель: систематизировать знания о логарифмической функции, её свойствах и графике; расположением графиков логарифмической функции при различных основаниях а; научиться строить графики логарифмической функции с помощью геометрических преобразований; развитие логического мышления и математической культуры обучающихся.
Определение.
Логарифмической называется функция y = loga x, где а > 0, а 
1, обратная показательной функции.
График
функции y = loga x можно получить, отобразив
график функции y = 
, симметрично относительно прямой y =
х.
Графики показательной и логарифмической функций, которые имеют одинаковые основания, симметричны относительно прямой y = х, так как функции
y = 
и y = 
являются взаимно обратными:
Функция y
= 
, где а
- заданное число
а > 0, а 1 имеет следующие свойства:
Свойства логарифмической функции
|
Свойства |
y = loga x, где а > 1 |
y = loga x, где (0< а <1) |
|
Область определения |
(0; |
|
|
Область значений |
R, х
|
|
|
Чётность, нечётность |
Общего вида |
|
|
Точки пересечения с осями координат |
Ах (1; 0), ось Оу не пересекает, ось Оу называется вертикальная асимптота |
|
|
Промежутки знакопостоянства |
На числовом
промежутке от 0 до 1 – отрицательные значения, от 1 до |
На числовом
промежутке от 0 до 1 – положительные значения, от 1 до |
|
Промежутки возрастания и убывания |
возрастающая |
убывающая |
|
Экстремумы, особые точки |
нет |
|
|
Наибольшее и наименьшее значения |
нет |
|
|
Поведение при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента |
При х При х
стремящемся от 1 к + |
При х При х
стремящемся от 1 к + |
Из этих свойств вытекает,
что функция y = 
имеет следующие графики:
Решение упражнений на применение свойств логарифмической функции:
Найти область определения
функции y = 
.
Решение. (использовать опорный конспект «Ограничения на область определения функций»).
> 0. Решить это неравенство методом
интервалов: а) 2х-6 = 0; 2х = 6; х = 3 - корень; х+2 = 0; х = - 2
– точка, в которой функция не существует.
|
|
|
|
|
Ответ: D(y) = (-
; -2) 
[3; )Определяем знаки функции y =
на каждом
из числовых промежутков.
Пример № 1. Найти область определения функции: а) y = 
б) y = 
в) y = 
.
Пример 2. Построить схематически график функции
|
Последовательность построения графика функции :
1.
y = 
2. y = 
3. y = 
Построить графики функций; № 5.35 (учебник).
Домашнее задание: Гл. I, §5, п. 5.3; № 5.36, учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс, С.М. Никольский, М, Просвещение, 2014
1.15 Практическое занятие № 15
Тема: «Решение показательных уравнений и неравенств».
План.
1. Основные формулы и соотношения
2. Решение простейших показательных уравнений.
3. Некоторые методы решения показательных уравнений.
4. Решение показательных неравенств.
Цель: рассмотреть основные формулы и соотношения, применяемые при решении показательных уравнений и неравенств; сформировать умение решать простейшие показательные уравнения; сформировать умение решать показательные уравнения методом сведения к общему основанию, методом вынесения за скобки общего множителя, способом приведения к общему показателю; познакомить студентов со способами решения показательных неравенств; развитие логического мышления и математической культуры.
Показательными уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная входит в показатель степени (основание этой степени переменной не содержит).
|
Основные формулы и соотношения |
|||
|
|
Графики функции y = |
||
|
a > 1 |
0 < a < 1 |
a = 1 |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим простейшее показательное уравнение вида
= b,
где
а > 0, а 1.
Поскольку при этих значениях а, функция y = 
строго
монотонная ( а 
строго возрастает, при 0< а <1 - строго
убывает), то каждое своё значение она принимает только при одном
значении аргумента. Это означает, что уравнение, 
= b при b > 0
имеет единственный корень. Чтобы его найти достаточно представить b в
виде b = 
.
Очевидно,
что х = с является корнем уравнения, 
= 
. Например, решить уравнение 
= 121, достаточно представить это уравнение в
виде 
= 
и записать его единственный корень х = 2.
Если
b 
0, то уравнение, 
= b (при
а 
корней не имеет, поскольку функция y = 
всегда
принимает только положительные значения.
Например,
уравнение 
= - 121 не имеет корней.
Решить уравнения:
а) 
= 125; б) 
= 49; в) 
= 1 (Указание. Любое число в нулевой степени
равно 1: 1 = 
); г) 
= - 2; д) 
= 32; е) 
= 
; ж) 
= 1; з) 
= 5;
Решить уравнения, применив свойства:
а) 
· 
б) 
· 
= 36; в) 
= 4; г) 
= 4 .
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Способ приведения уравнения к общему основанию.
Обобщая приведённые выше рассуждения относительно решения простейших показательных уравнений, отметим, что
при а 
и а 1 уравнение вида
= 
равносильно уравнению
f(x) = g(x).
Коротко это утверждение можно записать так:
при а 
и а 1
|
Пример
1. Решить уравнение 
= 1.
Решение.
= 1; приведём уравнение к виду 
= 
, где а 
и а 1 и перейдём к равносильному.
f(x) = g(x).
= 
;
= 0;
х = 2 или х = - 2;
Ответ: -2; 2.
Чтобы привести
уравнение к виду 
= 
применяют
свойства степени (см. таблицу)
Решить уравнения: Решить уравнения, применив свойства:
а) 
· 
б) 
· 
= 36; в) 
= 4; г) 
= 4 .
д) 
= 0,125; е) 
- 1 = 0; з) 
= 
; и) 
= 1; к) 
· 
= 0,1
Способ вынесения общего множителя за скобки.
Пример 1. Решить уравнение 
-2 · 
= 63.
Решение.
-2 · 
= 63;
(
- 2) = 63 - в левой части уравнения выносим за
скобки 3 в наименьшей степени;
· 7 = 63 - делим обе части уравнения на 7;
= 9;
= < = > х-2 = 2 < = > х
= 4.
Ответ: 4.
Пример 2. Решить уравнение 
- 
+ 
+ 
= 0.
Решение.
- 
+ 
+ 
= 0 - группируем члены в левой части уравнения;
- 
) +( 
+ 
= 0 - в каждой группе выносим общий множитель;
(
- 1) + 
(1+ 
= 0;
· 
+ 
· 5 = 0;
· 5 = 
· 
- делим обе части уравнения на 
· ;
= 1 < = > 
· 
= 1 < = > 
= 
< = > 
= 
< = > 2х = 2 < = > х=1.
Ответ: 1.
Решить уравнения: а) 
- 
= 
- 
; б) 
+ 4 · 
= 
- 
Способ приведения уравнения к квадратному.
Пример 1. Решить уравнение 
- 8 · 
+ 7 = 0.
Решение.
- 8 · 
+ 7 = 0;
- 8 · 
+ 7 = 0;
- 8 · 
+ 7 = 0 - замена t = 
;
- 8t + 7 = 0 < = > t1 = 7 и t2 = 1;
Возвращаемся к замене 
= 7 или 
= 1. Тогда х1 = 1 и х2 =
0.
Ответ: 0; 1.
Решить уравнения: а) 
+ 4 · 
- 5 = 0; б) 
- 5 · 
- 6 = 0;
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ.
|
График показательной функции |
|
|
a > 1 |
0 < a < 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Схема равносильных преобразований |
|
|
Знак неравенства сохраняется |
Знак неравенства меняется на противоположный
|
|
Примеры |
|
|
x > 6 ответ : (6; |
Ответ: (- |
Решение более сложных показательных неравенств.
|
Пример 1. |
Пояснение |
||||||
|
4 · 4
Первое неравенство не имеет решения. Из второго неравенства х > - 2. Ответ: (- 2;
|
С помощью равносильных преобразований (по схеме решения показательных уравнений) данное неравенство приводят к неравенству известного вида (квадратному, дробному и т. д.)
Возвращаемся к замене и получаем два простейших показательных неравенства |
||||||
|
Пример 2. |
|
||||||
|
1.ОДЗ . х 2.Нули функции f(x)
=
   
4.Ответ: (1; |
Применяем общий метод интервалов, приведя неравенство к виду f(x) > 0 и используя схему: 1.Найти ОДЗ. 2.Найти нули функции f(x). 3.отметить нули на ОДЗ и найти знак функции f(x) на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ. 4.Записать ответ, учитывая знак неравенства. |
Решить неравенства: а) 
+ 8 · 
- 3 0; б) 
- 12 · 
+ 27 
0.
Домашнее задание: Гл. I, §6, п. 6.1; 6.3; 6.4; 6.6 № 6.6 (1 ст.), № 6.21(1 ст), № 6.34(а, б) учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс, С.М. Никольский, М, Просвещение, 2014
1.16 Практическое занятие № 16
Тема: «Решение логарифмических уравнений и неравенств»
План.
1.Основные формулы и соотношения
2.Решение простейших логарифмических уравнений.
3.Некоторые методы решения логарифмических уравнений.
4.Решение логарифмических неравенств.
Цель: рассмотреть основные формулы и соотношения, применяемые при решении логарифмических уравнений и неравенств; сформировать умение решать простейшие логарифмические уравнения; сформировать умение решать логарифмические уравнения различными методами; развитие логического мышления и математической культуры.
Логарифмическими уравнениями называют уравнения, которые содержат переменную под знаком логарифма.
Например, 
= 9, 
= lg
, lgx = 1+ 
.
Решить логарифмическое уравнение - это значит найти все его корни или доказать , что уравнение не имеет корней.
|
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ |
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
логарифмом положительного числа b по основанию а (а >
0, a
|
|
|
a > 1 |
0 < a < 1 |
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ |
|
|
Пример |
Обоснование |
|
х-1 = х = 10. |
Если число а (а > 0, a
|
|
РАВНОСИЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
|
|
2х + 1 = 9 < = > х= 4. |
Используем свойство логарифма Используем свойство n Используем свойство если |
|
t1 = 3 t2 = - 1 lgx = 3 или lgx= - 1 x1
= x1 = 1000 или x2 = 0.1 |
Если в уравнение (неравенство) переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение обозначить новой переменной. |
|
Ответ: 1; 3. |
Уравнение вида
(учитываем ОДЗ и приравниваем выражения, стоящие под знаком логарифма) |
|
ОДЗ: На ОДЗ уравнение равносильно уравнениям:
(х+1)(х+3) = 8
х1 = 1 – удовлетворяет ОДЗ; х2 = - 5 посторонний корень ( не удовлетворяет условию ОДЗ) Ответ: 1. |
1. Учитываем ОДЗ данного уравнения и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ. 2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства. |
Решить уравнения:
1)
=2; lg(3-x) = - 1; 
2)
lg(x+9) + lg(2x+8) =
2; 
+ 
= 1;
3)
x - 4
+ 3 = 0; 
x + 
= 8;
4)
lg(2
lg(2
Решение логарифмических неравенств.
Простейшими логарифмическими неравенствами считают неравенства вида
> 
(а > 0, a 
).
Для решения такого неравенства можно применять равносильные преобразования.
Для этого необходимо учесть ОДЗ: 
и рассмотреть два случая: 1) a
> 1; 2) 0 < a < 1.
Если a > 1, то функция y = 
возрастает на всей области определения.
Следовательно,
Пример 1. 
> 3.
ОДЗ: х-5 > 0 < = > x > 5
> 3 
< = > 
> 
<
= > 
> 
.
При a> 1 x-5 > 8 < = > x > 13.
Ответ: (13; ).
Пример 2.
> 3.
> 3 
< = > 
> 
< = > 
> 
.
При 0 < a < 1 x-5
< < = > x < 5.
Учитывая ОДЗ, можно записать ответ.
Ответ: (5; 5).
Пример 3. Решение неравенства приводимого к квадратному.
Решить неравенство 
– lg x 3.
ОДЗ: х > 0. На этой области определения неравенство равносильно неравенствам:
- lg x 3 < = > 
- lg x 3; замена lg x = t/
|
|
-t 3 < = > + t – 2 0
