Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине «Вычислительная техника»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению практических  работ по дисциплине «Вычислительная техника» Часть I   Подготовила: преподаватель Информатики и ИКТ Белева Л.Ф. Ход работы: 1.Познакомиться с теоретическим материалом 2. В тетрадях для практических работ выполнить задания, которые указаны в  работе. Содержание отчёта: 1. Название и цель работы. 3. Представить решение задачи согласно заданию. 4. Ответы на контрольные вопросы. Практическая работа №1. Тема: Представление информации в различных системах счисления. Цель работы: Изучить методы перевода целых чисел из десятичной системы  счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы  счисления и обратно.  Задание 1. Составить в тетради таблицу соответствия систем счисления от 0 до 30. Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная 0 1 2 3 4 … 30 0 1 10 11 100 … 11110 0 1 2 3 4 … 36 0 1 2 3 4 … 1Е Задание 2. Перевести   числа   в   двоичную,   восьмеричную   и   шестнадцатеричную сиcтемы:7110, 24010, 12510. Задание 3. Переведите двоичную дробь в десятичную: a)  11,001;  b)   110,11; c)  100,011. Задание 4. Переведите  число  в десятичное: a)  36,748;   b)   20,48 ; c)  3B,45D16 ;  A3,216. Задание 5.   Дано  а=D716,  b=3318.   Какое   из   чисел  c,   записанных   в   двоичной   системе, отвечает условию a+1 (Хобр+Yобр) =0,0001010                          Хдоп= 0,0001111                          Yдоп = 1,1111011                                   10,0001010  Единица переноса  отбрасывается    (X+Y) доп = 0,0001010 Так как результат сложения является кодом положительного числа (знаку  плюс (+) соответствует 0 в знаковом разряде), то (X + Y)обр=(X + Y)доп = (X +  Y)пр. б) X=­101, Y=­111.  Сложим числа, пользуясь: правилами  двоичной  арифметики        Х=  ­101         Y=   ­111  X+Y= ­1100 обратным кодом дополнительным кодом               Хобр= 1,1111010               Yобр= 1,1111000                       11,1110010                                   I­­­­­­­­> +1     (X+Y) обр = 1,1110011                                Хдоп= 1,1111011                                 Yдоп = 1.1111001                                          11,1110100  Единица   переноса отбрасывается   (X+Y) доп = 1,1110100 Так как сумма является кодом отрицательного числа (знак 1), то необходимо  перевести результаты в прямой код: a. b. из обратного кода:     (X+Y) обр = 1,1110011=> (X + Y)пр = 1,0001100; из дополнительного кода: (X+Y) доп = 1,1110100=> (X + Y)пр = = 1,0001011 + 0,0000001, (Х+ Y)пр = 1,0001100. Получили X + Y = ­1100, результат совпадает с суммой, полученной по  правилам двоичной арифметики. Модифицированные обратный и дополнительный коды Переполнение   разрядной   сетки   может   привести   к   переносу   единицы   в знаковый разряд, что приведет к неправильному результату. Положительное число,   получившееся   в   результате   арифметической   операции,   может восприниматься как отрицательное, так как в знаковом разряде появится «1», и наоборот. Например:         Х= 0,1011110         Y= 0,1101100  X + Y= 1,1001010 Х  и  Y  —  коды положительных  чисел, но в процессе сложения в знаковом разряде   появилась   «1»,   что   означает   код   отрицательного   числа.   Чтобы распознать   переполнение   разрядной   сетки,   вводятся   модифицированные коды. Модифицированный   обратный   код  характеризуется   тем,   что   под   знак числа   отводится   не   один,   а   два   разряда.   Форма   записи   чисел   в модифицированном обратном коде выглядит следующим образом: для положительного числа  Х = Хп Хп­1 ... Х2 Х1 Х0 ... => Xмод c. 1...Х2Х1Х0 ; d. X ( X  — обозначение логической операции отрицания «не X», если для отрицательного числа  Х = Хп Хп­1 ... Х2 Х1 Х0 ... => Xмод n­1...  X 1  X 2  X 0 ; обр = 00,ХпХп­ обр = 00, X n Х =  0, то  X  =1;  Х =  1,    X  =  0 ) . В модифицированных обратном и дополнительном кодах под знак числа  отводится не один, а два разряда: «00» соответствует знаку «плюс», «11» —  знаку «минус». Любая другая комбинация («01» или «10»), получившаяся в  знаковых разрядах, является признаком переполнения разрядной сетки.  Сложение чисел в модифицированных кодах ничем, не отличается от  сложения в обычных обратном и дополнительном кодах. Пример 2. Даны два числа: Х= 101001 и Y = ­11010. Сложить их в дополнительном и  модифицированном дополнительном кодах. Обычная запись Обратный код Модифицированный обратный код Дополнительный код Модифицированный дополнительный код Задание 1. Х= + 0101011 Xобр=0,0101011 Xмод обр =00,101011 Xдоп = 0,0101011 Xмод доп =00,101011 Y= ­0011110 Yобр=1,1100001 Xмод обр = 11,100001 Xдоп = 1,1100010 Xмод обр =11,100010 Записать число в прямом, обратном и дополнительном кодах: a) 11010;     –11101;    –101001; d) b) c) –1001110. Задание 2. Выполните   сложение   в   обратном   и   дополнительном   кодах.   Результат переведите   в   прямой   код.   Полученный   результат   проверьте,   используя правила двоичной арифметики.  X= 11010; a)           Y= –10011; X= 110100; b)           Y= –100110; X= 110100; c)c)            Y= –101101; X= 101001; d)            Y= –111011;   X= 1110101; e)            Y= –1001010; X= 1101010; f)f)            Y= –101010. Задание 3. Измените число Y, добавив в конец числа две единицы «11». Сложите  полученные числа в модифицированном обратном и модифицированном  дополнительном кодах. Результат переведите в прямой код. Выполните  проверку сложения, используя правила двоичной арифметики. a) b) X= 10010;            Y= –1001; d) X= 10110;  X= 101010;             Y= –10110; e)  X= 110110; c) X= 1000100;            Y= –111101; f) X= 110100;            Y= –1101; Задание 5.  Сложите числа X и Y в модифицированном обратном и модифицированном             Y= –110011.             Y= –11110; дополнительном восьмиразрядных кодах. При обнаружении переполнения  увеличьте число разрядов в кодах и повторите суммирование. Результат  переведите в прямой код. Полученный результат проверьте, используя  правила двоичной арифметики: а) Х= 1101101;     b) Х= 111101;     Y= 110101;            Y=­111001;      c) Х= ­111010;    Y= ­1100111; d) Х= ­11001;        e) Х= ­10101;     Y=­100011;           Y= 111010;      f) X=­1101;        Y = ­111011. Контрольные вопросы 1) Что понимают под прямым кодом числа ? 2) Как образуется обратный код целого положительного числа? 3) Как образуется обратный код целого отрицательного числа? 4) Каков алгоритм сложения чисел в прямом коде? 5) Каков алгоритм сложения чисел в обратном коде? Практическая работа №6. Тема: Формы представления чисел в ЭВМ. Цель работы: Изучение основных типов данных с плавающей точкой,  принятых стандартов и их представление в современных ЭВМ. Задание  1. Представить вещественное число 1) 0,005089; 2) 1234,0456;  3) 341234,157  в нормализованной   форме   с   плавающей   точкой   в   десятичной   системе счисления. Задание  2.  Представьте следующие числа со знаком в двухбайтовой разрядной сетке в формате с фиксированной точкой. a)+2510,­2510; b)+3110,­3110. Задание  3. Получить   шестнадцатеричную   форму   внутреннего   представления отрицательного числа ­123,125 в формате с плавающей точкой в 4­х байтовой ячейке. Задание  4. Представьте следующие числа без знака в формате с фиксированной точкой в однобайтовой разрядной сетке: а)1510; b)3010. Задание  5. Представьте следующие числа со знаком в двухбайтовой разрядной сетке в формате с фиксированной точкой. а)+1510,­1510; b)+3010,­3010. Задание  6. Представьте   следующие   числа   в   формате   с   плавающей   точкой   и нормализованной мантиссой: а) 0,00128910; c) 0,010112; b) 987,230110; d) 1101,0112. e) 45,5110; f) 11011,01012. Практическая работа №7. Тема: Арифметические действия с  числами  с плавающей запятой. Цель работы: Изучение основных типов данных с плавающей точкой,  принятых стандартов и их представление в современных ЭВМ. К   началу   выполнения   арифметического   действия  операнды   операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.  1. Сложение и вычитание нормализованных чисел. Сначала   производится   подготовительная   операция, выравниванием порядков.   называемая В   процессе   выравнивания   порядков   мантисса   числа   с  меньшим порядком  сдвигается в своем регистре  вправо  на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу, а освободившиеся старшие разряды заполняются нулями. В результате выравнивания порядков одноименные   разряды   чисел   оказываются   расположенными   в соответствующих   разрядах   обоих   регистров,   после   чего  мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. Нормализацией   называется   выбор   такого   значения   порядка,   при   котором старший разряд мантиссы имеет значение 1. При нормализации возможны две ситуации: − результат меньше 1/2, то есть старшие разряды мантиссы нулевые. Если при этом результат представлен в прямом коде, мантисса сдвигается влево до тех пор, пока первая значащая 1 не окажется в старшем разряде. Если   же   результат   представлен   в   обратном   или   дополнительном   коде (отрицательный), производится сдвиг влево до появления в старшем разряде первого значащего нуля. При каждом сдвиге значение порядка уменьшается на 1;  −  результат больше 1, то есть разрядная сетка переполнена. В этом случае   мантисса   сдвигается   вправо   на   один   разряд   с   одновременным увеличением порядка на 1. Правила выполнения основных арифметических операций справедливы для чисел любой позиционной системы счисления. Примеры 1) Сложить десятичные нормализованные числа 0,536∙106 и 0,284∙103. Разность   порядков   слагаемых   здесь   равна   трём   (6­3=3),   поэтому   перед сложением мантисса второго числа сдвигается на три разряда вправо: 0,536       ∙106 + 0,000284 ∙106 0,536284 ∙106 2) Сложить двоичные нормализованные числа 0,11011∙210     и 0,10111∙2–1. Разность   порядков   слагаемых   здесь   равна   трем   (102+12=112=310),   поэтому перед сложением мантисса второго числа сдвигается на три разряда вправо: 0,11011      ∙210 + 0,00010111∙210 0,11101111∙210 3) Сложить   шестнадцатеричные   нормализованные   числа   0,1В5∙163          и 0,34Е∙16–1. Разность порядков слагаемых здесь равна четырём (316+116=416=410), поэтому перед   сложением   мантисса   второго   числа   сдвигается   на   четыре   разряда вправо: 0,1В5        ∙163 + 0,000034Е∙163 0,1В5034Е∙163 4) Выполнить   вычитание   двоичных   нормализованных   чисел   0,10101∙210  и 0,11101∙21. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице (102­ 12=12=110), поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо: - 0,10101  ∙210 0,011101∙210 0,001101∙210 Результат получился  не нормализованным, поэтому его  мантисса сдвигается влево   на   два   разряда  с   соответствующим   уменьшением   порядка   на   две единицы: 0,1101∙20. 5) Выполнить   вычитание   восьмеричных   нормализованных   чисел   0,125∙83  и 0,32∙8­2 .   Разность   порядков   уменьшаемого   и   вычитаемого   здесь   равна   пяти (38+28=58=510),   поэтому   перед   вычитанием   мантисса   второго   числа сдвигается на пять разрядов вправо: - 0,125         ∙83 0,0000032 ∙83 0,0147746 ∙83 Результат получился  не нормализованным, поэтому его  мантисса сдвигается влево   на   один   разряд  с   соответствующим   уменьшением   порядка   на   одну единицу: 0,147746 ∙82.  2.Умножение и деление нормализованных чисел. Для получения результата в данном случае производятся следующие  действия, причем не важно, какое из двух данных чисел больше. 1. Мантиссы перемножаются или одна делится на другую;  2. Порядки при умножении складываются, а при делении вычитаются; 3. При необходимости мантисса результата нормализуется.  Примеры: 1)Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:  (0,11101 . 2101) . (0,1001 . 211) = (0,11101 . 0,1001) . 2(101+11) = 0,100000101 . 21000. 2)Выполнить умножение восьмеричных нормализованных чисел:  (0,765 . 84) . (0,537 . 85) = (0,765 . 0,537) . 8(4+5) = 0,527353 . 811. 3) Выполнить умножение шестнадцатеричных нормализованных чисел:  (0,А25 . 167) . (0,6С . 169) = (0,А25 . 0,6С) . 16(7+9) = 0,4479С . 1610. 4)Выполнить деление двоичных нормализованных чисел: (0,100000101 . 21000) : (0,1001 . 211) = (0,100000101 : 0,1001) . 2(1000­11)  = 0,11101 . 2101 5)Выполнить деление восьмеричных нормализованных чисел: (0,527353 . 811) : (0,537 . 85) = (0,527353 : 0,537) . 8(11­5) = 0,765 . 84 6)Выполнить деление шестнадцатеричных нормализованных чисел:  (0,4479С . 1610) : (0,6С . 169) = (0, 4479С : 0,6С) . 16(10­9) = 0,А25 . 167 Практическая работа №8. Тема: Арифметические действия над числами в различных системах  счисления. Цель работы: Изучить правила сложения, вычитания, умножения и деления в  позиционных системах счисления (на примере восьмеричной и  шестнадцатеричной систем счисления). Задание 1. Выпишите целые числа, принадлежащие следующим  числовым промежуткам: a)  [128;  208] в восьмеричной системе; b) [2316;  3016] в шестнадцатеричной системе. Задание 2. Выполнить арифметические операции в 8­й  и16­й  СС: AF16 + 9716 = 14616; 678 + 238 = 1128;  AF16 – 9716 = 1816;  678 – 238 = 448;  678 ∙  238 = 20258;  AF16 ∙  9716 = 673916; 5A16 : 1E16 = 316;  748 : 248 = 38; e) f) g) h) a) b) c) d) Задание 3. l) m) n) o) Выполнить арифметические операции в 8­й  и16­й  СС: 6EF516 : 5F16 = 12B16; 248 ∙ 168 = 4308; 24E16 ∙ 1216 = 297C; 6238 ∙ 418 = 317638; A,516 ∙ 2,B16 = 1B,B716; 528 : 38 = 168; 3138 : 78 = 358; 2508 : 168 = 148; 15528 : 238 = 568; 5E816 : 1216 = 5416; 63C16 : 3916 = 1C16; a) 458 + 368 = 1038; b) 2748 + 768 = 3728; c) 5218 + 3778 = 11208; d) 3816 + 2516 = 5D16; e) 78C16 + 9B16 = 82716; f) B8C416 + F9D16 = C86116; g) F4716 + D9816 = 1CDF16; h) 14358 – 7468 = 4678; i) 2358 – 718 = 1448; j) A516 – 1916 = 8C16; k) 9A2316 – ABC16 = 8F6716; p) q) r) s) t) u) v) Задание 4. a) 4 3128 + 2 7278; Выполните действия: c) 3145 + 2325; b) 379В16 + 2 DЕ516; d) g) j) m) 6 7148 – 3 5058; e) А 25616 – 9Е816; 7 0А916∙  13816; h) 6657 ∙  437; 5 2508 : 768; k) А 17816 : 10216; f) i) l) 2 4315 – 1 3025; 426 ∙ 316; 404 4015 : 1135; 1 011 101 001,1012 + 10 111 011,011(2) + 1 110 100,111(2). Задание 6.  Выполните действия: a) b) c) d) ABC,F16+123,416=  563,716+ED,416= 111,916+FF,116=  AC7,316­4B8,416= e) f) g) h) 745,18+123,78=  563,78+10,48=  125,68+37,38=  234,58*218= Контрольные вопросы 1. Сформулировать     правила   сложения,   вычитания   и   умножения восьмеричных, шестнадцатеричных чисел. 2. Составьте   таблицы   сложения   и   умножения   в   троичной   и   пятеричной системе счисления. Практическая работа №9. Контрольная работа №1. Вариант 1. Задание 1. Перевести   число   в   двоичную,   восьмеричную   и   шестнадцатеричную сиcтемы:7110. Задание 2. Переведите   данное   число   в   десятичной   системе   счисления   в   двоичную, восьмеричную, а затем в шестнадцатеричную систему счисления: 53,2510; Задание 3. Выполнить перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в  двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 0,2310 Задание 4. Перевести числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 1010001001011; b) 1011001,101111; a)     Задание 5.  а) 110011011  + 11100001 ;  b) 10111  – 10011 ;  c) 1111  ∙ 101 . 2 2 2 2 2 2 Задание 6. Записать число в прямом, обратном и дополнительном кодах: a) 11010;     –11101.    b) Задание 7. Выполните сложение в обратном и дополнительном кодах.   a) X= 11010;               Y= – b) 10011. Задание  8. Получить   шестнадцатеричную   форму   внутреннего   представления отрицательного числа ­163,25 в формате с плавающей точкой в 4­х байтовой ячейке. Вариант 2. Задание 1. Перевести   число   в   двоичную,   восьмеричную   и   шестнадцатеричную сиcтемы:5610. Задание 2. Переведите   данное   число   в   десятичной   системе   счисления   в   двоичную, восьмеричную, а затем в шестнадцатеричную систему счисления: 66,2410; Задание 3. Выполнить перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в  двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 0,3810 Задание 4. Перевести числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: a) 1010001001011;       b) 1011001,101111; Задание 5. Выполните действия:   а) 11111101011  + 1110000111 ; b) 11111  – 10011 ; c) 10011  ∙ 101 .      2 2 2 2 2 2 Задание 6. Записать число в прямом, обратном и дополнительном кодах: a) 11010;     –11101;    b) Задание 7. Выполните сложение в обратном и дополнительном кодах. a) X= 11010; Y= –10011; Задание  8. Получить   шестнадцатеричную   форму   внутреннего   представления отрицательного числа ­233,5 в формате с плавающей точкой в 4­х байтовой ячейке. Практическая работа №10. Тема: Построение таблиц истинности для различных функций. Цель работы:  овладеть навыками  записи таблицы истинности для заданных логических выражений. Задание 1.  Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно: Составим таблицу истинности данного высказывания. (xy)  (x z). (x  y) (x  z) (x  y)  (x  X 1 1 1 0 0 0 0 1 Y 1 1 0 1 1 0 0 0 Z 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 Высказывание истинно при комбинациях  x, y, z = 1, 1, 1; 1, 1, 0; 1, 0, 1; в остальных случаях высказывание ложно. Задание 2.  Являются ли эквивалентными следующие высказывания: (x (y|z) и (x y) (x z); Составим таблицы истинности для каждого высказывания. x y z y|z x(y| x  y x  z (x y) (x 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Значения x и y в пятом и восьмом столбцах не совпадают, следовательно,  данные высказывания не являются эквивалентными. Задание 3. Для формулы A  (B  B  C ) построить таблицу истинности алгебраически и с использованием электронных таблиц. Задание 4. Доказать с помощью таблицы истинности Дистрибутивные законы: X (Y Z)  (X Y)(X Z); X (Y Z)  (X Y)(X Z); Доказать с помощью таблицы истинности Идемпотентные законы: X  X  X; X  X X; Доказать с помощью таблицы истинности Законы Де Моргана: (XY)XY ; (XY)  XY. Задание 5.   Построить   таблицу   истинности   алгебраически   и   с   использованием электронных таблиц, для следующих логических выражений: 1. F=(X Y ) Z 2. F=XY Z 3. F= X Y Z 4. F= (XY) (Y X) ((XY)(ZX)) 5. F= 6. F= A B C D 7. F= (A B) 8. F= A B D. (Z Y) ( B A B) Контрольные вопросы 1. Что такое высказывание? 2.Перечислить  основные логические операции. 3. Что такое таблица истинности? 4. Сформулировать правила заполнения таблицы истинности. Практическая работа №11. Тема: Упрощение формул логики с помощью равносильных  преобразований. Цель работы: Научиться использовать законы алгебры логики для упрощения логических формул. Пример  1. Упростить формулу (А + В) ∙ (А + С). Решение: Раскроем скобки: (А + В) ∙ (А + С) = A ∙ A + A ∙ C + B ∙ A + B ∙ C; По закону идемпотентности A ∙ A =A, следовательно,  A ∙ A + A ∙ C + B ∙ A + B ∙ C = A + A ∙ C + B ∙ A + B ∙ C. В высказываниях А и А ∙ C вынесем за скобки А и используя свойство  А + 1 = 1,  получим  A + A ∙ C + B ∙ A + B ∙ C = A ∙ (1 + C) + B ∙ A + B ∙ C = A + B ∙ A + B ∙ C; Аналогично предыдущему пункту вынесем за скобки высказывание  А∙ A + B ∙ A + B ∙ C = A ∙ (1 + B) + B ∙ C = A + B ∙ C. Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности . Пример  2. Упростить   формулу   AB   + B ,     BC+C ,   AC+BC   так,   чтобы   в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.  Решение:  X = AB+B=A+B+B=A+B ; Y = BC+C=(B+C)C=C ; AС+BC=A+C+BC=A+C . какое логическое выражение равносильно Пример  3. Укажите, выражению A∙ (B+C). 1) A + B + C 2) A+ B + C 3) A∙B∙ C 4) A∙ B ∙C Решение: 1 по формуле де Моргана, получим   CBA ( :  CBACBA BB  CBA 2 по закону  двойного отрицания,  получим  ) 3 таким образом, правильный ответ – 3 . Пример 4. Требуется найти все решения уравнения ((B+C)∙A)→(A∙C+D)=0. Решение: Первый способ Импликация равна нулю только тогда, когда первое выражение равно 1, а второе ­ 0. Поэтому исходное уравнение сразу разбивается на два  ((B+C)∙A)=1 ;  Первое уравнение с помощью закона де Моргана можно преобразовать к виду B∙C∙A=1 , откуда сразу следует, что все три сомножителя должны быть (A∙C+D)=0 . равны 1. Это значит, что A = 1, B = 0 и C = 0. Кроме того, из второго урав­ нения следует, что D = 0.  Решение найдено, причем оно единственное. Второй способ Заменяя импликацию по формуле A→B=(A+B) ; получаем ((B+C)∙A)+A∙C+D=0 .  Используем закон де Моргана и закон поглощения B+C+A+D=¿ 0. )∙ )∙C b A + B c B∙ A dA∙ B c ( A + B Для того чтобы логическая сумма была равна нулю, каждое слагаемое должно быть равно нулю, поэтому A = 1, B = C = D = 0 . Задание 1. 1 Какое логическое выражение равносильно выражению ( A∙B )∙ C ? d A ∙ B ∙ a A + B +b ( A + B 2 Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению (A∙B)? a A + B 3 Какое логическое выражение равносильно выражению (А+B) ? a A + B d A ∙B 4 Какое логическое выражение эквивалентно выражению (A+B) ∙C ? a (A + B ) + 5 Какое логическое выражение эквивалентно выражению A∙ (B∙C) ? a A∙B∙C 6 Какое логическое выражение эквивалентно выражению ¬(A + B)∙ C ? a (A + B)∙ C b (A∙B)∙C c ( A ∙ B )∙ d(A + B)∙C 7 Какое логическое выражение эквивалентно выражению ¬(A + B )∙ C c (A → B )+ b A + B + c A∙(B + C) b A∙B c A + B b A∙B∙C C C d (А+B)∙ C d(A + B )∙ C ? a A + B∙C b ¬(A∙B)∙C c ¬(A + C) + Задание 2. B d¬(A C)∙B + Упростите логические выражения: 6. A∙B+ ´B+ ´A∙B 7. ( ´A+B)∙´C∙(C+A∙´B) ´A∙´C+A∙B+ ´A∙C+A∙´B 1. A∙B∙´A   ∙B+B (A+B)∙( ´A∙´B) 2. 3. A+A∙B+A∙C 4. A+ ´A∙B+ ´A∙C 5. A∙(A+B+C)  (Ответ: 1 – B , 2 –   A∙´B+B∙´A , 3–   A , 4 –  A+B+C , 5 –  A , 6 – 1, 7 – 0, 8 – 1, 9 –  A  ) 8. 9. A∙( ´B∙´C+B∙C)+A∙(B∙´C+ ´B∙C) Задание 3. Упростите логические выражения: B+C ¿ 1. A∙¿ (A+B)+(A+B)+A∙B 2. 3. A+(A+B)+ ´A∙B (A+ ´B+ ´C) (A+B)∙A∙´B 4. 5. 6. A+B∙´C+(A+B+C) (A+B+C)∙(A∙B)+C 7. 8. A∙(C+B)+(A+B)∙C+A∙C (A+B)∙( ´A+B)∙(A+B) 9. (Ответ: 1­  A∙B∙C , 2 ­  A+B , 3 – 1, 4­  A∙B∙C , 5 – 0, 6 –  A+B+C , 7 –  A+B+C , 8 ­  A∙C , 9 ­  A∙B ) Задание 4. (A→C)∙C (A→B)+(A→B)+A∙B 1. 2. 3. A+(A→B)+(A+B) Упростите логические выражения: (A→(B→C) (A→B)∙(A→B) 4. 5. 6. A+B∙C+(A→B∙C) (Ответ: 1 – 0, 2 –   ´A+B , 3– 1, 4 ­  ´A∙B∙C , 5 – 0, 6 –  A+ ´B+C  ) Задание 5. Решите уравнения: 1. A+B+(B→(C+D))=0 2. 3. (A→C)+B∙A+D=0 (A+C)→(B+C+D)=0 4. 5. 6. (A→C)+B∙C∙A+D=0 ((B+C)∙A)→((A+C)+D)=0 (A→C)∙(A→C)∙(A→(C∙B∙D))=1 Задание 6. (Ответ: 1 – 0100, 2– 1001, 3 – 0100, 4– 1110, 5 – 1100, 6 – 0011) ((A∨B)⋅(A∨B))∨A∨B=A∨B Проверить равносильность двумя способами: построив таблицу истинности и  упростив левую и правую части. 1. A⋅B∨A⋅B⋅C∨B⋅A⋅C∨A⋅C=A 2. 3. A⋅B⋅C∨A⋅B⋅C∨A⋅B⋅C∨A⋅B⋅C=C 4. 5. 6. 7. (A⋅B∨A⋅B⋅C∨B⋅C∨C)⋅(C∨A⋅C∨A⋅B⋅C)=C (B⋅C∨A⋅B⋅C∨A⋅C)⋅(A⋅B∨C∨A⋅C)=A⋅((B⋅C)∨(B⋅C)) (A⋅B∨A⋅B⋅C∨B⋅A⋅C)⋅(A⋅B⋅C∨A⋅B⋅C∨A⋅B⋅C)=A⋅B⋅C (A⋅B∨B⋅C)⋅(A⋅B∨A⋅C∨B⋅C)⋅B⋅C∨A⋅B⋅C=B⋅C∨A⋅B⋅C Задание 7. Упростить логические формулы: X∨X∙Y∨Y X∙Y∨X∙Y∙Z¿∙¿ ) 1. ( 2. ( A∨B¿∙(A∨B)∨A∙B 4. ( A∨B¿∙(A∨B)∨A∙B 5. ( (A⋅B)⋅(B∨C)⋅(A∨B⋅C) 3. ( X∨X∙Y∨Y X∙Y∨X∙Y∙Z¿∙¿ ) 6. X⋅Y∨¿ X ¿ ¿ Практическая работа №12. Тема:  Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы представления логических функций. Цель   работы: овладеть   навыками  (конъюнктивной) нормальной формы функции алгебры логики.   Если   логическая   функция   представлена   логическими   умножением составления   дизъюнктивной (конъюнкцией), сложением (дизъюнкцией) и отрицанием (инверсией), то такую форму   еѐ   представления   называют  нормальной.   Нормальная   форма называется  дизъюнктивной   нормальной   формой  (ДНФ),   если   она содержит конечное число конъюнкций некоторых логических переменных и их инверсий, соединѐнных операцией дизъюнкции.  Например: X Y  Z  Y Z X Y Z  Конъюнктивной   нормальной   формой  (КНФ)   называется   нормальная форма,   состоящая   из   конечного   числа   дизъюнкций   некоторых   логических переменных и их инверсий, соединѐнных операцией конъюнкции.  Например: X Y Z X Y Z  Задание 1. Приведите данные формулы равносильными преобразованиями к ДНФ: 1. 3. 5. 7. ((X↔Y)∨Z)∧Y ((X→Y)→Z)→X (X↔Z)→(X∧Y) ((X↔Y)∨Z)∧Y 9. (( X∧Y ¿→Y¿¿→(X∧Z) (X↔Y)∧(X∨Z) (X∧Y)∨(Z→Y) (Z∧Y)∨((Z→Y)∧X) 11. 13. 15. 17. X→(Y↔Z) 19. ((Z→Y)∨X)→X Задание 2. (X∨(Y↔Z)) (Y∧X)∨(Z↔Y) 2. 4. 6. 8. X∧(Y↔Z) 10. (X↔Y)∨(Y∧Z) (X∨(Y→Z))→X (X∧Y)∨((X→Y)∧Z) 12. Y→(X↔Z) 14. 16. 18. 20. (X∧Y)∨(Z→Y) (X↔Y)∧(Y∨Z) (Y∧Z)∨(X→Z) Приведите данные формулы равносильными преобразованиями к КНФ:  ((X↔Y)∨Z)∧Y; 1. 3. (( 5. (( X∧Y ¿→Y¿¿→(X∧Z) X∧Y ¿→Y¿¿→(X∧Z) (X∧Z)∨(Y→Z) (X↔Y)∧(X∨Z)2 ((X→Y)→Z)→X (Z∧Y)∨((Z→Y)∧X); X↔Z X∧Y ¿ ¿ 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 2. (X∧Y)∨(Z→Y); 4. X∧(Y↔Z) 6. X(Y↔Z) 8. Y→(X↔Z) 10. X∨(Y↔Z) 12.( X∧Y Z→Y ¿∨(¿) (X↔Y)∨(Y∧Z) 14. 16. Y∧Z∨(X↔Z) ((Z→Y)∨X)→X; (Y∧X)∨(Z↔Y); 18. (X∨(Y→Z))→X Y↔X Y∧Z ¿ 20. ¿ Контрольные вопросы: 1. Что такое ДНФ? 2. Правила построения ДНФ. 3. Что такое КНФ? 4. Правила построения КНФ. Практическая работа №13. Тема: Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Цель   работы:  овладеть   навыками  составления   СДНФ   функций   алгебры логики. Задание 1:  Найдите СДНФ для данной формулы c помощью таблицы истинности: 1. 3. 5. (Y∧X); (X→Y)↔ ((X∧Y)→X)↔ ((X∧Y)→X)↔ (X↓Y); (X∨Y); (Z∨Y)→(ZX); (X∨Y)∧Y)→X; (X∧Y) (X∧Z); 2. 4. 6. Задание 2:  Применяя равносильные преобразования, найдите СДНФ для данной  формулы: (X∧Z)∨(Y→Z) ((X↓Y)→Z)⊕Y¿ (X↔Y)⋁(Y∧Z) (A⇒B)⟺(B⋀A) 1. (( X↔Y¿⋁Z¿⋀Y 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. (Z∨Y)→(Z⊕X) (X∧Z)∨(Y↔Z) (X∨Y)→(Z⊕X) ((Z→Y)∨X)→X (X∨(Y→Z))→X (A⋀B→A)↔(A⋁B) (X∧Y)∨(Z→Y) (Z∧Y)∨((Z→Y)⋀X) (Y∧X)∨(Z↔Y) ((X→Y)→Z)→X (A∧B)⇒A¿⟺(A↓B) (X↔Y)∧(X∧Z) ((A∨B)∧B)⇒A (Z→X)↔(Y|X) (X↔Y)→(X∨Z) 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. Задание 2:  Найдите СКНФ для данной формулы c помощью таблицы истинности: 1. (A∧B)⇒A¿⟺(A↓B) 3. (A∧B)⇒A¿⟺(A∨B) (Z∨Y)→(Z⊕X) (X∧Z)∨(Y→Z) 5. 7. (X∧Y)∨(Z→Y) (X↔Z)→(X∧Y) ((X↔Y)∨Z)∧Y ((X∧Y)→Y)→(X∧Z) 2. 4. 6. 8. 1. Что такое СДНФ? Контрольные вопросы: Практическая работа №14. Тема: Упрощение функции и построение таблиц истинности. Цель работы: научится применять загоны логики для упрощения логических  выражений. Теоремы алгебры логики 0=1 1. 2. x+0=x 3. x+1=1 x+x=x x+x=1 1=0 x∙1=x x∙0=0 x∙x=x x∙x=0 Свойства констант Законыидемпотентност Законисключительнноготретьего ´x=x x+y=y+x x+x∙y=x x+x∙y=x+y иЗаконнепротиворечия Закондвойногоотрицания Законыкоммутативности x∙y=y∙x x∙(x+y)=x x∙(x+y)=x∙y Правила Блейка­Порецкого x∙y=x+y Законыпоглощения ЗаконыдеМоргана 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. x+y ¿ ¿ ¿ (x+y)+z=x+(y+z)x+y+z (x∙y)∙z=x∙(y∙z)=x∙y∙z 12. x+y∙z=(x+y)∙(x+z) Законыассоциативности Законыдистрибутивности x∙(y+z)=x∙y+x∙z Пример 1. Упростить логическую функцию F(x1,x1,x3) и построить таблицу истинности.  F(x1, x2, x3)= x3∙( ´x2∙x1+ ´x3 ). Решение. F(x1,x2,x3)= x3∙( ´x2∙x1+ ´x3 ) =   {10} = x3∙( ´x2∙x1∙ ´x3 ) =  {11и6}  = x3∙ ´x2∙x1 ∙x3 =  {4и7} ´x1∙x2 ∙x3  =  Таблица истинности F(0,0,0) = ´0∙0 ∙0= 1∙0 = 0 F(0,0,1) = ´0∙0 ∙1= 1∙1 = 1 F(0,1,0) = ´0∙1 ∙0= 1 ⋅ 0 = 0 F(0,1,1) = ´0∙1 ∙1= 1∙1 = 1 F(1,0,0) = ´1∙0 ∙0= 1∙0 = 0 F(1,0,1) = ´1∙0 ∙1= 1∙1 = 1 F(1,1,0) = ´1∙1 ∙0= 0∙0 = 0 F(1,1,1) = ´1∙0 ∙1= 0∙1 = 0 X2 0 0 1 1 0 0 1 1 X1 0 0 0 0 1 1 1 1 X3 0 1 0 1 0 1 0 1 F(x1,x2,x3)= x1∙x2+ F 0 1 0 1 0 1 0 0 ´x2 + Задача.  Упростить   логическую   функцию F(x1,x1,x3) и построить таблицу истинности.  1. ´x1 ∙x3 F(x1,x2,x3)= x1∙ ´x2 ∙x3+x1+x2+ ´x3 F(x1,x2,x3)=  ´x1 +x3+ ´x1∙x2 F(x1,x2,x3)= x1+x2∙(x1+x3∙ ´x2 ) F(x1,x2,x3)= x1+ ´x2 +x3∙(x1+ ´x3 ) F(x1,x2,x3)= x1+x2+ ´x3 ∙( ´x1 +x2) F(x1,x2,x3)=  ´x1 +x2+x3+x1+x2∙x3 F(x1,x2,x3)= x1+x2+x1∙x3+ ´x1∙x2 2. 3.  4. 5. 6. 7. 8. 9. F(x1,x2,x3)= (x1+x3)∙x1∙ ´x2 + ´x1 F(x1,x2,x3)= x1∙x2∙ ´x3 +x1+x2 10. Практическая работа №15. Тема: Построение логического выражения  по таблице истинности. Цель работы: формировать навыки построения таблиц истинности и работы  со сложными логическими выражениями.  В задачах данного раздела требуется по заданной таблице истинности  построить логическое выражение и упростить его.  Задача 1. х1 х2 х3 F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 Решение. 1. Выбираем строки, в которых F=1, и строим для них минтермы. Строка 1:  х1   х2   х3 ; строка 2:  ´х1   х2  х3; строка 3: х1х2х3. 2. Объединяем минтермы. F (х1,х2,х3) =  ´х1х2х3  +  х1   х2  х3+ х1х2х3. 3. Упрощаем логическое выражение. F  (х1,х2,х3) =   ´х1х2х3  +   х1   х2  х3+ х1х2х3 =   {12}  =  х3 ¿ ´х1х2¿  + х3) + х1 х2 х3 =   {5и2}   =   х1   х2   +         х1х2х3 = 10 = ( х1+х2 ) + х1х2х3. Задача 2.  Решение. х1 0 0 0 0 1 1 1 1 х2 0 0 1 1 0 0 1 1 х3 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 0 1 1 1 1 0 1. Выбираем строки, в которых F=1, и строим для них минтермы. Строка 4:  х1  х2х3; строка 5: х1 х2х3 ; строка 6: х1 х2 х3; строка 7:  х1х2 х3 . 2. Объединяем минтермы. F (х1,х2,х3) = х1  х2х3+ х1 х2х3 + х1 х2 х3+ х1х2 х3 . 3.Упрощаем логическое выражение. F (х1,х2,х3) = х1  х2х3+ х1 х2х3 + х1 х2 х3+ х1х2 х3 =  {7}  = х1   х2х3+ х1 х2х3 + х1 х2 х3+ х1х2 х3  = {12}  = х1  х2х3 + х1 х3 ( х2  +х2) + х1 х2 х3 =  {5и2}  =  х1  х2х3 + х1 х3  + х1 х2 х3= {12} =  х1  х2х3 + х1( х3  + х2 х3)=  {7} = х1х2х3 +х1( х3  + х3 х2 ) =   {9} = х1х2х3+ х1( х3  + х2 ) =  {10и7} =  х1 х2х3 + х1 х2   х3 .   Задача 3. Решение. х1 0 0 0 0 1 1 1 1 х2 0 0 1 1 0 0 1 1 х3 0 1 0 1 0 1 0 1 F 1 1 1 0 0 1 0 0 1.Выбираем строки, в которых F =1, и строим для них минтермы. Строка 1:  ´x1   ´x2 ´x3 ; строка 2:  ´x1   ´x2  x3; строка 3:  ´x1  x2   ´x3 ;  строка 6: x1  ´x2  x3. 2.Объединяем минтермы. F (x1,x2,x3) = :  ´x1   ´x2 ´x3  +  ´x1   ´x2  x3 +  ´x1  x2 x3 + x1  ´x2  x3. 3.Упрощаем логическое выражение. ´x1   F (x1,x2,x3) =  ´x1   ´x2 ´x3  +  ´x2  x3 +  ´x1  x2   ´x3  + x1x2x3 = {12}  =  ´x1   ´x2  ( ´x3  + x3) +  ´x1  x2   ´x3  + x1  ´x2  x3 =  {5и2}  = ´x1   ´x2  +   ´x1  x2   ´x3  + x1  ´x2  x3 =  {4}  =  ´x1   ´x2  +  ´x1  x2  ´x3  +  ´x1   ´x2  + x1  ´x2  x3 =  {12}  =   ´x1 ( ´x2+ ´x2  x3) +  ´x2 ( ´x1+¿ x1x3) =  {9} =  ´x1 ( ´x2+ ´x3 ) +   ´x2 ( ´x1+x3 ) =  {12}= ´x1 ´x2  +  ´x1   ´x3  +  ´x2   ´x1  +  ´x2 x3 =  {7и4} ´x1   ´x2 +  ´x1  =  ´x3  +  ´x2 x3 =  {12} ´x1 ( ´x2+ ´x3 ) +  ´x2 x3 =   =  {10}=¿ ´x1 ´x2 ´x3  +   ´x2  x3 =  {10}  = ( ´x1+ ´x2 ´x3 )=  ´x2  x3. Задача 4. Решение. x1 0 0 0 0 1 1 1 1 x2 0 0 1 1 0 0 1 1 x3 0 1 0 1 0 1 0 1 F 1 0 0 0 0 1 1 1 1. Выбираем строки, в которых F =1, и строим для них минтермы. ´x2  x3; строка 7: x1 x2   ´x2 ´x3 ; строка 6: x1  Строка 1:  ´x1   ´x3 ; строка 8: x1x2x3. 2.Объединяем минтермы. F (x1,x2,x3) = :  ´x1   ´x2 ´x3  + x1  ´x2  x3+ x1 x2   ´x3  + x1x2x3. 3.Упрощаем логическое выражение. ´x2 ´x3  + x1  F (x1,x2,x3) =  ´x1   ´x2  x3+ x1 x2   ´x3  + x1x2x3=  {12}  = ´x1   ´x2 ´x3  + x1  ´x2  x3 +  ´x1   ´x2  ( ´x3  + x3) =  {5и2} ´x1  =  ´x2 ´x3  + x1  ´x2  x3 + x1x2 =  {12}  =  ´x1   ´x2 ´x3  + x1( ´x2  x3+ x2)= {9}  =  ´x1   ´x2 ´x3   +  x1(x2+x3) =  {10}  = ( ´x1  +  ´x2  +  ´x3 ) + x1(x2+x3) . Задача 5. По заданной таблице истинности построить логическое выражение и упростить его. x1 0 0 0 0 1 1 1 1 x2 0 0 1 1 0 0 1 1 x3 0 1 0 1 0 1 0 1 F 1 1 1 1 0 0 0 1 x1 x2 x3 F Задача 6. По заданной таблице логическое выражение и Практическая работа истинности построить  упростить его.  №16. 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 Тема: Построение схем устройств. Цель работы: научиться аналитические выражения по табличному значению функции, строить схемы  цифровых логических  составлять  из элементарных логических элементов по заданному аналитическому  выражению функции. Алгоритм построение логических схем. 1. Определить число логических переменных.  2. Определить количество базовых логических операций и их порядок.  3. Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль.  4. Соединить вентили в порядке выполнения логических операций. Пример 1. Постройте   логическую   схему,   соответствующую   логическому   выражению F=X ∙ Y v (Yv X). Вычислить значения выражения для X=1, Y=0.  Переменных две: X и Y; Логических операций три: & ∙ ¿  ) и две v.  Схему строим слева направо в соответствии с порядком логических операций: & 0 1 1 1 0 1 0 0 Рисунок 1 Пример 2. Построить функциональную схему, соответствующую функции: F(X,Y,Z)= X∙(Y+Z) Решение.  X 1 Y+Z X Y Z X∙(Y+Z) & Рисунок 2 Пример 3. Проведите   анализ   логического   устройства:   по   функциональной   схеме составьте структурную формулу, упростите ее, если это возможно. 1 & & Рисунок 3 А B Решение.  1. Составим  логическую функцию ­  (А+В ¿∙ (А ∙В ) 2. Упростим логическую функцию (с помощью законов алгебры логики). (А+В)∙(А ∙В )=( А+В)∙ В ∙А=((А∙ В )+(В∙ В ))∙А= (А∙ В )∙А= А∙ В . 3. Проверим справедливость логических преобразований.  Для этого составим таблицу истинности. Значения таблиц истинности А∙ В и (А+В)∙(А∙ В ) равны,   что доказывает справедливость логических преобразований. А 0 0 1 1 В 0 1 0 1 А+В 0 1 1 1 В 1 0 1 0 А∙ В (А+В)∙(А∙ 0 0 1 0 ) 0 0 1 0                                  4. По   полученной   логической составим функции   функциональную схему (рис.4). & А B Рисунок 4 Задача 1. Построить  логическую  схему,  соответствующую  логическому  выражению: a. F = A∨B∙ C b. F = A ∨B∙C c. F = X∙Y∨ Z F = A∙B∨ C F = X∙ Y∨ Z F = X ∙Y∨ Z d. e. f. Задача 2. Построить  логическую  схему,  соответствующую  логическому  выражению и найти значение данного логического выражения: a. b. c. d. e. Задача 3. F = (X ∨ Y)∙(Z ∨ Y); если X = 1; Y = 0; Z = 1 F = (X∙Y)∨(Z ∨ Y); если X = 1; Y = 1; Z = 0 F = (A ∨ B)∙(C∙B); если A = 1; B = 1; C = 0 F = (X∙Y)∨(Z ∙ Y); если X = 0; Y = 0; Z = 0 F = (A∙B)∙(C∨B); если A = 0; B = 1; C = 1 Построить  логическую  схему,  соответствующую  логическому выражению: a. F = (A∙B) ∨( b. F = (X∙Y) ∨ ( B∙C ¿¿ Z∙X ¿¿ c. F = (A∨B)∙ ( d. F = (A∨C) ∙( A∙C ¿ ¿ B∙C ¿ ¿ e. F = (X∙Y) ∙( f. F = (A∨B) ∙( X∨Z ¿¿ Задача 4. A∨D ¿¿ Построить  логическую  схему,  соответствующую  логическому выражению и  найти значение данного логического выражения: a. F = ( A ∙B ∨ C)∙ (C∙B) ; если A = 0; B = 0; C = 0 b. F = (X ∨ Y )∙( Z ∨ Y)∨X; если X = 1; Y = 1; Z = 1 c. F = ( X∨Y )∙( Z ∨ Y )∙X; если X = 0; Y = 1; Z = 1 d. F = (A∨ (A∙B)∙(C∨B); если A = 1; B = 1; C = 1 e. F = (X∙ Y )∨Z ∨ (Z∨Y); если X = 1; Y = 0; Z = 0 Задача 5. Упростить выражение  и построить логическую схему: a. F= (A∙ (C∨B)¿ ∨ C ∙ A ) b. F = (A ∨ B )∨(C ∙ B∙A ) c. F= (A∙B) ∙ (A ∨ B) ∙ C¿ e. F = ( A∙ C ∨ ( A∨B ) d. F=(A∙(A∨B))∙(C∨B) f. F = ( A∙B ) ∨ ( B∨C ) ∨A g. F = X ∙( Y∨X ¿¿ i. F = A ∙ B ∨C∨ ( A∨B ¿¿ Задача 6. h. F = ( A∙B ) ∨ ( A∙B ) j. F = (X ∨ Z)∙(X ∨ Z ) ∙ Y Записать логическую функцию, описывающую состояние логической схемы.  Составить таблицу истинности. Схема 1. Схема 2. Схема 3. & Х1 Х2 Х3 1 X1 X2 X3 X4 & 1 1 Схема 5. A B C Схема 6. Х1 Х2 Схема 7. X1 X2 X3 & X4 & & & 1 1 1 & & 1 Операция с константами Идемпотенция ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Законы алгебры логики 0&  0 A A 1& A 0 A 0 A 1 A & AAA AAA  A  0 A 11 A A  0 A 11 A AAA  AAA  Склеивание BA )&(  BA )&(  B ( BA  (&) BA  )  B ( BA  ) ( BA  ) B ( BA   () BA ) B Поглощение A (& BA  )  A A  BA )&(  A Закон тождества Закон непротиворечив  BAA ( А=А )  ( A A  ( BA  ) A A & A 0 ) 0AA Закон иск.третьего 1 AA  ( ) 1 AA Закон двойного отрицания AA  Законы Моргана BABA & BABA  BABA &  BABA Правило коммутативности BBA &  & A  ABBA ABBA  ABBA  Правило ассоциативности &)&( BA AC  )&(& CB ( BA  )  AC ( CB  ) (  CBACBA ( ) ) ( ACBA   ) ( CB  ) Правило дистрибутивности )&( BA  )&( CA  A (& CB  ) ( BA  (&) CA  )  A )&( CB ( BA  ) ( CA  CBA ( ) ) ( BA   () CA A ) (  CB ) Правила Блейка­ Порецкого A (& BA  )  BA & A  BA )&(  BA BAA  BA ( ) A  ( BA  BA ) Упрощение логических выражений:  Можно заменить операции  ,  ,      на их выражения через И, ИЛИ и НЕ:  ВАВАВА ; А  ВАВ = BA А  А(В B()В  )A = )BA()BA(   =  ВАВА =  BABA ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Признаки делимости чисел Для   проверки   того,   является   данное   число   составным   или   нет,   требуется   выполнить достаточно большое количество делений его на меньшие числа. Для некоторых делителей существуют признаки, позволяющие установить делимость на них без выполнения самого деления значительно проще. Такие признаки называются признаками делимости. Для каждой позиционной системы счисления формулируются свои признаки деления на то или иное число. Признаки делимости чисел в десятичной системе счисления В десятичной системе счисления число делится                 на 2, если на 2 делится число единиц его последнего разряда; на 3, если сумма его цифр делится на 3; на 9, если сумма его цифр делится на 9; на 5, если его последняя цифра 0 или 5; на 10, если число единиц младшего разряда равна 0; на 4, если две последние его цифры образуют число, делящееся на 4; на 8, если три последние цифры его образуют число, делящееся на 8; на 6, если число делится и на 2 и на 3; на   11,   если   сумма   цифр,   занимающих   нечетные   места,   либо   равна   сумме   цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11. Признаки делимости чисел в двенадцатеричной системе счисления В двенадцатеричной системе счисления число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2; на 3, если его последняя цифра делится на 3; на 4, если его последняя цифра делится на 4; на 6, если его последняя цифра делится на 6; на 8, если две последние цифры его образуют число, делящееся на 8; на 9, если две последние цифры его образуют число, делящееся на 9; на 11, если сумма его цифр делится на 11. Признаки делимости чисел в системах счисления с основанием 2S  (т.е. четным основанием) В системе счисления с основанием 2S (т.е. четным основанием) число делится    на 2, если его последняя цифра четная или нуль. Признаки делимости в системах счисления с основанием 2S+1  (т.е. нечетным основанием) В системах счисления с основанием 2S+1 (т.е. нечетным основанием) число делится на 2, если сумма его цифр будет числом четным. Признаки делимости чисел в системах счисления с основанием S  (S – любое число) В системе счисления с основанием S (где S – любое число) число делится на S­1, если сумма его цифр делится на S­1. ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Таблицы сложения (+) и умножения (х) для систем счисления  с основанием S = 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 16 S = 2 0 0 0 1 0 1 × 0 1 S = 3 1 1 2 10 + 0 0 0 1 1 2 2 S = 2 0 0 1 1 S = 4 1 2 10 0 2 1 0 S = 4 1 1 2 1 2 + 0 × 0 1 1 0 0 0 1 0 1 2 0 2 2 2 3 0 3 10 + 0 11 0 0 1 1 2 2 3 3 3 10 S = 3 0 1 0 0 1 0 0 2 2 0 2 11 × 0 3 1 0 2 3 12 21 3 3 10 11 12 2 2 3 1 0 1 1 + 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 S = 5 4 3 2 4 3 2 10 4 3 10 11 4 10 11 12 11 12 13 1 1 2 3 4 1 0 S = 5 2 0 2 4 × 0 1 4 3 0 0 0 0 0 1 0 1 3 4 2 0 2 11 13 3 0 3 11 14 22 4 0 4 13 22 31 S = 6 4 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 5 10 4 3 10 11 5 4 5 10 11 12 10 11 12 13 5 5 10 11 12 13 14 S = 6 1 0 1 2 3 4 0 4 5 3 2 0 0 0 3 5 2 4 10 12 14 10 13 20 23 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 + 0 1 2 3 4 5 × 0 1 2 3 4 5 0 0 4 5 12 20 24 32 14 23 32 41 + 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1 1 2 3 4 5 6 1 0 × 0 1 0 0 0 1 0 1 2 0 2 3 0 3 4 0 4 5 0 5 6 0 6 S = 7 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 10 5 4 3 6 10 11 5 4 10 11 12 6 5 6 10 11 12 13 10 11 12 13 14 11 12 13 14 15 5 0 5 S = 7 3 6 4 0 0 0 3 4 6 6 11 13 15 12 15 21 24 15 22 26 33 21 26 34 42 24 33 42 51 2 0 2 4 6 1 1 1 3 1 5 S = 8 5 6 4 3 2 1 5 6 4 3 2 1 6 7 5 4 3 2 7 10 6 5 4 3 7 10 11 6 5 4 7 10 11 12 6 5 10 11 12 13 7 6 7 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14 15 7 7 10 11 12 13 14 15 16 S = 8 1 0 1 2 3 4 5 6 6 0 6 5 0 5 7 4 3 2 0 0 0 0 4 7 3 2 6 10 12 14 16 4 11 14 17 22 25 6 10 14 20 24 30 34 12 17 24 31 36 43 14 22 30 36 44 52 + 0 1 2 3 4 5 6 7 × 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 7 16 25 34 43 52 61 S = 9 8 6 7 8 8 4 5 6 7 5 7 8 5 6 7 6 7 4 5 3 4 2 3 + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 1 8 1 1 2 1 0 2 2 3 1 1 3 3 4 1 2 4 4 5 1 3 5 5 6 1 4 6 6 7 1 5 7 7 8 1 6 8 8 1 1 0 7 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 0 1 1 1 2 1 3 1 0 1 1 1 2 1 0 1 1 6 7 8 8 S = 9 0 4 8 0 3 6 × 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 0 1 0 1 2 8 2 0 2 4 1 7 3 0 3 6 2 6 4 0 4 8 3 5 5 0 5 1 4 1 4 6 0 6 1 5 3 3 7 0 7 1 6 5 2 8 0 8 1 7 7 1 0 5 1 1 1 6 2 2 2 7 3 3 3 8 4 4 0 6 1 3 2 0 2 6 3 3 4 0 4 6 5 3 0 7 1 5 2 3 3 1 3 8 4 6 5 4 6 2 1 0 1 3 1 6 2 0 2 3 2 6 1 3 1 7 2 2 2 6 3 1 3 5 6 6 7 8 9 A B 5 5 6 7 8 9 A B 4 4 5 6 7 8 9 A B 3 3 4 5 6 7 8 9 A B 2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A A B C D E C D E F 10 11 12 13 C D E F 10 11 12 C D E F 10 11 C D E F 10 C D E F S = 16 8 7 8 7 8 9 9 A B A B A 9 A 9 A B C C D C D E F 10 11 12 13 14 B B C D E F 10 11 12 13 14 15 C C D E F 10 11 12 13 14 15 16 D D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 E E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 F F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B B C D E F C C D E D D E F 10 11 10 F E E F F 10 11 12 F 10 11 12 13 10 11 12 13 14 11 12 13 14 15 12 13 14 15 16 13 14 15 16 17 14 15 16 17 18 15 16 17 18 19 19 1A 18 17 16 19 1A 1B 18 17 1A 1B 1C 19 18 19 1A 1B 1C 1D 1A 1B 1C 1D 1E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 × 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A 0 A B 0 B C 0 C D 0 D E 0 E F F 0 4 3 2 0 0 0 4 3 2 8 6 4 C 9 6 10 C 8  14 F A 18 12 C 1C 15 E 18 20 10 1B 24 12 28 1E 14 21 2C 16 30 18 24 34 1A 27 1C 2A 38 3C 2D 1E S = 16 5 8 7 6 0 0 0 0 5 8 7 6 A 10 E C F 15 18 12 14 1C 20 18 19 28 23 1E 1E 30 24 2A 23 2A 31 38 28 40 38 30 2D 48 36 3F 50 3C 46 32 37 42 4D 58 54 3C 48 60 5B 68 4E 41 46 54 62 70 78 69 4B 5A C B A 9 0 0 0 0 C B A 9 18 16 12 14 24 21 1B 1E 2C 30 28 24 32 2D 37 3C 42 36 3F 46 4D 58 50 48 63 5A 51 6E 5A 64 63 6E 79 84 6C 78 82 75 8F 7E 8C 9A 96 87 F E D 0 0 0 E F D 1C 1E 1A 2A 2D 27 3C 38 34 4B 46 3C 41 5A 4E 48 54 5B 62 54 69 78 70 60 68 7E 6C 75 87 8C 96 82 78 84 8F 9A A5 90 9C A8 B4 9C A9 B6 C3 A8 B6 C4 D2 E1 D2 A5 B4 C3 ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Логическая операция Таблица истинности Отрицание  х 1 0 x 0 1 Конъюнкцией  двух высказываний  х  и  y  называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказываниях и y. х 1 1 0 0 y 1 0 1 0 x|y 0 1 1 1 хy 1 0 0 0 хy 1 1 1 0 y 1 0 1 0 y 1 0 1 0 х 1 1 0 0 х 1 1 0 0 Дизъюнкцией  двух высказываний  х  и  y  называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания х и y ложны.  Импликацией  двух высказываний  х  и  y  называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда высказывание х истинно, а y – ложно. Импликация обозначается: хy  (читается:   «х  влечет  y»   или   «из  х  следует  y»).   Высказывание  х  называется посылкой импликации, а высказывание y – следствием.  х 1 х 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 х y 1 y 0 1 1 0 0 1 y 0 1 0 1 0 хy хy 1 0 1 1 0 1 0 хy 1 0 1 1 0 Эквиваленцией (эквивалентностью) двух высказываний х и y называется высказывание,   истинное   тогда   и   только   тогда,   когда   истинности высказываний  х  и  y  совпадают. Эквиваленция  обозначается:  хy, или хy (читается: «х эквивалентно y» или «х тогда и только тогда, когда y»). Сложением   по   модулю   два  исключающим «ИЛИ», строгой дизъюнкцией) двух высказываний  х  и  y  называется высказывание, (альтернативной   дизъюнкцией,   логическим   сложением, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания х и y принимают разные значения.  Стрелка Пирса  –  это   отрицание   дизъюнкции.   Она   обозначается  x y↓ .  Читается   «ни  x,   ни  y». х 1 1 0 0 y 1 0 1 0 хy 0 0 0 1 Введена в рассмотрение Чарльзом Пирсом (Сharles Peirce) в 1880 – 1881 г.г. Штрих Шеффера  –  это отрицание конъюнкции. Введена в рассмотрение Генри Шеффером в 1913 г. (в отдельных источниках именуется как Пунктир Чулкова).  Литература: 1. Келим Ю. М. Вычислительная техника: Учебное пособие для студентов среднего   профессионального   образования.   –   М.:   Издательский   центр «Академия», 2005. – 384 с. 2. 3. http://www.studfiles.ru Яснева Г.Г.  Информатика и образование ,  №1­2001.