Начальные сведения из теории вероятностей. Относительная частота случайного события. Вероятность равновозможных событий.

У р о к : Начальные сведения из теории вероятностей. Относительная частота случайного события. Вероятность равновозможных событий. Класс: 9б. Дата: 05.04.2017г. Цели:  ввести   понятия   случайного   события,   относительной   частоты случайного события; формировать умение вычислять относительную частоту случайного события. Ход урока I. Организационный момент. II. Устная работа. Назовите комбинаторную формулу для решения задачи. Учитель  записывает  на  доске  формулу,  вычисления  производить  не надо. 1.  Даны   три   лекарства  А,  В,  С.  Сколькими   способами   можно   выписать назначение? (Р3 = 3!.) 2. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных, если в классе 30    3 С 30  30! 27! ∙ 3! .    человек?  3. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 6,  7, 8,  9  при  условии,  что  ни  одна  цифра  в  числе  не  повторяется? (Р5 = 5!.) 4. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в предметной олимпиаде участвует семь человек?    7! 3 А .  7 4!   5. Даны четыре буквы А, В, С, Д. Сколько комбинаций по две буквы можно из них составить?    С  2 4 4! 2!2! .    III. Объяснение нового материала. Сперва   необходимо   создать   у   учащихся   представление   о   «событии»   и «случайном событии». Целесообразно опираться на личный опыт учащихся, поощрять их приводить примеры различных событий. Обращаем внимание на то,  что   есть  обусловленные события,  то   есть   наступающие   тогда,   когда выполнены   некоторые   условия.   Например,   увидев   молнию,   мы   позже обязательно услышим гром. В других случаях в процессе наблюдения, опыта, эксперимента мы либо не знаем этих условий (обстоятельств), либо не умеем их учитывать, устранять. В этом случае речь идет о  случайных событиях, которые могут произойти или не произойти. Закономерности   случайных   событий   изучает   специальный   раздел математики – теория вероятностей. Проводим небольшой экскурс в историю возникновения и развития этой науки. В учебнике нет определения понятия «исход случайного события». Можно оперировать таким: исход – возможный результат опыта (эксперимента). Следует хорошо отличать события от исходов, что в дальнейшем позволит избежать многих трудностей при введении понятия вероятности случайного события. Далее рассматриваем пример из учебника со с. 188. И с х о д ы   и с п ы т а н и я: 1. Выпадает одно очко. 2. Выпадает два очка. 3. Выпадает три очка. 4. Выпадает четыре очка. 5. Выпадает пять очков. 6. Выпадает шесть очков. 1. Выпадет шесть очков. С л у ч а й н о е   с о б ы т и е: На   этом   примере   наглядно   демонстрируем,   что   исход   испытания   – значение   наблюдаемого   признака   (количество   очков),   непосредственно полученное по окончании эксперимента (каждый эксперимент заканчивается одним и только одним исходом). Событие – появление исхода, обладающего заранее указанным свойством (шесть очков). Затем   вводим   понятия   «частота   события»   и   «относительная   частота события». В в о д и м ы е   о б о з н а ч е н и я: А – событие; т – число испытаний, при которых произошло событие А; п – общее число испытаний; m n  – относительная частота случайного события. W(A) =  П р о б л е м н ы й     в о п р о с: Почему важна относительная частота события? Приведите пример. (Иван попал в мишень три раза, Петр – четыре. Кто  из  них лучше  стреляет? Можно  ответить,  что Петр – лучше, так  как больше число попаданий. Но мы не знаем, сколько у каждого было попыток. Например,   Иван   сделал   всего   три   выстрела   и   попал   все   три   раза, относительная частота попадания W(A) =  3 3  = 1. А Петр сделал серию из 20 выстрелов и попал всего четыре раза: W(A) =  4 20  = 0,2.) Статистический метод Начинаем     с     проверки     домашнего     задания     №     792.     Суммируем количество  опытов  по  подбрасыванию  монеты,  проведенных  учениками: N = 50 ∙ n, где п – число учеников в классе. Затем определяем общее число выпадений орла: М = т1 + т2 + … + тп, где тп – число выпадений орла у п­го ученика. И вычисляем относительную частоту выпадения орла при бросании M N . монеты  Замечаем, что при большом количестве бросков орел выпадает примерно в половине   случаев.  Значит,  результат   бросания   монеты   обладает   некоторой закономерностью, хотя итог каждого броска заранее неизвестен. Числовая   оценка   шансов   на   успех   стара   как   мир.   Французский естествоиспытатель   Жорж   Бюссон   (1707–1788)   бросал  монету  4040  раз,  и «орел» выпал в 2048 случаях. Английский математик Чарльз Пирсон (1857– 1936) 24000 раз подбросил монету, «орел» выпал 12012 раз. Вообще, одним из вопросов, из которого родилась теория вероятностей, был  вопрос   о  том,  как   часто   наступает   то  или  иное  случайное   событие  в длинной серии опытов, проходящих в одинаковых условиях. Если в длинной серии одинаковых экспериментов со случайными исходами значения относительных частот появления одного и того же события близки к некоторому определенному числу, то это число принимают за вероятность данного случайного события. О б о з н а ч е н и е: Р (А). Подчеркиваем, что это статистическое определение вероятности. То есть   специалисты­практики   (статистики),   интересующиеся   вероятностями конкретных   событий,   проверяют   расчеты   на   практике,   в   экспериментах. Анализируют   относительную   частоту   наступления   этого   события   при многократном   повторении   в   одних   и   тех   же   условиях   эксперимента   или наблюдения и оценивают вероятность случайного события. IV. Формирование умений и навыков. Упражнения: № 787. Событие А – появление нестандартной детали; Р е ш е н и е т = 12 – число нестандартных деталей; п = 1000 – общее число деталей; m n   =   12 1000   =   0,012   –   относительная   частота   появления W(A)   =   нестандартных деталей. О т в е т: 0,012. № 788. Р е ш е н и е Событие А – солнечный день; т = 46 – число солнечных дней за указанный период; п = 31 + 31 = 62 – общее число дней в указанном периоде; 46 62   =   указанный период времени. m n   =   W(A)   =   23 31   –   относительная   частота   солнечных   дней   в 23 31 . О т в е т:  При решении первых двух упражнений особое внимание следует уделить грамотной   формулировке   самого   события,   возможных   исходов   испытания, характера испытания, относительной частоты события. № 791. Р е ш е н и е а) Событие А – появление в тексте буквы «в»; т = 6 – количество букв «в» в тексте; п = 164 – общее количество букв в тексте; m n  =  6 164   ≈ W(A) =  тексте.  0,037 – относительная частота появления буквы « в» в б) Событие А – появление буквы «м» в тексте; т = 6 – количество букв в тексте; п = 164 – общее количество букв в тексте; m n   =   6 164   ≈ W(A) =   «м» в тексте.  0,037 –   относительная   частота   появления   буквы О т в е т: а) 0,037; б) 0,037. При выполнении этого упражнения можно обсудить, почему результаты отличаются от данных, приведенных в учебнике (маленький отрывок, только один вид текста – стихотворение, один автор и т. п.). № 856 (по вариантам, подсчет не для всех десятков). а) Событие  А  – появление простого числа в первом десятке натуральных чисел от 1 до 99; т  =   4  –  число   простых   чисел   в   первом   десятке   (2,  3,  5,  7)   –  частота появления; п = 10 – количество чисел в первом десятке; m n  = 0,4 – относительная частота события А. W(A) =  Событие В – появление простого числа в третьем десятке; т  =   2   –   число   простых   чисел   в   третьем   десятке   (23,   29)   –   частота появления; п = 10 – количество чисел в третьем десятке; m n  = 0,2 – относительная частота события В. W(B) =  0,4 > 0,2. б) Событие А – появление простого числа во втором десятке натуральных чисел от 1 до 99; т = 4 – число простых чисел в втором десятке (11, 13, 17, 19) – частота появления; п = 10 – количество чисел во втором десятке; m n  = 0,4 – относительная частота события А. W(A) =  Событие В – появление простого числа в десятом десятке; т = 1 – число простых чисел в десятом десятке (91) – частота появления; п = 10 – количество чисел в десятом десятке; m n  = 0,1 – относительная частота события В. W(B) =  0,4 > 0,1. О т в е т: а) 0,4 > 0,2; б) 0,4 > 0,1. Упражнения: № 793. п = 50 т 1 п т 2 п   38 50 40 50 Р е ш е н и е т 4 п т 5 п   40 50 39 50  = 0,8;  = 0,78; т 7 п т 8 п  = 0,76;  = 0,8;   43 50 45 50  = 0,86;  = 0,9; т 3 п  42 50  = 0,84; т 6 п  42 50  = 0,84; т 9 п  40 50  = 0,8. Можно предположить, что вероятность попадания в цель для этого стрелка 0,8. О т в е т: Р(А) = 0,8. № 794. Р е ш е н и е п  =   16;  т  =   9;  W(A)   =   9 16   –   относительная   частота,   но   мы   не   можем утверждать,   что   и   вероятность   попадания   равна   многократного повторения наблюдения. 9 16 ,   так   как   не   было О т в е т: нельзя. V. Итоги урока. В о п р о с ы   у ч а щ и м с я: – Что называется случайным событием? – Что называется исходом эксперимента? – Что называется относительной частотой случайного события? Приведите примеры. Домашнее задание: № 789, № 790 (а, в), № 792, № 795, №796.