Обратная матрица и методы её нахождения.

ОПР1. Матрица называется обратной к матрице , если при умножении этих  матриц получается единичная матрица того же порядка.  Матрица, обратная к матрица A, обозначается так : A­1 . ОПР2: Если определитель матрицы равен нулю,то она называется  вырожденной.  А если не равен, то матрица является невырожденной.  Теорема1 :обратная матрица существует тогда и только тогда, когда исходная  матрица невырожденная.  Метод нахождения обратной матрицы при помощи  элементарных преобразований строк. ТЕОРЕМА2. Если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной. Сначала составляется расширенная матрица – присоединением к матрице A единичной матрицы  E:       Затем с помощью элементарных операций над строками расширенная матрица (A | E)  преобразуется к виду (E | B).         адание. Для матрицы матрицы. Решение. Приписываем к заданной матрице порядка: найти обратную методом присоединенной справа единичную матрицу второго От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки): От второй строки отнимаем две первых: Первую и вторую строки меняем местами: От второй строки отнимаем две первых: Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую: Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной. Таким образом, получаем, что Ответ. ОПР.Транспонирование ­это преобразование матрицы A в матрицу AT , при  котором строки матрицы A записываются в столбцы AT с сохранением порядка.  (рис. 8). Можно сказать по другому: столбцы матрицы A записываются в строки  матрицы AT с сохранением порядка.  Чтобы найти обратную матрицу, можно проделать следующее:  1) Найти определитель исходной матрицы. Если он равен нулю, матрица  вырожденная, и обратной к ней матрицы не существует.  2)Транспонировать исходную матрицу.  3)Заменить в получившейся матрице все элементы их алгебраическими  дополнениями.  4)Умножить получившуюся матрицу на число 1/A , где A ­ определитель  исходной матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием  равенства  . Вычисляем определитель матрицы А и убеждаемся, что он отличен от нуля  (в противном случае матрица А необратима). Строим   ­ матрицу из алгебраических дополнений элементов  . Транспонируем матрицу  , тем самым получаем  . Умножаем каждый элемент матрицы   на число  . Этой операцией  завершается нахождение обратной матрицы  . Проводим проверку результата, вычисляя произведения   и  .  Если  случае где­то была допущена ошибка. , то обратная матрица найдена верно, в противном  Разберем алгоритм нахождения обратной матрицы на примере. 1. 2. 3. 4. 5. Пример. Дана матрица  Решение. . Найдите обратную матрицу. Вычислим определитель матрицы А, который равен 16. Определитель отличен от нуля, так что матрица А обратима. Найдем матрицу из алгебраических дополнений:( i­cтрока,j­столбец) Поэтому Выполним транспонирование матрицы из алгебраических дополнений: Теперь находим обратную матрицу как  : Проверяем полученный результат: Равенства  найдена верно.  выполняются, следовательно, обратная матрица