Определение синуса, косинуса и тангенса угла
Сегодня на лекции мы узнаем, как по-другому называются абсцисса и ордината точки, лежащей на единичной окружности.
Цели и задачи
Цель:
· познакомиться с понятиями синус, косинус, тангенс и котангенс угла.
Задачи:
· научиться определять синус, косинус, тангенс, котангенс угла;
· рассмотреть решение задач на применение знаний о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе;
· контролировать свои успехи на занятии.
знаем, научимся, сможем
На занятии
мы узнаем:
· что такое синус, косинус, тангенс угла;
· что такое линия тангенсов;
мы научимся:
· решать простейшие тригонометрические уравнения;
· определять линию тангенсов, котангенсов;
мы сможем:
· понимать связь между синусом, косинусом, тангенсом углов.
· Определение синуса, косинуса и тангенса угла
· Найдите координаты точек А, В, С и D, лежащих на единичной окружности. Установите соответствие.
Алгебра и начала математического анализа
Урок №____. Определение синуса, косинуса и тангенса угла
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
· Ввод понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла
· Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла
· Решение простейших тригонометрических уравнений
· Решение задач на применение знаний о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе;
Глоссарий по теме
Синус
угла– ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0)
вокруг начала координат на угол
.
Обозначается
Косинус
угла – абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0)
вокруг начала координат на угол
.
Обозначается
Тангенс
угла – отношение синуса угла к его косинусу.
Обозначается
tg
Котангенс
угла отношение косинуса угла к его синусу.
Обозначается
сtg
На единичной окружности касательная, проведенная к точке (1; 0) называется линией тангенсов.
Касательная, проведенная к точке (0; 1) - линия котангенсов.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Историческая справка
Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Слово «тригонометрия» греческое: тригоно — треугольник, метрити — мера. Иными словами, тригонометрия — наука об измерении треугольников. Длительную историю имеет понятие синуса. Различные отношения отрезков треугольника и окружности встречаются уже в III в. до н. э. в работах великих математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В IV—V вв. появился специальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты (476 — ок.550). Отрезок он назвал ардхаджива, или более кратко джива. Арабскими математиками в IX в. слово джива было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XII в. это слово было заменено латинским синус (sinus — изгиб, кривизна).
Косинус — это сокращение латинского выражения complementysinus, т. е. «дополнительный синус» или иначе «синус дополнительной дуги».
Название «тангенс» происходит от латинского tanger (касаться). Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов — это касательная к единичной окружности).
Несмотря на то, что тригонометрия зародилась в древние времена, сегодня она охватывает практически все естественные науки и технику.
Актуализация знаний
1.Найдите координаты точек А, В, С и D, лежащих на единичной окружности (рис. 1)
Рисунок 1 – единичная окружность
Поставьте в соответствие точке её координаты
А (0; 1)
В (-1; 0)
С (1; 0)
D (0; -1)
Ответ: А(1; 0); В(0; 1); С(-1; 0); D(0; -1)
Сегодня на уроке мы узнаем, как по-другому называются абсцисса и ордината точки, лежащей на единичной окружности.
1.Рассмотрим окружность радиуса, равного 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют
единичной или тригонометрической.
Рисунок 2 – точка Р на единичной окружности
Точка
Р (1; 0) при повороте вокруг начала координат на угол переместилась
в точку Рₐ. Определим её координаты. (рис. 2).
Определения.
Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;
0) вокруг начала координат на угол
.
Обозначается
Косинусом угланазывается абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;
0) вокруг начала координат на угол
.
Обозначается
Угол может
выражаться и в градусах и в радианах.
Пример 1.
Точка
А(1; 0) при повороте на угол 90 (рис.
1)
Ордината
точки В равна 1, значит или
Абсцисса
точки В равна 0, значит
Пример 2.
Точка
А(1; 0) при повороте на угол переместилась
в точку
(
рис. 1)
Найдите и
Ответ: = 0;
Пример 3.
Точка
А(1; 0) при повороте на угол переместилась
в точку
(рис.
1)
Найдите и
Ответ: =
1
=
0.
Рассмотрим ещё два понятия.
Определение. Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.
Обозначается tg
tg,
Пример 4.
Найти
tg 0. Вычислим по формуле tg =
=
0.
Определение. Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.
Обозначается сtg
сtg
Пример 5.
Найти
сtg .
Вычислим
по формуле сtg =
2. Меру угла(в
радианах) можно рассматривать как действительное число, поэтому
и
–
это числовые выражения. А так как каждая точка единичной окружности имеет
координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1 ≤ х
≤ 1; -1 ≤ у ≤ 1,то синус и косинус не могут превышать
значения, больше
.
Чтобы
решить уравнения = а,
нужно
считать х неизвестным, число а – заданным.
Пример 6.
Решить
уравнение =
1.
Найдем
точку с ординатой 1 и запишем, каким числам х она
соответствует. На окружности мы видим эту точку: В (0; 1). Она
соответствуют числу и
всем числам вида
Решением
уравнения = 1 являются х =
.
3. Полезно знать синусы, косинусы, тангенсы некоторых углов. Для этого рассмотрим дугу единичной окружности в I четверти координатной плоскости (рис. 3).
Рисунок 3 – 1 четверть единичной окружности
Точки
А (1; 0) и В (0; 1) нам знакомы. Рассмотрим ещё несколько точек на окружности и
найдем их координаты. Точка С является серединой дуги АВ, значит угол АОС равен
половине прямого угла, 45 или
.
Ордината точки С равна её абсциссе. Их значения нетрудно найти по теореме
Пифагора из прямоугольного треугольника ОСF, оно равно
А
значит,
,
tg
45
Дуга
АМ составляет третью часть прямого угла, .
Ордината точки М равна
, значит
, tg30
.
Дуга
АNсоставляет прямого
угла,
.
Абсцисса точки N равна
, поэтому
,
tg 60
.
Чтобы легче запомнить эти значения, придумали мнемоническое правило- правило на ладони (рис. 4).
Рисунок 4 - мнемоническое правило- правило на ладони
Расположим
ладонь так, как на рисунке, пусть мизинцу соответствует угол 0,
следующим пальцам– 30
,
45, 60
и
90
.
Так же присвоим им номера: мизинец №0, следующие №1, №2, №3, №4. Чтобы найти
синус, используем формулу:
=
.
А для косинуса нумерацию будем вести от большого пальца, выполняя вычисления по
той же формуле.
=
.
Например, =
,
=
=
.
А
тангенс можно вычислить по формуле: tg =
.
Тангенсы и котангенсы, также как и синусы, косинусы, можно определить по единичной окружности. Для этого познакомимся с ещё одним понятием.
На единичной окружности касательная, проведенная к точке (1; 0) называется линией тангенсов. Касательная, проведенная к точке (0; 1) - линия котангенсов (рис. 5).
Рисунок 5 – линия тангенсов и линия котангенсов
Например,
чтобы найти tg,
находим пересечение радиус-вектора под углом
с
линией тангеса. Это число
,
или
.
Чтобы
найти ctg ,
радиус-вектор под углом
должен
пересечь линию котангенсов.
Это
число .
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 6.
Решить
уравнение =0.
Синусом угла является ордината точки, поэтому значения синусов находим по оси Оу.
Найдем
точки А (1; 0) и С (-1; 0) с ординатой 0 и
запишем, каким числам х они соответствуют. Они соответствуют числам 0 (точка
А), (точка
С), 2
Решением
уравнения = 0 являются х =
.
Z- множество целых чисел.
Пример 6.
Решить
уравнение=1.
Найдем
точки с абсциссой 1 и запишем, каким числам х они
соответствуют. На рис.3 мы видим эту точку: А (1; 0) Она соответствуют
числу и
всем числам вида
Решением
уравнения= 1. являются
х =
,
где
.
Скачано с www.znanio.ru
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.