Открытый урок по математике на тему "Уравнение касательной" 11 класс

Тема открытого урока: «Уравнение касательной» преподавателя математики ГАПОУ «Чебоксарский техникум ТрансСтройТех» Минобразования Чувашии Порфирьева Владимира Андреевича в 11 А Цели урока:  1. Обучающие:       а) закрепить алгоритм составления уравнения касательной;        б) рассмотреть решение задач ЕГЭ, связанных с понятием касательной; 2. Воспитательные:       воспитывать внимание 3. Развивающие:       а) развивать логическое  мышление;        б) развивать навыки самоконтроля. Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, доска, раздаточный  материал (карточки с заданиями). Ход урока Организационный момент Актуализация опорных знаний. I. II. (Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.) Вспомним, что же такое касательная? (“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую  точку”. ) Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу,   что   данное   определение   неверно.)   Для   наглядного   доказательства   их умозаключения приводим следующий пример. III.         Изложение нового материала. 1. Рассмотрим пример. Обучающимся выдаётся раздаточный материал № 1 Пусть дана парабола  , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной, а вторая является.  и две прямые  Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции       y = f(x)   в этой точке  .                                   Это и есть     геометрический смысл производной.  Причем, если : 1. 2. 3. IV.           Закрепление нового материала 2.   Теоретический   опрос  (фронтальная   работа   с   классом):   Обучающимся   выдаётся раздаточный материал № 2.  Что называется касательной к графику дифференцируемой функции y = f(x) в точке х0? (Прямая, проходящая через точку с координатами (x0;  f(x0)), угловой     коэффициент которой равен f /(x0));  Какой вид имеет уравнение касательной?        (  y = f(x0) + f /(x0)(x – x0)  (1))  Геометрический смысл производной.                ( k = f /(x0)    )  Сформулируйте алгоритм составления уравнения касательной.  1. Найти f(x0) 2. Найти f /(x) 3. Найти f /(x0) 4. Подставить найденные значения в формулу (1). 3. Самостоятельная работа с последующей проверкой. Обучающимся выдаётся  раздаточный материал № 3 Проверка   проводится   комментированием   с   места.   Одновременно   на   экране показываются основные этапы решения. Составить уравнение касательной к график у функции y = f(x) в точке с абсциссой х0. а)  f(x) = x2 + x + 1, x0 = 1 (y = 3x);  б) f(x) = sin x, x0 = π/2 (y = 1) Решение: 1. Найдём       f(x0)=1+1+1=3;         2. Найдём      f /(x)=2х+1  3. Найдём       f /(x0)=2+1=3;             4. Подставить найденные значения в формулу (1). y = f(x0) + f /(x0)(x – x0)  = 3+3(х­1)=3+3х­3=3х. б) f(x) = sin x, x0 =  /2 (π y = 1)    xf  x 0 f 1   ;1 sin 2   x cos 0 0 Решение: 1. Найдём                                           ;               2.    Найдём  1   x f  cos ; x            3. Найдём             4. Подставить найденные значения в формулу (1). cos   ;0 у   xf 0   1  f x 0  x   x 0  z 01   ;1  2  0 z 4.Работа   на   доске   и   в   тетрадях  (один   ученик   у   доски,   остальные   в   тетрадях). Обучающимся выдаётся раздаточный материал № 4. На рисунке изображен график функции y = f(x),  и   касательная   к   этому   графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции  f(x)  в точке х0.  Решение: Чтобы решить эту задач, надо ответить на следующие: вопросы: 1. Чему равна производная функции y = f(x) в точке с абсциссой х0? 2. Как найти угловой коэффициент прямой? 3. Как найти ∆ y? Как найти ∆ x?  ( xf ) o  y x 2 2   y 1 x 1  ;25,0 3 12 5. Обучающимся выдаётся раздаточный материал № 5  На   рисунке   изображен   график функции  y   =   f(x),  и   касательная   к   этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.     1   1  2 4 3 3  y x     (   ;1 x    )  f 2 o y 1 x 1 2 6.Обучающимся выдаётся раздаточный материал № 6  На   рисунке   изображен   график функции  y   =   f(x),  и   касательная   к   этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.     ;25,0  xf (  3  2 5  6 2 8 y x       )   2 o y 1 x 1 2 7.Обучающимся выдаётся раздаточный материал № 7  На рисунке изображен график функции y  =  f(x).   Прямая,   проходящая   через начало   координат,   касается   графика этой   функции   в   точке   с   абсциссой   8. Найдите значение производной функции в точке x0 = 8.  ( f x o )  y x 2 2   y 1 x 1    3  2      5  6  2 8 ;25,0 Решение: 1.  у у 2  10 0  ;10 х f ;808 х у 1 х 1 2  ( x o )  y x 2 2   y 1 x 1  ;25,1 10 8 V.            Подведение итогов урока 1. На уроке мы изучили и на примере разобрали ответы на вопросы:  Что называется касательной к графику функции в точке?  В чем заключается геометрический смысл производной?  Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?  VI/          Домашнее задание: Читать § 48, задание на карточках.  Задача.  Найти производную в точке  0х Раздаточный материал к уроку № 1 Фамилия обучающегося _________________________________________________ № 2.   Фамилия обучающегося _________________________________________________ Теоретический опрос (фронтальная работа с классом):     1.Что называется касательной к графику дифференцируемой функции y = f(x) в точке х0? 2.Какой вид имеет уравнение касательной?          3.Геометрический смысл производной.                  4.Сформулируйте алгоритм составления уравнения касательной.                                    Выбрать правильный ответ: А)  y = f(x0) + f /(x0)(x – x0)  (1) Б) Прямая, проходящая через точку с координатами (x0; f(x0)), угловой   коэффициент которой равен f /(x0) С) 1.Найти f(x0); 2.Найти f /(x); 3.Найти f /(x0); 4.Подставить найденные значения в формулу (1). Д) k = f /(x0)  ­ угловой коэффициент касательной или тангенс угла наклона касательной к оси  ОХ.  № 3.  Фамилия обучающегося _________________________________________________ Составить уравнение касательной к график у функции y = f(x) в точке с абсциссой х0. а)  f(x) = x2 + x + 1, x0 = 1 (y = 3x);  б) f(x) = sin x, x0 = π/2 (y = 1) б) f(x) = sin x, x0 = π/2 (y = 1) № 4.  Фамилия обучающегося _________________________________________________ Работа на доске и в тетрадях (один ученик у доски, остальные в тетрадях) На рисунке изображен график функции y = f(x),  и   касательная   к   этому   графику, проведенная   в   точке   с   абсциссой  х0. Найдите   значение   производной   функции f(x) в точке х0.  № 5.  Фамилия обучающегося _________________________________________________  На   рисунке   изображен   график функции  y   =   f(x),  и   касательная   к   этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.  № 6.  Фамилия обучающегося _________________________________________________ Работа на доске и в тетрадях (один ученик у доски, остальные в тетрадях)  На   рисунке   изображен   график функции  y = f(x),  и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0.   Найдите   значение   производной функции f(x) в точке х0.  № 7.  Фамилия обучающегося _________________________________________________ Работа на доске и в тетрадях (один ученик у доски, остальные в тетрадях)  На рисунке изображен график функции y  =  f(x).   Прямая,   проходящая   через начало   координат,   касается   графика этой   функции   в   точке   с   абсциссой   8. Найдите значение производной функции в точке x0 = 8. Разработал преподаватель  ГАПОУ «Чебоксарский техникум ТрансСтройТех» Минобразования Чувашии  Порфирьев Владимир Андреевич