Данная тема урока изучается в разделе "Производная и её применение". Для понимания данной темы обучающиеся должны знать правила дифференцирования функций, уметь вычислять производные элементарных функций: линейной, квадратичной, степенной, тригонометрической, показательной, логарифмической и сложной функции. На данном уроке представлен поэтапно весь ход урока от актуализации опорных знаний, изложением нового материала, закрепление нового материала представлено на примере фронтальной работы с классом и самостоятельной работы каждого обучающегося. работа у доски с применением раздаточного материала и заканчивается подведением итогов урока.
Тема открытого урока: «Уравнение касательной»
преподавателя математики ГАПОУ «Чебоксарский техникум ТрансСтройТех»
Минобразования Чувашии Порфирьева Владимира Андреевича в 11 А
Цели урока:
1. Обучающие:
а) закрепить алгоритм составления уравнения касательной;
б) рассмотреть решение задач ЕГЭ, связанных с понятием касательной;
2. Воспитательные:
воспитывать внимание
3. Развивающие:
а) развивать логическое мышление;
б) развивать навыки самоконтроля.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, доска, раздаточный
материал (карточки с заданиями).
Ход урока
Организационный момент
Актуализация опорных знаний.
I.
II.
(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции.
Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)
Вспомним, что же такое касательная?
(“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую
точку”. )
Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к
выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их
умозаключения приводим следующий пример.
III. Изложение нового материала.
1. Рассмотрим пример. Обучающимся выдаётся раздаточный материал № 1
Пусть дана парабола
, имеющая с данной параболой
одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к
данной параболе касательной, а вторая является.
и две прямые
Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции
y = f(x) в этой точке . Это и есть геометрический смысл производной.
Причем, если :
1.
2.3.
IV. Закрепление нового материала
2. Теоретический опрос (фронтальная работа с классом): Обучающимся выдаётся
раздаточный материал № 2.
Что называется касательной к графику дифференцируемой функции y = f(x) в точке х0?
(Прямая, проходящая через точку с координатами (x0; f(x0)), угловой коэффициент
которой равен f /(x0));
Какой вид имеет уравнение касательной? ( y = f(x0) + f /(x0)(x – x0) (1))
Геометрический смысл производной. ( k = f /(x0) )
Сформулируйте алгоритм составления уравнения касательной.
1. Найти f(x0)
2. Найти f /(x)
3. Найти f /(x0)
4. Подставить найденные значения в формулу (1).
3. Самостоятельная работа с последующей проверкой. Обучающимся выдаётся
раздаточный материал № 3
Проверка проводится комментированием с места. Одновременно на экране
показываются основные этапы решения.
Составить уравнение касательной к график у функции y = f(x) в точке с абсциссой х0.
а) f(x) = x2 + x + 1, x0 = 1 (y = 3x); б) f(x) = sin x, x0 = π/2 (y = 1)
Решение: 1. Найдём f(x0)=1+1+1=3;
2. Найдём f /(x)=2х+1
3. Найдём f /(x0)=2+1=3;
4. Подставить найденные значения в формулу (1).
y = f(x0) + f /(x0)(x – x0) = 3+3(х1)=3+3х3=3х.
б) f(x) = sin x, x0 =
/2 (π
y = 1)
xf
x
0
f
1
;1
sin
2
x
cos 0
0
Решение: 1. Найдём ; 2. Найдём
1
x
f
cos
;
x
3. Найдём
4. Подставить найденные значения в формулу (1).
cos
;0
у
xf
0
1
f
x
0
x
x
0
z
01
;1
2
0
z
4.Работа на доске и в тетрадях (один ученик у доски, остальные в тетрадях).
Обучающимся выдаётся раздаточный материал № 4.
На рисунке изображен график функции y =
f(x), и касательная к этому графику,
проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите
значение производной функции f(x) в точке
х0.
Решение:
Чтобы решить эту задач, надо ответить на следующие:
вопросы:
1. Чему равна производная функции y = f(x) в точке с абсциссой х0?
2. Как найти угловой коэффициент прямой?
3. Как найти ∆ y? Как найти ∆ x?
(
xf
)
o
y
x
2
2
y
1
x
1
;25,0
3
125. Обучающимся выдаётся раздаточный материал № 5
На рисунке изображен график
функции y = f(x), и касательная к этому
графику, проведенная в точке с абсциссой
х0. Найдите значение производной функции
f(x) в точке х0.
1
1
2
4
3
3
y
x
(
;1
x
)
f
2
o
y
1
x
1
2
6.Обучающимся выдаётся раздаточный материал № 6
На рисунке изображен график
функции y = f(x), и касательная к этому
графику, проведенная в точке с абсциссой
х0. Найдите значение производной функции
f(x) в точке х0.
;25,0
xf
(
3
2
5
6
2
8
y
x
)
2
o
y
1
x
1
2
7.Обучающимся выдаётся раздаточный материал № 7
На рисунке изображен график функции
y = f(x). Прямая, проходящая через
начало координат, касается графика
этой функции в точке с абсциссой 8.
Найдите значение производной функции
в точке x0 = 8.
(
f
x
o
)
y
x
2
2
y
1
x
1
3
2
5
6
2
8
;25,0
Решение: 1.
у
у
2
10
0
;10
х
f
;808
х
у
1
х
1
2
(
x
o
)
y
x
2
2
y
1
x
1
;25,1
10
8
V. Подведение итогов урока
1. На уроке мы изучили и на примере разобрали ответы на вопросы:
Что называется касательной к графику функции в точке?
В чем заключается геометрический смысл производной?
Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?
VI/ Домашнее задание: Читать § 48, задание на карточках.
Задача. Найти производную в точке
0хРаздаточный материал к уроку
№ 1 Фамилия обучающегося _________________________________________________
№ 2. Фамилия обучающегося _________________________________________________
Теоретический опрос (фронтальная работа с классом):
1.Что называется касательной к графику дифференцируемой функции y = f(x) в точке х0?
2.Какой вид имеет уравнение касательной?
3.Геометрический смысл производной.
4.Сформулируйте алгоритм составления уравнения касательной.
Выбрать правильный ответ:
А) y = f(x0) + f /(x0)(x – x0) (1)
Б) Прямая, проходящая через точку с координатами (x0; f(x0)), угловой коэффициент которой
равен f /(x0)
С) 1.Найти f(x0); 2.Найти f /(x); 3.Найти f /(x0); 4.Подставить найденные значения в формулу (1).
Д) k = f /(x0) угловой коэффициент касательной или тангенс угла наклона касательной к оси
ОХ.
№ 3. Фамилия обучающегося _________________________________________________
Составить уравнение касательной к график у функции y = f(x) в точке с абсциссой х0.
а) f(x) = x2 + x + 1, x0 = 1 (y = 3x); б) f(x) = sin x, x0 = π/2 (y = 1)
б) f(x) = sin x, x0 = π/2 (y = 1)
№ 4. Фамилия обучающегося _________________________________________________
Работа на доске и в тетрадях (один ученик у доски, остальные в тетрадях)На рисунке изображен график функции y =
f(x), и касательная к этому графику,
проведенная в точке с абсциссой х0.
Найдите значение производной функции
f(x) в точке х0.
№ 5. Фамилия обучающегося _________________________________________________
На рисунке изображен график
функции y = f(x), и касательная к этому
графику, проведенная в точке с абсциссой
х0. Найдите значение производной функции
f(x) в точке х0.
№ 6. Фамилия обучающегося _________________________________________________
Работа на доске и в тетрадях (один ученик у доски, остальные в тетрадях)
На рисунке изображен график
функции y = f(x), и касательная к этому
графику, проведенная в точке с абсциссой
х0.
Найдите значение производной
функции f(x) в точке х0.
№ 7. Фамилия обучающегося _________________________________________________
Работа на доске и в тетрадях (один ученик у доски, остальные в тетрадях)
На рисунке изображен график функции
y = f(x). Прямая, проходящая через
начало координат, касается графика
этой функции в точке с абсциссой 8.
Найдите значение производной функции
в точке x0 = 8.Разработал преподаватель
ГАПОУ «Чебоксарский техникум ТрансСтройТех» Минобразования Чувашии
Порфирьев Владимир Андреевич